Title: Standard für K3
Course: Lernmaterialien Mathematik

Standardkategorie für Fragen, die im Kontext 'K3' freigegeben sind.

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Q: [Image]In jeder Zeile der Tabelle stehen 3 Angaben, die jeweils denselben Anteil bezeichnen: als Bruch, als Prozentangabe und als Dezimalzahl.
(Die Prozentangaben sind ggf. auf eine Dezimale gerundet, die Dezimalzahlen entsprechend auf drei Dezimalen.)

Ordne jeweils die fehlenden Angaben zu.

Bruch | Prozentangabe | Dezimalzahl
\( \frac{1}{7} \) | 14,3 % | 0,143
\( \frac{1}{2} \) | [50 %] | [0,5]
[\(\frac{1}{5}\)] | 20 % | [0,2]
\( \frac{3}{4} \) | [75 %] | [0,75]
[ \( \frac{7}{10} \) ] | [70 %] | 0,7
\( \frac{3}{20} \) | [15 %] | [0,15]
[ \( \frac{1}{6} \) ] | [16,7 %] | 0,167
\( \frac{19}{100} \) | [19 %] | [0,19]
[ \( \frac{1}{8} \) ] | 12,5 % | [0,125]
[ \( \frac{2}{3} \) ] | [66,7 %] | 0,667
[ \( \frac{7}{50} \) ] | 14 % | [0,14]
- 50 %
- 0,5
- \(\frac{1}{5}\)
- 0,2
- 75 %
- 0,75
- \( \frac{7}{10} \)
- 70 %
- 15 %
- 0,15
- \( \frac{1}{6} \)
- 16,7 %
- 19 %
- 0,19
- \( \frac{1}{8} \)
- 0,125
- \( \frac{2}{3} \)
- 66,7 %
- \( \frac{7}{50} \)
- 0,14
A: 50 % / 0,5 / \(\frac{1}{5}\) / 0,2 / 75 % / 0,75 / \( \frac{7}{10} \) / 70 % / 15 % / 0,15 / \( \frac{1}{6} \) / 16,7 % / 19 % / 0,19 / \( \frac{1}{8} \) / 0,125 / \( \frac{2}{3} \) / 66,7 % / \( \frac{7}{50} \) / 0,14
Feedback: Erklärung: p % ist eine andere Schreibweise für \( \frac{p}{100} \). So ist beispielsweise 19 % = \( \frac{19}{100} \). Entsprechend kann man Prozentangaben auch als Dezimalzahl schreiben, wenn man das Komma um 2 Stellen verschiebt: 19 % = \( \frac{19}{100} \) = 0,19 oder 8 % = \(\frac{8}{100} \) = 0,08 Beispiele: 50 % = \( \frac{50}{100} \) = \( \frac{1}{2} \) = 0,5 13 % = \( \frac{13}{100} \) = 0,13 6,4 % = \( \frac{6,4}{100} \) = \( \frac{64}{1000} \) = 0,064

Q: Kannst Du mit den Begriffen "Grundwert", "Prozentwert" und "Prozentsatz" umgehen?

Wähle bei den folgenden Beispielen jeweils aus, um was es sich handelt. [Image]

1. 35 % von 680 Schülerinnen und Schülern geben an, täglich mit dem Fahrrad zur Schule zu kommen. Das sind 238 Schülerinnen und Schüler.

35 % | [Prozentsatz]
680 Schülerinnen und Schüler | [Grundwert]
238 Schülerinnen und Schüler | [Prozentwert]

2. Der Verkäufer gibt auf eine nicht mehr originalverpackte DVD 20 % Preisnachlass. Die DVD kostet anstelle von 15 € nun 3 € weniger.

20 % | [Prozentsatz]
15 € | [Grundwert]
3 € | [Prozentwert]

3. 300 g Weizenmehl sind 60 % einer Backmischung von insgesamt 500 g.

300 g | [Prozentwert]
60 % | [Prozentsatz]
500 g | [Grundwert]
- Prozentsatz
- Grundwert
- Prozentwert
- Prozentsatz
- Grundwert
- Prozentwert
- Prozentwert
- Prozentsatz
- Grundwert
A: Prozentsatz / Grundwert / Prozentwert / Prozentsatz / Grundwert / Prozentwert / Prozentwert / Prozentsatz / Grundwert

Q: Kannst Du mit den Begriffen "Grundwert", "Prozentwert" und "Prozentsatz" umgehen?

Wähle bei den folgenden Beispielen jeweils aus, was gesucht und was gegeben ist.

1. Zu einem Preis von 21 € kommen noch 19 % Mehrwertsteuer dazu. Wie hoch ist die Mehrwertsteuer?

gegeben: 21 € | [Grundwert]
19 % | [Prozentsatz]
gesucht: | [Prozentwert]

2. 242 von insgesamt 619 Schülerinnen und Schülern haben bei der Wahl für Klara als Schulsprecherin gestimmt. Wie hoch ist ihr Stimmenanteil?

gegeben: 242 Schülerinnen und Schüler | [Prozentwert]
619 Schülerinnen und Schüler | [Grundwert]
gesucht: | [Prozentsatz]

[Image]3. In einem Glas Brotaufstrich sind 58 % Zucker enthalten. Dies sind 348 g. Wieviel befindet sich in dem Glas?

gegeben: 58 % | [Prozentsatz]
348 g | [Prozentwert]
gesucht: | [Grundwert]
- Grundwert
- Prozentsatz
- Prozentwert
- Prozentwert
- Grundwert
- Prozentsatz
- Prozentsatz
- Prozentwert
- Grundwert
A: Grundwert / Prozentsatz / Prozentwert / Prozentwert / Grundwert / Prozentsatz / Prozentsatz / Prozentwert / Grundwert

Q: Berechne jeweils im Kopf.

50 % von 300 Schüler sind [150] Schüler. [Image]

10 % von 80 Autos sind [8] Autos.

20 % von 15 Euro sind [3] Euro.

75 % von 160 g sind [120] g.
- 150
- 8
- 3
- 120
A: 150 / 8 / 3 / 120

Q: Berechne den gesuchten Prozentsatz.

1. Bei einem Unwetter wurden 38 von 50 PkW auf einem Parkplatz beschädigt. Wie hoch ist der Anteil der beschädigten Fahrzeuge?
Es wurden [76] % der PkW beschädigt.

[Image]2. 273 von insgesamt 700 Schülerinnen und Schülern haben bei der Wahl für Klara als Schulsprecherin gestimmt. Wie hoch ist ihr Stimmenanteil?
Klaras Anteil betrug [39] %.
- 76
- 39
A: 76 / 39

Q: Berechne den gesuchten Prozentsatz.

Prozentwert | Grundwert | Prozentsatz
24 | 100 | [24] %
7 | 20 | [35] %
76 | 400 | [19] %

Berechne den gesuchten Prozentsatz. Verwende den Taschenrechner und runde auf ganze Prozent. [Image]

Prozentwert | Grundwert | Prozentsatz
23 g | 127 g | [18] %
93 Cent | 46,50 Euro | [2] %
228 873 Wähler | 1 204 133 Wähler | [19] %
- 24
- 35
- 19
- 18
- 2
- 19
A: 24 / 35 / 19 / 18 / 2 / 19

Q: [Image]Berechne mithilfe des Dreisatzes den gesuchten Prozentwert.

Vervollständige die Tabellen zur Dreisatz-Berechnung des Prozentwertes.

 | 240 g (Grundwert / gegeben) | entspricht | 100 % |
: [100] |  |  |  | : 100
 | 2,4 g |  | 1 % |
• [28] |  |  |  | • 28
 | 67,2 g (Prozentwert / gesucht) |  | 28 % (Prozentsatz / gegeben) |

 | 12 580 € (Grundwert / gegeben) | entspricht | 100 % |
: [100] |  |  |  | : [100]
 | 125,80 € |  | 1 % |
• [9] |  |  |  | • [9]
 | 1132,20 € (Prozentwert / gesucht) |  | 9 % (Prozentsatz / gegeben) |

 | 265 kg (Grundwert / gegeben) | entspricht | 100 % |
: [100] |  |  |  | : [100]
 | [2,65] kg € |  | 1 % |
• [34] |  |  |  | • [34]
 | [90,1] kg (Prozentwert / gesucht) |  | 34 % (Prozentsatz / gegeben) |
- 100
- 28
- 100
- 100
- 9
- 9
- 100
- 100
- 2,65
- 34
- 34
- 90,1
A: 100 / 28 / 100 / 100 / 9 / 9 / 100 / 100 / 2,65 / 34 / 34 / 90,1

Q: Berechne mithilfe des Dreisatzes den gesuchten Prozentwert.

Vervollständige die Tabelle zur Dreisatz-Berechnung des Prozentwertes und den Antwortsatz.

[Image] In einem 250-ml-Glas befinden sich 258 g Vollmilch. Diese hat einen Fettgehalt von 3,8 %.
Wieviel Fett ist in dem Glas enthalten?

 | [258] g (Grundwert) | entspricht | 100 % |
: [100] |  |  |  | : [100]
 | [2,58] g |  | 1 % |
• [3,8] |  |  |  | • [3,8]
 | [9,804] g (Prozentwert) |  | [3,8] % (Prozentsatz) |

In einem 250-ml-Glas Vollmilch befinden sich (auf ganze Gramm gerundet) ca. [10] g Fett.
- 258
- 100
- 100
- 2,58
- 3,8
- 3,8
- 9,804
- 3,8
- 10
A: 258 / 100 / 100 / 2,58 / 3,8 / 3,8 / 9,804 / 3,8 / 10

Q: [Image]Berechne mithilfe des Dreisatzes den gesuchten Grundwert.

Vervollständige die Tabellen zur Dreisatz-Berechnung des Grundwertes.

 | 336 g (Prozentwert / gegeben) | entspricht | 28 % (Prozentsatz / gegeben) |
: [28] |  |  |  | : 28
 | 12 g |  | 1 % |
• [100] |  |  |  | • 100
 | 1 200 g (Grundwert / gesucht) |  | 100 % |

 | 702 € (Prozentwert / gegeben) | entspricht | 9 % (Prozentsatz / gegeben) |
: [9] |  |  |  | : [9]
 | 78 € |  | 1 % |
• [100] |  |  |  | • [100]
 | 7 800 € (Grundwert / gesucht) |  | 100 % |

 | 90,1 kg (Prozentwert / gegeben) | entspricht | 17 % (Prozentsatz / gegeben) |
: [17] |  |  |  | : [17]
 | 5,3 kg |  | 1 % |
• [100] |  |  |  | • [100]
 | [530] kg (Grundwert / gesucht) |  | 100 % |
- 28
- 100
- 9
- 9
- 100
- 100
- 17
- 17
- 100
- 100
- 530
A: 28 / 100 / 9 / 9 / 100 / 100 / 17 / 17 / 100 / 100 / 530

Q: Berechne mithilfe des Dreisatzes den gesuchten Grundwert.

Vervollständige die Tabelle zur Dreisatz-Berechnung des Grundwertes und den Antwortsatz.

 In einem Glas Brotaufstrich sind 58 % Zucker enthalten. Dies sind 348 g. Wieviel befindet sich in dem Glas? [Image]

 | [348] g (Prozentwert / gegeben) | entspricht | [58] % (Prozentsatz / gegeben) |
: [58] |  |  |  | : [58]
 | [6] g |  | 1 % |
• [100] |  |  |  | • [100]
 | [600] g (Grundwert / gesucht) |  | 100 % |

In dem Glas befinden sich [600] g des Brotaufstrichs.
- 348
- 58
- 58
- 58
- 6
- 100
- 100
- 600
- 600
A: 348 / 58 / 58 / 58 / 6 / 100 / 100 / 600 / 600

Q: Gib zunächst an, welche Größe gesucht wird.
(Anschließend kannst Du dann mithilfe der entsprechenden Formel diese Größe berechnen.)

1. Parmesankäse hat einen Fettgehalt von 36%.
Wieviel Gramm Fett ist in einem Stück von 230 g enthalten?

gesucht: [Prozentwert]

2. Familie Huber gibt jeden Monat 38 % ihres Einkommens für die Miete aus.
Die Mietkosten betragen 1185,98 €.
Wie hoch ist das Einkommen der Hubers?

gesucht: [Grundwert]

3. Ein Möbelhaus gib einen Jubiläumsrabatt.
Auf einen Schrank, der eigentlich 498 € kostet, gibt es einen Nachlass von 174,30 €.
Wieviel Prozent beträgt der Rabatt?

gesucht: [Prozentsatz]

4. Bei der Klassensprecherwahl bekam Sina 13 von 31 Stimmen.
Wie hoch ist ihr Stimmenanteil?

gesucht: [Prozentsatz]

5. Schlagsahne enthält 32 % Fett.
Wieviel Fett ist in 500 g Schlagsahne enthalten?

gesucht: [Prozentwert]

6. Ein Basketballteam hat bei Freiwürfen in der abgelaufenen Saison eine Trefferquote von 72%. [Image]
Insgesamt haben sie 126 mal getroffen.
Wieviele Freiwürfe haben sie gemacht?

gesucht: [Grundwert]
- Prozentwert
- Grundwert
- Prozentsatz
- Prozentsatz
- Prozentwert
- Grundwert
A: Prozentwert / Grundwert / Prozentsatz / Prozentsatz / Prozentwert / Grundwert

Q: Berechne die gesuchte Größe.

[Image]1. Parmesankäse hat einen Fettgehalt von 36%.
Wieviel Gramm Fett ist in einem Stück von 230 g enthalten?

Es sind [82,8] g Fett in dem Parmesanstück enthalten.

2. Familie Huber gibt jeden Monat 38 % ihres Einkommens für die Miete aus.
Die Mietkosten betragen 1185,98 €.
Wie hoch ist das Einkommen der Hubers?

Das monatliche Einkommen von Familie Huber beträgt [3121] €.

3. Ein Möbelhaus gib einen Jubiläumsrabatt.
Auf einen Schrank, der eigentlich 498 € kostet, gibt es einen Nachlass von 174,30 €.
Wieviel Prozent beträgt der Rabatt?

Der Jubiläumsrabatt des Möbelhauses beträgt [35] %.

4. Bei der Klassensprecherwahl bekam Sina 13 von 31 Stimmen.
Wie hoch ist ihr Stimmenanteil? (Runde auf ganze Prozent.)

Sina erhielt [42] % der Stimmen.

5. Schlagsahne enthält 32 % Fett.
Wieviel Fett ist in 500 g Schlagsahne enthalten?

In 500 g Schlagsahne sind [160] g Fett enthalten.

6. Ein Basketballteam hatte bei Freiwürfen in der abgelaufenen Saison eine Trefferquote von 72%.
Insgesamt haben sie 126 mal getroffen.
Wieviele Freiwürfe haben sie geworfen?

Das Team hat in der vergangenen Saison [175] Freiwürfe geworfen.
- 82,8
- 3121
- 35
- 42
- 160
- 175
A: 82,8 / 3121 / 35 / 42 / 160 / 175

Q: [Image]Berechne jeweils die fehlende Größe mithilfe der entsprechenden Formel.

Grundwert | Prozentsatz | Prozentwert
8700 | 22 % | [1914]
6200 | [81] % | 5022
[50800] | 44,5 % | 22606
28,3 | [65] % | 18,395
[246] | 14 % | 34,44
1026 | 17,5 % | [179,55]
- 1914
- 81
- 50800
- 65
- 246
- 179,55
A: 1914 / 81 / 50800 / 65 / 246 / 179,55

Q: [Image]

Ein Joghurt hat einen Fettanteil von 3,5 %.
Berechne im Kopf, wieviel Fett in einem 400-g-Becher Joghurt enthalten ist.

In 400 g Joghurt sind [14] g Fett enthalten.
- 14
A: 14

Q: [Image]Ein schokoladenhaltiges Getränkepulver enthält unter anderem Zucker. Der Zuckeranteil beträgt nach der Angabe auf dem Etikett [54,5] %.

Leonie gibt 3 Teelöffel des Pulvers (zu je 4 g) in ein Glas.

Berechne (auf ganze Gramm gerundet), wieviel Zucker darin enthalten ist.

Leonie gibt etwa [7] g Zucker in das Glas.
- 54,5
- 7
A: 54,5 / 7

Q: [Image]Der Zuckeranteil in Gummibärchen ist sehr hoch.
Gemäß der Herstellerangabe auf der Verpackung (siehe Abbildung) beträgt er [46] %.

Aufgabe 1

Jonas isst 20 Gummibärchen (zu je 2,5 g).
Berechne, wieviel Zucker er dabei zu sich genommen hat.
20 Gummibärchen enthalten [23] g Zucker.

Aufgabe 2

Bei 10 Gummibärchen hat man bereits 13 % der empfohlenen Tagesmenge an Zucker zu sich genommen.

Berechne die empfohlene Zuckermenge für einen Tag. Runde auf ganze Gramm.
Laut Herstellerangabe beträgt die empfohlene Tagesmenge an Zucker etwa [88] g.
- 46
- 23
- 88
A: 46 / 23 / 88

[Image]In jeder Zeile der Tabelle stehen 3 Angaben, die jeweils denselben Anteil bezeichnen: als Bruch, als Prozentangabe und als Dezimalzahl.
(Die Prozentangaben sind ggf. auf eine Dezimale gerundet, die Dezimalzahlen entsprechend auf drei Dezimalen.)

Ordne jeweils die fehlenden Angaben zu.
Feedback: Erklärung: p % ist eine andere Schreibweise für \( \frac{p}{100} \). So ist beispielsweise 19 % = \( \frac{19}{100} \). Entsprechend kann man Prozentangaben auch als Dezimalzahl schreiben, wenn man das Komma um 2 Stellen verschiebt: 19 % = \( \frac{19}{100} \) = 0,19 oder 8 % = \(\frac{8}{100} \) = 0,08 Beispiele: 50 % = \( \frac{50}{100} \) = \( \frac{1}{2} \) = 0,5 13 % = \( \frac{13}{100} \) = 0,13 6,4 % = \( \frac{6,4}{100} \) = \( \frac{64}{1000} \) = 0,064

[Image]

Bei der Prozentrechnung geht es immer um den Zusammenhang von drei Größen:
- Der Grundwert ist das Ganze.
Zum Beispiel: Die Masse des Joghurts in einem Becher beträgt 1000 g.
oder: Die Anzahl aller Kinder in einer Schule beträgt 500.

- Der Prozentsatz gibt einen Anteil an diesem Ganzen an.
Zum Beispiel: Der Fettanteil beträgt bei diesem Joghurt 3,5 %.
oder: Ein Viertel (d.h. 25 %) der Kinder der Schule gehen in einen Sportverein.

- Der Prozentwert ist der entsprechende Teil des Ganzen.
Zum Beispiel: Im Joghurt in diesem Becher sind 35 g Fett enthalten
                     (dies entspricht 3,5 % von 1000 g).
oder: 125 Kinder sind in einem Sportverein
         (dies entspricht 25 % von 500 Kindern).

In einfachen Fällen kann man den Prozentsatz leicht als (gekürzten) Bruchteil angeben. Man berechnet den gesuchten Prozentwert dann, indem man den entsprechenden Bruchteil des Ganzen berechnet.

Beispiele:

- Wieviel sind 25 % von 500 Euro?
Da 25 % = \( \frac{1}{4} \) ist, rechnet man 500 € : 4 = 125 €.
- Wieviel sind 40 % von 60 kg?
Da 40 % = \( \frac{40}{100} \) = \( \frac{2}{5} \) ist, rechnet man (60 kg : 5) • 2 = 12 kg • 2 = 24 kg.

Wenn die Zahlen etwas komplizierter sind, dann kann man den Dreisatz zur Berechnung des Prozentwertes anwenden.

Der Grundwert ist "das Ganze", also der Wert, der 100 % entspricht.
Mithilfe des Dreisatzes berechnet man nun den gesuchten Prozentwert, der dem gegebenen Prozentsatz entspricht.

Beispiel:

[Image]

Sind Grundwert und Prozentwert gegeben und der Prozentsatz gesucht, so geht man wie folgt vor:

Man erhält den Prozentsatz als Anteil des Teils (Prozentwert) am Ganzen (Grundwert).
Um diesen Bruchteil zu bekommen, teilt man den Prozentwert durch den Grundwert.

[Image]

Beispiele:

- 6 Euro von 100 Euro sind \(\frac{6}{100} \) = 6 %.
- 20 von 50 Glühbirnen sind defekt. Das sind \(\frac{20}{50} \) = \(\frac{40}{100} \) = 40 %.
- Jonas trifft beim Basketballtraining 114 von 200 Freiwürfen in den Korb. Das entspricht einer Trefferquote von \(\frac{114}{200} \) = \(\frac{57}{100} \) = 57 %.
- 78 von 657 Schülerinnen und Schülern sind krank. Dies entspricht einem Anteil von \(\frac{78}{657} \) ≈ 0,1187 ≈ 11,9 %.

Der dritte mögliche Fall ist der: Prozentsatz und Prozentwert sind bekannt, der Grundwert ist gesucht.

Auch den Grundwert kann man mithilfe des Dreisatzes berechnen:

Der gegebene Prozentwert ist der Teil, der dem ebenfalls gegebenen Prozentsatz entspricht.
Mithilfe des Dreisatzes berechnet man nun den gesuchten Grundwert: Er ist "das Ganze", also der Wert, der 100 % entspricht.

Beispiel:

[Image]

[Image]

[Image]

[Image]

 Beispiele:

- Ein Softdrink enthält 11% Zucker. Pro Glas mit 300g sind das 300 g • 0,11 = 33 g.
gesucht: Prozentwert; Formel: W = G • p%
- Ein Händler gewährt im Schlussverkauf einen Rabatt von 19 € auf eine Hose im Wert von 49 €. Das sind fast 39 %, denn 19 € : 49 € ≈ 0,3878.
gesucht: Prozentsatz; Formel: p % = W : G
- Ein Bundesligatorwart hat eine Quote von 32 % gehaltenen Elfmetern. Er hat bislang 8 Elfmeter gehalten. Insgesamt hat er bislang also bei 8 : 0,32 = 25 Elfmetern im Tor gestanden.
gesucht: Grundwert; Formel: G = W : p %

Q: Berechne den Wert des Terms und wähle das richtige Ergebnis aus. \(  \)

a)  3,5 + 4 • 2,5 = [13.5]

b)  \(\frac{5}{6} \) • 3 – \(\frac{1}{2} \) = [2]

c)   (\(\frac{3}{4} \) – 0,4) : 7 = [0.05]

d)   5 + \(\frac{2}{3} \) • (6 + \(\frac{3}{2} \)) – 3² = [1]
- 13.5
- 2
- 0.05
- 1
- 12
- 12.5
- 0
- 0.5
- 0.17
- 0.2
- 24
A: 13.5 / 2 / 0.05 / 1
Feedback: Erklärung: Zahlterme werden immer in derselben, festgelegten Reihenfolge berechnet: 1. Klammern berechnen 2. Potenzen berechnen 3. Punkt- vor Strichrechnung 4. Wenn ausschließlich Strichrechnungen oder ausschließlich Punktrechnungen vorkommen, von links nach rechts rechnen. Du kannst dir das mit der Eselsbrücke "KLA-HO-PS" merken: Klammern-vor-Hochzahlen-vor-Punkt-vor-Strich). a) 3,5 + 4 • 2,5 = 3,5 + 10 = 13,5 b) \(\frac{5}{6} \) • 3 – \(\frac{1}{2} \) = \(\frac{5}{2} \) - \(\frac{1}{2} \) = \(\frac{4}{2} \) = 2 c) (\(\frac{3}{4} \) – 0,4) : 7 = 0,35 : 7 = \(\frac{35}{100} \) : 7 = \(\frac{5}{100} \) = 0,05 d) 5 + \(\frac{2}{3} \) • (6 + \(\frac{3}{2} \)) – 3² = 5 + \(\frac{2}{3} \) • \(\frac{15}{2} \) - 3² = 5 + 5 - 9 = 1

Q: Vervollständige die folgenden Sätze zu den Rechengesetzen.
Wähle für die Lücken die richtigen Begriffe aus.

Das [Kommutativgesetz] sagt aus:
Bei einer [Summe] und bei einem [Produkt] darf man zwei Zahlen vertauschen.

Das [Assoziativgesetz] sagt aus:
Bei einer [Summe] und bei einem [Produkt] aus drei Zahlen ist es gleichgültig, ob man zuerst die ersten beiden oder die letzten beiden Zahlen zusammenfasst.
- Kommutativgesetz
- Summe
- Produkt
- Assoziativgesetz
- Summe
- Produkt
- Differenz
- Quotient
- Distributivgesetz
A: Kommutativgesetz / Summe / Produkt / Assoziativgesetz / Summe / Produkt
Feedback: Erklärung: Die Rechengesetze geben an, in welchen Fällen man von der vorgegebenen Rechenreihenfolge (→ Klahops) abweichen darf, ohne dabei den Wert des Terms zu verändern. Das Kommutativgesetz besagt, dass bei Summen und Produkten die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden dürfen. Dies ändert nichts am Wert des Terms. Beispiele: - 3 + 7 = 7 + 3 - 2 • 9 = 9 • 2 Das Assoziativgesetz besagt, dass es bei Summen und Produkten aus drei (oder mehr) Summanden bzw. Faktoren keine Rolle spielt, welche der Summanden bzw. Faktoren zuerst zusammengefasst werden. Beispiele: - 3 + 4 + 5 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) - 2 • 3 • 4 = (2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4) Beide Rechengesetze gelten nicht für die Subtraktion (also bei Differenzen) und für die Division (also bei Quotienten).

Q: Entscheide, ob auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils tatsächlich gleichwertige Terme stehen und wähle entsprechend aus, ob die Gleichung "richtig" oder "falsch" ist.
Denke an die Rechengesetze!

\( \)

a) | 4,6 + 7,2 = 7,2 + 4,6 | [richtig] |
b) | \( \frac{3}{5} \) – 0,4 = 0,4 – \( \frac{5}{3} \) | [falsch] |
c) | \( \frac{3}{7} \) • \( \frac{8}{15} \) = \( \frac{8}{15} \) • \( \frac{3}{7} \) | [richtig] |
d) | 12 : \( \frac{4}{3} \) = \( \frac{4}{3} \) : 12 | [falsch] |
e) | (3,2 – 2) – 4,8 = 3,2 – (2 – 4,8) | [falsch] |
f) | 4 • (2,5 • 8) = 4 • (2,5 • 8) | [richtig] |
- richtig
- falsch
- richtig
- falsch
- falsch
- richtig
A: richtig / falsch / richtig / falsch / falsch / richtig
Feedback: Erklärung: Die Rechengesetze geben an, in welchen Fällen man von der vorgegebenen Rechenreihenfolge (→ Klahops) abweichen darf, ohne dabei den Wert des Terms zu verändern. Das Kommutativgesetz besagt, dass bei Summen und Produkten die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden dürfen. Dies ändert nichts am Wert des Terms. Beispiele: - 3 + 7 = 7 + 3 - 2 • 9 = 9 • 2 Das Assoziativgesetz besagt, dass es bei Summen und Produkten aus drei (oder mehr) Summanden bzw. Faktoren keine Rolle spielt, welche der Summanden bzw. Faktoren zuerst zusammengefasst werden. Beispiele: - 3 + 4 + 5 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) - 2 • 3 • 4 = (2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4) Beide Rechengesetze gelten nicht für die Subtraktion (also bei Differenzen) und für die Division (also bei Quotienten).

Q: Vervollständige die folgenden Sätze zum Distributivgesetz.
Wähle für die Lücken die richtigen Begriffe aus.

Das Distributivgesetz verbindet die [Multiplikation] mit der Addition bzw. [Subtraktion].

Man kann es anwenden, um in Termen mit Klammern diese durch [Ausmultiplizieren] zu beseitigen oder um durch [Ausklammern] in Termen Klammern einzufügen.

Beim [Ausmultiplizieren] wird jedes Glied des Klammerterms mit dem [Faktor] vor bzw. nach der Klammer [multipliziert].
Beim [Ausklammern] wird aus allen Gliedern eines Terms ein [gemeinsamer] [Faktor] vor die Klammer gesetzt.
- Multiplikation
- Subtraktion
- Ausmultiplizieren
- Ausklammern
- Ausmultiplizieren
- Faktor
- multipliziert
- Ausklammern
- gemeinsamer
- Faktor
- Addition
- Division
- addiert
- dividiert
- subtrahiert
- Summand
- unterschiedlicher
A: Multiplikation / Subtraktion / Ausmultiplizieren / Ausklammern / Ausmultiplizieren / Faktor / multipliziert / Ausklammern / gemeinsamer / Faktor
Feedback: Erklärung: Das Distributivgesetz (oder "Verteilungsgesetz") besagt, dass man bei der Multiplikation einer Summer mit einem Faktor ebenso auch jeden einzelnenen Summanden mit diesem Faktor multiplizieren darf. Dasselbe gilt auch für Differenzen. Beispiele: - 3 • (4 + 5) = 3 • 4 + 3 • 5 - 2 • (6 - 3) = 2 • 6 - 2 • 3 Die Termumformung von "links nach rechts", bei der die Klammer beseitigt wird und der Faktor auf alle Glieder in der Klammer verteilt wird, heißt "Ausmultiplizieren". Die Termumformung von "rechts nach links", bei der eine Klammer eingefügt und der gemeinsame Faktor vor die Klammer geschrieben wird, wird "Ausklammern" genannt.

Q: In Deutschland wird auf den Verkauf von Waren und die Bezahlung von Dienstleistungen eine Mehrwertsteuer von 19 % erhoben.
Dieser Betrag kommt zum eigentlichen Verkaufsbetrag ("Netto-Preis") hinzu und wird an den Staat abgeführt.
Für Grundnahrungsmittel beträgt die Mehrwertsteuer nur 7%.

Aufgabe 1 [Image]

Eine Skijacke kostet im Sportgeschäft SportMayer (einschließlich der Mehrwertsteuer) 95,20 €.
Berechne den eigentlichen Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer.

Der Netto-Preis der Jacke beträgt [80] €.

Aufgabe 2

Der Ladenbesitzer möchte eine Sporthose zu einem Nettopreis von 13,80 € verkaufen.
Berechne den Preis, zu dem er die Sporthose verkaufen muss.

Um selbst 13,80 € an der Hose zu verdienen, muss er diese (einschl. MwSt.) für [16,42] € verkaufen.

Aufgabe 3

Ein Bauern-Brot kostet bei der Bäckerei Cnossen 3,60 €.
Berechne, wieviel davon als Steuern an den Staat geht.

Im Brotpreis von 3,60 € sind [0,24] € MwSt. enthalten.
- 80
- 16,42
- 0,24
A: 80 / 16,42 / 0,24

Q: Ein Möbelgeschäft wirbt damit, dass es bei einer Rabattaktion seine Artikel zwischen 30 % und 70 % günstiger verkauft. [Image]

Aufgabe 1

Eine Lampe kostet statt 50 € nur noch 33,50 €.
Berechne, um wieviel Prozent der Preis gesenkt wurde.

Der Preis der Lampe wurde um [33] % reduziert.

Aufgabe 2

In der Leuchten-Abteilung erhält man auf alle Waren denselben Nachlass.
Berechne, wieviel man für eine Lampe bezahlen muss, die ursprünglich 92,80 € gekostet hat.

Der ermäßigte Verkaufspreis für die Lampe beträgt [62,18] €.
- 33
- 62,18
A: 33 / 62,18

Q: [Image]Der Preis für eine Fahrkarte stieg in den letzten Jahren jeweils um 4 %. Trotzdem sank der Gewinn des Verkehrsbetriebes um 13 %.
Gib jeweils den Wachstumsfaktor an.

Der Wachstumsfaktor zur jährlichen Preisentwicklung für eine Fahrkarte beträgt [1,04].
Der Wachstumsfaktor zur Gewinnentwicklung des Betriebes beträgt [0,87].
- 1,04
- 0,87
A: 1,04 / 0,87

Q: Berechne jeweils den Wachstumsfaktor und gib an, um wieviel Prozent sich der Wert geändert hat.

Aufgabe 1

Der Preis für ein Computerspiel wurde wegen einer Beschädigung der Verpackung von 25 € auf 22 € gesenkt.

Der Wachstumsfaktor beträgt [0,88].
Der Preis wurde um [12] % reduziert.

Aufgabe 2

Der Pegelstand des Neckar bei Gundelsheim ist nach anhaltendem Regen in zwei Tagen von 240 cm auf 336 cm gestiegen.

Der Wachstumsfaktor beträgt [1,4].
Der Pegel ist um [40] % angestiegen.

Aufgabe 3 [Image]

Der Preis für einen Sportanzug wurde im Schlussverkauf von 99,80 € auf 74,85 € reduziert.
Berechne, wie hoch der Rabatt ist.

Der Rabatt beträgt [25] %.
- 0,88
- 12
- 1,4
- 40
- 25
A: 0,88 / 12 / 1,4 / 40 / 25

Q: Aufgabe 1

Ein Hersteller wirbt damit, dass als Jubiläumsaktion in jeder Packung Schokoladenpudding für denselben Preis 15 % mehr Inhalt angeboten werden. Üblicherweise enthält ein Becher 160 g Schokoladenpudding.
Berechne, wieviel Gramm Schokopudding während der Jubiläumsaktion in einem Becher sind.

Ein Becher enthält [184] g Schokoladenpudding.

Aufgabe 2 [Image]

Wegen gestiegener Betriebskosten erhöht sich der Preis für eine Bahnkarte um 5 %.
Berechne, wie teuer künftig eine Karte ist, die bisher 8,95 € kostete.

Der Preis für eine Bahnkarte erhöht sich auf [9,40] €.
- 184
- 9,40
A: 184 / 9,40

Q: Aufgabe 1

Ein Modegeschäft wirbt zum 35-jährigen Jubiläum mit einer Rabatt-Aktion: der Preis wird für alle Waren um 35 % reduziert. Paula möchte eine Hose kaufen, die ursprünglich 49 € kostete. [Image]
Berechne, wie teuer die Hose während der Jubiläumsaktion ist.

Die Hose kostet aufgrund des Rabatts nur noch [31,85] €.

Aufgabe 2

Ein Autohersteller kann die Lieferzeiten wegen Optimierungen bei der Produktion und der Lagerhaltung um 16 % senken. Familie Wenger möchte ein Auto bestellen, für das die Lieferzeit bisher 75 Tage betrug.
Berechne, wie lange sie nun auf die Lieferung warten müssen.

Die Lieferzeit für das Auto beträgt nun noch [63] Tage.
- 31,85
- 63
A: 31,85 / 63

Q: Aufgabe 1 [Image]

Der Pegelstand des Neckar bei Plochingen ist nach starkem Regen um 24% auf nun 217 cm gestiegen.
Berechne, wie hoch der Pegelstand zuvor war.

Der Pegel stand vor dem Regen bei [175] cm.

Aufgabe 2

Die Zustimmung der Bevölkerung zu ihrem Bürgermeister ist bereits kurz nach der Wahl um 45 % gesunken: Nur noch 5940 Wähler würden ihn nun wählen.
Berechne, wieviele Wähler ihn gewählt hatten.

Es hatten [10800] Wähler für den Bürgermeister gestimmt.
- 175
- 10800
A: 175 / 10800

Q: Fülle die Tabelle aus und berechne jeweils den Grundwert. [Image]

geänderter Grundwert (erhöht bzw. vermindert) (Prozentwert) | Änderung | Grundwert
16,24 kg | Zunahme auf 112 % | [14,5] kg
810 € | Zunahme um 35 % | [600] €
43392 Stimmen | Abnahme auf 96 % | [45200] Stimmen
39,6 min | Abnahme um 12 % | [45] min
- 14,5
- 600
- 45200
- 45
A: 14,5 / 600 / 45200 / 45

Q: Gib an, auf wieviel Prozent sich der Wert verändert hat.

[Image]Aufgabe 1

Der Wert einer Aktie des Mobilfunkunternehmens hEnd.i ist um 13 % gestiegen.
Er beträgt nun [113] % des vorherigen Wertes.

Aufgabe 2

Der Wert einer Aktie der Versicherungsgesellschaft Securi ist um 22 % gefallen.
Er beträgt nun nur noch [78] % des vorherigen Wertes.
- 113
- 78
A: 113 / 78

Q: Fülle die Tabelle aus und gib jeweils an, um wieviel bzw. auf wieviel Prozent sich ein Wert geöndert hat. [Image]

Änderung um... | Änderung auf...
Zunahme um 3 % | Zunahme auf [103] %
Zunahme um 32 % | Zunahme auf [132] %
Zunahme um [72] % | Zunahme auf 172 %
Zunahme um [120] % | Zunahme auf 220 %
Abnahme um 3 % | Abnahme auf [97] %
Abnahme um 32 % | Abnahme auf [68] %
Abnahme um [19] % | Abnahme auf 81 %
Abnahme um [87] % | Abnahme auf 13 %
Zunahme um 7,2 % | Zunahme auf [107,2] %
Abnahme um 6,3 % | Abnahme auf [93,7] %
... um [11] % | ... auf 111 %
... um [86,2] % | ... auf 13,8 %
... um [2,5] | ... auf 102,5 %
... um [58] % | ... auf 42 %
- 103
- 132
- 72
- 120
- 97
- 68
- 19
- 87
- 107,2
- 93,7
- 11
- 86,2
- 2,5
- 58
A: 103 / 132 / 72 / 120 / 97 / 68 / 19 / 87 / 107,2 / 93,7 / 11 / 86,2 / 2,5 / 58

Q: [Image]Bei der Herstellung von Gemüsepaste wird durch Erhitzen das Gewicht der frischen Gemüses um 88 % reduziert.
Laut Herstellerangabe befindet sich in einem 135-g-Glas ein Anteil von 67 % Gemüse.

Aufgabe 1

Berechne, wieviel Gemüse zur Herstellung des Glases verwendet wurde. (Runde auf ganze Gramm.)

In einem Glas mit Gemüsepaste sind ca. [90] g Gemüse enthalten.
Zur Herstellung wurden demnach ca. [750] g frisches Gemüse verwendet.

Aufgabe 2

Berechne, wieviel Gemüsepaste aus 150 kg frischem Gemüse hergestellt werden können.

Nach der Konzentration beim Herstellungsprozesse hat das Gemüse noch eine Masse von ca. [18] kg. Das reicht - auf ganze kg gerundet - zur Herstellung von etwa [27] kg Gemüsepaste.
- 90
- 750
- 18
- 27
A: 90 / 750 / 18 / 27

Q: [Image]Banken berechnen Zinsen. Wenn Du auf einem Sparbuch Geld bei der Bank hast, bekommst Du Zinsen. Wenn Du mit einem Kredit Geld bei der Bank leihst, musst Du dafür Zinsen bezahlen. Wie hoch die Zinsen sind, wird meist in Prozent angegeben.

Man kann die Prozentrechnung auf die Zinsrechnung übertragen.

Gib an, welcher Begriff jeweils dem Begriff aus der Prozentrechung entspricht.

Prozentrechnung | Zinsrechnung
Grundwert | [Kapital]
Prozentwert | [Zinsen]
Prozentsatz | [Zinssatz]
- Kapital
- Zinsen
- Zinssatz
- Zinseszins
- Sparbuch
A: Kapital / Zinsen / Zinssatz

Q: [Image]Aufgabe 1

Lena hat ein Guthaben von 1250 € auf einem Sparbuch mit einem Zinssatz von 2 % p.a. angelegt.
Berechne, wieviel Zinsen sie am Ende des Jahres gutgeschrieben bekommt.

Bei einem Zinssatz von 2 % bekommt sie auf ihre 1250 € von der Bank Zinsen in Höhe von [25] €.

Aufgabe 2

Ein Elektronik-Discounter bietet an, einen Artikel zu kaufen und erst ein Jahr später zu bezahlen. Es kommen 4,5 % Zinsen dazu.
Berechne, wieviel Zinsen das bei einem Fernsehgerät sind, das 598 € kostet.

Die Zinsen für das Fernsehgerät betragen [26,91] €.
- 25
- 26,91
A: 25 / 26,91

Q: Aufgabe 1

Eine Stadt möchte einen Kredit aufnehmen, um die Schule und die Sporthalle zu sanieren. Die jährliche Belastung durch die Zinsen darf höchstens 5000 € betragen. Der Zinssatz liegt bei 1,6 % p.a.
Berechne, wieviel Kapital die Stadt für die Renovierung maximal aufnehmen darf.

Bei einem Jahreszinssatz von 1,6 % darf das Kapital maximal [312500] € betragen, damit die Zinsen 5000 € nicht übersteigen.

[Image]Aufgabe 2

Lennart bekommt 45,05 € Zinsen auf sein Sparbuch. Der Zinssatz beträgt 1,7 %.
Berechne, wieviel Geld er auf seinem Sparbuch hatte.

Lennart hatte [2650] € auf seinem Sparbuch.
- 312500
- 2650
A: 312500 / 2650

Q: [Image]Louis' Eltern haben am Monatsende das Konto um 320 € überzogen. Die Bank berechnet ihnen dafür 3,52 € Zinsen.
Berechne, wie hoch der Zinssatz für die Kontoüberziehung ist.

Bei der Kontoüberziehung hat die Bank Zinsen in Höhe von [1,1] % berechnet.
- 1,1
A: 1,1

Q: [Image]Aufgabe 1

Bei Überziehungszinsen rechnet eine Bank mit einem Zinssatz von 12,5 % p.a. Allerdings wird ein Konto in vielen Fällen nur wenige Tage überzogen.
Berechne, wie hoch die Zinsen sind, wenn das Konto 6 Tage lang um 732 € überzogen war.

Die Überziehungszinsen für 6 Tage betragen [1,53] €.

Aufgabe 2

Auf einem Festgeldkonto kann online Geld zu einem Zinssatz von 0,9 % p.a. angelegt werden.
Maia hat 850 € zu ihrer Konfirmation geschenkt bekommen. Ihr Vater will das Geld für sie 4 Monate lang auf einem Festgeldkonto anlegen, bevor sie sich anschließend davon eine Geige kaufen möchte.
Berechne, wieviel Zinsen sie für die 4 Monate bekommen würde.

Bei einem Zinssatz von 0,9 % p.a. würde sie für 4 Monate [2,55] € Zinsen bekommen.
- 1,53
- 2,55
A: 1,53 / 2,55

Q: [Image]Aufgabe 1

Sören leiht seinem Bruder 60 €. Nach drei Wochen möchte er einschließlich Zinsen 62 € zurück haben.
Berechne, wie hoch entsprechend der Jahreszinssatz wäre. Runde die Prozentangabe auf eine Dezimale

Sören würde seinem Bruder das Geld zu einem Zinssatz von [57,1] % p.a. leihen.

Aufgabe 2

Steffis Vater bekommt nach zwei Monaten auf sein Konto bei einem Zinssatz von 1,4 % p.a. Zinsen in Höhe von 6,78 € gutgeschrieben.
Berechne, wieviel Geld er auf seinem Konto hatte.

Steffis Vater hatte [2905,71] € auf seinem Konto.
- 57,1
- 2905,71
A: 57,1 / 2905,71

Q: Aufgabe 1

Larissa hat für fünf Jahre 700 € zu einem Zinssatz von 2,0 % p.a. fest angelegt.
Berechne die gesuchten Werte. (Gib alle Beträge mit zwei Stellen nach dem Komma an!)

Larissa bekommt im ersten Jahr [14,00] € Zinsen.
Im zweiten Jahr bekommt sie [0,28] € Zinseszinsen.

Nach drei Jahren hat sie insgesamt [742,85] €.
Am Ende, nach fünf Jahren, hat sie [772,86] €.
Davon sind [2,86] € Zinseszinsen.

[Image]Aufgabe 2

Stelle dir vor, dein Uropa hätte in weiser Voraussicht im Jahr 1960, also vor 57 Jahren, Geld im Wert von 100 € für Dich angelegt.
Berechne, wieviel Geld das mit Zinsen und Zinseszinsen heute wären, wenn man von einem (durchschnittlichen) Zinssatz von 3 % ausgeht.

Aus den 100 € wären inzwischen einschl. Zinseszins [539,17] € geworden.

Wenn du nun auf das Geld verzichten und es für einen möglichen Ururenkel weitere 100 Jahre angelegt lassen würdest: Wieviel Geld wäre das dann für deinen Urenkel?
Berechne, wieviel Geld nach 100 Jahren bei einem angenommen Zinssatz von 3 % p.a. auf dem Sparbuch wären.
Das Sparguthaben würde [10362,11] € betragen.
Davon wären [1618,00] € Zinsen und [8204,94] € Zinseszinsen.
- 14,00
- 0,28
- 742,85
- 772,86
- 2,86
- 539,17
- 10362,11
- 1618,00
- 8204,94
A: 14,00 / 0,28 / 742,85 / 772,86 / 2,86 / 539,17 / 10362,11 / 1618,00 / 8204,94

Prozentuale Änderungen, Zu- und Abnahmen:

Steigt ein Wert bspw. um 5 %, so beträgt der neue Wert 105 % des alten Wertes:
zum ursprünglichen Wert (100 %) kommen noch 5 % dazu. Er steigt also um 5 % auf dann 105 %.

Entsprechend sinkt ein Wert, wenn er um 5 % abnimmt, auf nur noch 95%:
vom ursprünglichen Wert (100 %) werden 5 % abgezogen.

Beispiele:

- Das Gehalt von Pits Vater steigt um 3,2 %. Er erhält nun 103,2% des vorherigen Gehalts.
- Ein Unternehmen senkt die Produktionskosten um 25% auf nur noch 75 % der ursprünglichen Kosten.

Bei einer prozentualen Zunahme um bspw. 15 % hast du zwei Möglichkeiten der Berechnung:

- entweder:  Du berechnest als Prozentwert die 15 %, um die der Wert zunimmt, und addierst dies zum Grundwert.
- oder:         Du betrachtest den neuen Wert als um 15 % auf dann 115 % erhöhten Grundwert.
Mit der Formel kannst du den Wert dann direkt berechnen, indem du mit dem Wachstumsfaktor 1,15 multiplizierst.
Die zweite Möglichkeit geht schneller. Außerdem kommst du nur mit dieser Vorgehensweise in komplizierteren Fällen (wenn z.B. der Grundwert G gesucht ist) ans Ziel.

Beispiele:

- Der Wert einer Aktie ist um 12 % gestiegen. Er betrug vorher 74 €. Nach dem Anstieg auf 112 % beträgt er 74 € • 1,12 = 82,88 €.
- Die Schülerzeitung verkauft sich in diesem Jahr deutlich besser als im letzten. Damals waren es 380 verkaufte Exemplare, nun sind es 30 % mehr. Nach dem Anstieg um 30 % auf nun 130 % wurden in diesem Jahr demnach 380 • 1,3 = 494 Zeitungen verkauft.

Bei einer prozentualen Abnahme um bspw. 15 % hast du zwei Möglichkeiten der Berechnung:

- entweder:  Du berechnest als Prozentwert die 15 %, um die der Wert abnimmt, und subtrahierst dies vom zum Grundwert.
- oder:         Du betrachtest den neuen Wert als um 15 % auf dann nur noch 85 % verminderten Grundwert.
Mit der Formel kannst du den Wert dann direkt berechnen, indem du mit dem Wachstumsfaktor 0,85 multiplizierst.
Die zweite Möglichkeit geht schneller. Außerdem kommst du nur mit dieser Vorgehensweise in komplizierteren Fällen (wenn z.B. der Grundwert G gesucht ist) ans Ziel.

Beispiele:

- Der Wert einer Aktie ist um 12 % gefallen. Er betrug vorher 74 €. Nach der Abnahme auf 88 % beträgt er 74 € • 0,88 = 65,12 €.
- Die Schülerzeitung verkauft sich in diesem Jahr deutlich schlechter als im letzten. Damals waren es 380 verkaufte Exemplare, nun sind es 30 % weniger. Nach der Abnahme um 30 % auf nun nur noch 70 % wurden in diesem Jahr demnach 380 • 0,7 = 266 Zeitungen verkauft.

Bei einer prozentualen Änderung betrachtet man den neuen Wert (W) als "erhöhten" bzw. "verminderten Grundwert".
Bei einer Zunahme um 15 % beträgt der erhöhte Grundwert W 115 % des ursprünglichen Grundwerts G. Entsprechend beträgt bei einer Abnahme um 15 % der verminderte Grundwert W 85 % des ursprünglichen Grundwerts G.

Damit kann man nun den gesuchten ursprünglichen Grundwert wie gewohnt berechnen, wenn die Änderung (in Prozent; p %) und der geänderte (erhöhte oder verminderte) Grundwert (W) bekannt sind.

Beispiele:

- Der Wert einer Aktie ist um 25 % gestiegen. Er beträgt nun 94 €. W ist 94 €, p % entspricht dem Wachstumsfaktor auf 125 %. Der ursprüngliche Wert (G) beträgt 94 € : 1,25 = 75,20 €
(G = W : p %).
- Die Schülerzeitung verkauft sich in diesem Jahr deutlich schlechter als im letzten. Es wurden nur noch 385 Exemplare verkauft - ein Rückgang um 30 %. Aufgrund der Abnahme um 30 % auf nun 70 % beträgt der Wachstumsfaktor 0,7 (p %). Der verminderte Grundwert W beträgt 380. Der ursprüngliche Wert (G) war demnach 385 : 0,7 = 550.

Bei einer prozentualen Änderung betrachtet man den neuen Wert (W) als "erhöhten" bzw. "verminderten Grundwert".
Kennt man neben dem ursprünglichen Grundwert G auch den veränderten Grundwert W, so kann man den Wachstumsfaktor p % berechnen.
Ist dieser größer als 1, so handelt es sich um eine Zunahme, ist er kleiner als 1, liegt eine Abnahme vor.
Um wieviel Prozent der Wert zu- bzw. abgenommen hat, kannst du auch am Wachstumsfaktor ablesen:

- Bei einem Wachstumsfaktor von bspw. 1,2 liegt eine Änderung auf 120 % vor, d.h. eine Zunahme um 20 %.
- Bei einem Wachstumsfaktor von bspw. 0,93 liegt eine Änderung auf 93 % vor, d.h. eine Abnahme um 7 %.

Beispiele:

- Der Wert einer Aktie ist von 68,40 € auf 71,82 € gestiegen. Er beträgt nun 71,82 € (W) : 68,40 € (G) = 1,05 = 105 % des ursprünglichen Wertes. Der Wert hat sich also auf 105 % bzw. um 5 % erhöht (p % = W : G).
- Die Schülerzeitung verkauft sich in diesem Jahr deutlich schlechter als im letzten: Nach 440 verkauften Exemplaren im Vorjahr waren es jetzt nur noch 374. Der Absatz betrug damit nur noch 374 (W) : 440 (G) = 0,85 = 85 % des letztjährigen Wertes. Der Wert hat sich also auf 85 % bzw. um 15 % vermindert.

Bei einer prozentualen Änderung betrachtet man den neuen Wert (W) als "erhöhten" bzw. "verminderten Grundwert".

- So entspricht bspw. der Preis nach einem Rabatt (W) um 25 % einem Anteil von 75 % bzw. 0,75 (p %) des ursprünglichen Preises (G).
- Ebenso ist der Verkaufspreis eines Produktes (W) einschließlich der Mehrwertsteuer von 19 % der um 19 % auf 119 % bzw. 1,19 (p %) erhöhte Nettopreis ohne Mehrwertsteuer (G).

Sind zwei der drei Werte (ursprünglicher Wert = Grundwert G  /  Wert nach der Änderung = veränderter Grundwert W  /  Wachstumsfaktor p %) bekannt, so kann man den fehlenden - wie bei der Prozentrechnung üblich - berechnen.

Beispiele:

- W gesucht:
Ein Händler gewährt 5 % Nachlass auf einen Preis von 25,40 € (G) bei Bezahlung innerhalb von 7 Tagen. Wegen einer Senkung um 5 % auf nur noch 95 % beträgt der Wachstumsfaktor p % = 0,95. Der Preis, der bezahlt werden muss, beträgt 25,40 € (G) • 0,95 (p %) = 24,31 €
(W = G • p%).
- G gesucht:
Der Verkaufspreis für einen Laptop beträgt 453,39 €. Darin enthalten sind 19 % Mehrwertsteuer. 453,39 € (W) entsprechen also 119 % des Nettopreises ohne Steuer (G). Der Nettopreis beträgt demnach 453,39 € (W) : 1,19 (p %) = 381 €
(G = W : p%).
Die Mehrwertsteuer beträgt demnach 453,39 € - 381 € = 72,39 €.
- p % gesucht:
Der gleiche Laptop wird zum gleichen Nettopreis in Österreich aufgrund der höheren Mehrwertsteuer für 457,20 € verkauft. Um den Steuersatz zu berechnen, geht man so vor:
457,20 (W) : 381 € (G) = 1,2
(p % = W : G).
Da der Verkaufspreis 120 % des Nettopreises beträgt, muss die Mehrwertsteuer in Österreich folglich 20 % betragen.

Q: [Image]

Welche Winkel in der Abbildung sind Nebenwinkel und welche Scheitelwinkel zueinander?

α und β [Nebenwinkel]
α und γ [weder noch]
α und δ [weder noch]
α und ε [Nebenwinkel]
β und γ [weder noch]
β und δ [weder noch]
β und ε [Scheitelwinkel]

γ und δ [weder noch]
γ und ε [weder noch]
δ und ε [weder noch]
- Nebenwinkel
- weder noch
- weder noch
- Nebenwinkel
- weder noch
- weder noch
- Scheitelwinkel
- weder noch
- weder noch
- weder noch
A: Nebenwinkel / weder noch / weder noch / Nebenwinkel / weder noch / weder noch / Scheitelwinkel / weder noch / weder noch / weder noch

Q: [Image]

Trage jeweils die gesuchten Winkelweiten ein.

a) In der Abbildung sei ε = 42°.

    Dann ist α = [138]°  und  β = [42]°.

b) Nun sei in der Abbildung γ = 93° und δ = 40°.

    Dann ist  α = [133]° , β = [47]° und  ε = [47]°.
- 138
- 42
- 133
- 47
- 47
A: 138 / 42 / 133 / 47 / 47

Q: Wie lassen sich die fehlenden Winkel berechnen?

[Image]

Ordne jeweils das richtige Kärtchen zu.

α = [90° - β]

β = [90° - γ]
- 90° - β
- 90° - γ
- 180° - β
- 90° + α
- 180° - γ
- 90° + δ
A: 90° - β / 90° - γ

Q: Wähle die richtigen Winkel aus.

[Image]

ε ist Wechselwinkel zu [δ]
ε ist Stufenwinkel zu [β]

η ist Wechselwinkel zu [α]

η ist Stufenwinkel zu [γ]
- δ
- β
- α
- γ
- ε
- η
A: δ / β / α / γ

Q: [Image]

Die Geraden h und f sind parallel zu einander.
Bestimme die Winkelweiten und trage sie ein.

α = [56]°

β = [34]°

γ = [146]°

δ = [34]°
- 56
- 34
- 146
- 34
A: 56 / 34 / 146 / 34

Q: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen.

Ein Parallelogramm ist ein [Viereck], bei dem die [gegenüber liegenden] Seiten jeweils [parallel] zueinander sind.
- Viereck
- gegenüber liegenden
- parallel
- orthogonal
- gleich lang
- Körper
- Dreieck
- nebeneinander liegenden
A: Viereck / gegenüber liegenden / parallel

Q: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen.

Ein Trapez ist ein [Viereck], bei dem zumindest zwei [gegenüber liegende] Seiten [parallel] zueinander sind.
- Viereck
- gegenüber liegende
- parallel
- orthogonal
- gleich lang
- Körper
- Dreieck
- nebeneinander liegenden
A: Viereck / gegenüber liegende / parallel

Q: Fülle die Lücken mit den passenden Begriffen.

Jedes [Parallelogramm] ist ein [Trapez] - andersherum gilt das [nicht]!
- Parallelogramm
- Trapez
- nicht
- ebenso
A: Parallelogramm / Trapez / nicht

Q: [Image]

Die Abbildung zeigt ein Parallelogramm.

Bestimme die fehlenden Winkelweiten und trage sie ein.

β = [122]°

γ = [58]°

δ = [122]°
- 122
- 58
- 122
A: 122 / 58 / 122

Q: [Image]

Die beiden Abbildungen zeigen zwei Trapeze.

Bestimme jeweils die fehlenden Winkelweiten und trage sie ein.

a) α = [125]°

    β = [90]°

b) α = [60]° [Image]

    γ = [155]°
- 125
- 90
- 60
- 155
A: 125 / 90 / 60 / 155

Q: [Image]Vervollständige die Beweisidee zum Winkelsummensatz für Dreiecke.
Ergänze in den Lücken die passenden Begriffe.

Man zeichnet eine [parallele] Hilfsgerade zu einer [Seite] des Dreiecks (siehe Abbildung).
ε ist ein [Wechselwinkel] zu [β] und δ ein [Wechselwinkel] zu [α].
Da δ, γ und ε zusammen [180°] ergeben (denn sie bilden einen [gestreckten] Winkel), gilt dies ebeso auch für α, β und γ, denn:
α und [δ] sowie β und [ε] sind jeweils gleich groß.

Demnach beträgt die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck [180°].
- parallele
- Seite
- Wechselwinkel
- β
- Wechselwinkel
- α
- 180°
- gestreckten
- δ
- ε
- 180°
- 90°
- 360°
- orthogonale
- Ecke
- Gerade
- rechten
- stumpfen
A: parallele / Seite / Wechselwinkel / β / Wechselwinkel / α / 180° / gestreckten / δ / ε / 180°

Q: [Image]Bestimme jeweils die gesuchten Winkelweiten in den Dreiecken und trage sie ein.

a) α = [63]°

[Image]

b) β = [85]°

c) α ist halb so groß wie β und γ ist um 20° größer als α.

    α = [40]°
    β = [80]°
    γ = [60]°
- 63
- 85
- 40
- 80
- 60
A: 63 / 85 / 40 / 80 / 60

Q: Vervollständige zu richtigen Aussagen.

Ein Dreieck heißt ...
  ... spitzwinklig, wenn es [3] [spitze(n)] Winkel hat.
  ... stumpfinklig, wenn es [1] [stumpfe(n)] Winkel hat.
  ... rechtwinklig, wenn es [1] [rechte(n)] Winkel hat.
- 3
- spitze(n)
- 1
- stumpfe(n)
- 1
- rechte(n)
- 2
A: 3 / spitze(n) / 1 / stumpfe(n) / 1 / rechte(n)

Q: Gegeben sind Innenwinkel verschiedener Dreiecke.

Entscheide jeweils, um welche Art von Dreieck es sich handelt und wähle aus.

 | α | β | γ | Art
Dreieck 1 | 120° | 14° | 46° | [stumpfwinklig]
Dreieck 2 | 68° | ? | 22° | [rechtwinklig]
Dreieck 3 | 15° | 2·γ | ? | [stumpfwinklig]
Dreieck 4 | ? | 77° | 22° | [spitzwinklig]
- stumpfwinklig
- rechtwinklig
- stumpfwinklig
- spitzwinklig
A: stumpfwinklig / rechtwinklig / stumpfwinklig / spitzwinklig

Q: Vervollständige die Beweisidee zum Winkelsummensatz für Vielecke.
Fertige als Hilfe eine Skizze an.
Ergänze in den Lücken die passenden Begriffe.

Wenn man ein Viereck durch eine [Diagonale] in [2] [Dreiecke] zerlegt, so kann man erkennen, dass die Innenwinkel des Vierecks [genau so groß] sind wie die Innenwinkel [der beiden] [Dreiecke] zusammen.

Genau so geht das bei den anderen Vielecken: Man trennt immer durch eine weitere [Diagonale] ein weiteres [Dreieck] ab.
Bei einem Achteck erhält man so zum Beispiel [6] Dreiecke. Die Innenwinkel im Achteck betragen deshalb zusammen [1080°] und die im Viereck [360°].
- Diagonale
- 2
- Dreiecke
- genau so groß
- der beiden
- Dreiecke
- Diagonale
- Dreieck
- 6
- 1080°
- 360°
- 180°
- 720°
- 1440°
- 400°
- 800°
- 3
- 4
- 5
- 7
- 8
- Seiten
- Kreislinie
- größer
- kleiner
- aller drei
- Vierecke
A: Diagonale / 2 / Dreiecke / genau so groß / der beiden / Dreiecke / Diagonale / Dreieck / 6 / 1080° / 360°

Q: Bestimme die fehlenden Winkelweiten und trage sie ein.

[Image]

α = [70]° [Image]

β = [120]°
- 70
- 120
A: 70 / 120

Q: [Image]Vervollständige den Text.
Ergänze in den Lücken die passenden Begriffe.

1. Das abgebildete Dreieck ist [gleichschenklig] und sogar [gleichseitig].

2. Das zweite abgebildete Dreieck ist [gleichschenklig].
a ist [ein Schenkel] des Dreiecks, b ist [ein Schenkel] des Dreiecks und c ist [die Basis] des Dreiecks.
Die Basiswinkel des Dreiecks heißen [α und β]. Sie [sind gleich groß]. [Image]
- gleichschenklig
- gleichseitig
- gleichschenklig
- ein Schenkel
- ein Schenkel
- die Basis
- α und β
- sind gleich groß
- α und γ
- β und γ
- ergeben zusammen 180°
- ergeben zusammen 90°
A: gleichschenklig / gleichseitig / gleichschenklig / ein Schenkel / ein Schenkel / die Basis / α und β / sind gleich groß

Q: [Image]Bestimme in den abgebildeten Dreiecken jeweils die gesuchten Größen

a) a = [5] cm

    α = [70]°

b) α = [80]°

    γ = [50]° [Image]

c) α = [45]°

    β = [45]°

    a = [b] [Image]
- 5
- 70
- 80
- 50
- 45
- 45
- b
A: 5 / 70 / 80 / 50 / 45 / 45 / b

Q: Entscheide, ob das Dreieck mit den gegebenen Maßen (eindeutig) konstruierbar ist oder nicht.

a)  a = 5 cm,  b = 4 cm,  c = 6 cm   - [ja]

b)  α = 20°, β = 85°,  γ = 75°   - [nein]

c)  a = 5 cm,  b = 7 cm,  α = 22°   - [nein]

d)  a = 8 cm,  c = 6 cm,  α = 70°   - [ja]

e)  a = 5 cm,   β = 60°,  γ = 44°   - [ja]

f)   a = 7 cm,  b = 14 cm,  c = 6 cm   - [nein]

g)  b = 12 cm,  α = 130°,  γ = 60°   - [nein]
- ja
- nein
- nein
- ja
- ja
- nein
- nein
A: ja / nein / nein / ja / ja / nein / nein

Q: In den folgenden Aufgaben sind immer drei Größen eines Dreiecks gegeben.
Konstruiere dieses Dreieck auf Papier. Zeichne zuerst immer eine Planfigur!

Miss anschließend die gesuchten Maße und trage sie ein.

1. gegeben: a = 4 cm,  b = 5 cm,  γ = 65°.
Nach Konstruktion gemessen: c = [...] cm,  α = [...]°,  β = [...]°.

2. gegeben: c = 4 cm,  α = 45°,  β = 105°.
Nach Konstruktion gemessen: a = [...] cm,  b = [...] cm,  γ = [...]°.

3. gegeben: a = 4 cm,  b = 5 cm,  c = 7,5 cm°.
Nach Konstruktion gemessen: α = [...]°,  β = [...]°,  γ = [...]°.

4. gegeben: b = 5 cm,  α = 75°,  β = 20°.
Nach Konstruktion gemessen: a = [...] cm,   c = [...] cm,  γ = [...]°.

5. gegeben: a = 4 cm,  c = 6 cm,  γ = 55°.
Nach Konstruktion gemessen: b = [...] cm,  α = [...]°,  γ = [...]°.
A: 4.9; 47.5; 67.5; 5.65; 7.7; 30; 29.5; 38; 112.5; 14.15; 14.55; 85; 7.3; 33; 92

Q: [Image]Eine Leiter ist schräg an eine Hauswand gelehnt.

1. Die Leiter ist 5 m lang und steht unten 2,10 m entfernt von der Wand auf dem Boden. Bestimme zeichnerisch, wie hoch die Leiter an der Wand reicht. (Tipp: Überlege, welchen Winkel du angeben bzw. einzeichnen kannst.)
Die Leiter reicht [...] m hoch.

2. Die Leiter ist 5 m lang und reicht an der Wand 4,80 m hoch. Bestimme zeichnerisch, wie weit sie unten von der Wand entfernt steht. Welchen Winkel α bildet sie mit dem Boden?
Die Leiter steht unten [...] m entfernt.
Der Winkel α beträgt [...]°.

3. Die Leiter steht unten 1,70 m von der Wand entfernt. Der Winkel zwischen Leiter und Boden beträgt 72°. Bestimme zeichnerisch die Länge der Leiter.
Die Leiter ist [...] m lang.
A: 4.55; 1.4; 74.36; 5.23

Q: [Image]Peilt man von einem Messpunkt aus die Orte Adorf und Beheim an, so beträgt der Blickwinkel zwischen den beiden Orten 30°.
Adorf ist 8 km vom Messpunkt entfernt, Beheim 6 km.
Wie weit sind die beiden Orte voneinander entfernt?

Konstruiere dazu in einem geeigneten Maßstab ein passendes Dreieck und ermittle den Abstand der beiden Orte.

Die beiden Orte sind [...] km voneinander entfernt.
A: 4.1

Q: [Image]Ein Balken wurde wie in der Abbildung dargestellt auf eine Mauer gelehnt.
Berechne, wie groß der Winkel α am oberen Ende der Mauer ist.

α = [66]°
- 66
A: 66

Q: [Image]Die beiden Dachkanten in der Abbildung sind gleich lang. Bestimme den Winkel α an der Spitze des Daches.

α = [118]°
- 118
A: 118

Q: [Image]Berechne jeweils die Weiten der eingezeichneten Winkel.

1. α = [91]°
β = [21]°
γ = [86]°

2. α = [35]° [Image]
β = [40]°
- if !supportLists
- endif
- 91
- 21
- 86
- 35
- 40
A: if !supportLists / endif / 91 / 21 / 86 / 35 / 40

Q: 1. [Image]
Die Geraden g und h in der Abbildung sind parallel. Bestimme die Winkel α, β und γ.
α = [65]°
β = [60]°
γ = [55]°

2. Bestimme den Winkel δ in der Abbildung so, dass die Geraden k und g parallel zueinander sind.
δ = [115]°
- if !supportLists
- 65
- 60
- 55
- 115
A: if !supportLists / 65 / 60 / 55 / 115

Q: In der Abbildung sollen die Geraden g und h parallel zueinander sein. [Image]
Gib die Winkel β, γ, δ und ε mithilfe des Winkels α an.

β = [90°-α]
γ = [α]
δ = [90°-α]
ε = [α+90°]
- if !supportLists
- endif
- 90°-α
- α
- 90°-α
- α+90°
- 180°-α
- 180°+α
- 2·α
- α-90°
A: if !supportLists / endif / 90°-α / α / 90°-α / α+90°

Q: [Image]Der Kranführer senkt den Arm des Verladekrans im Bild um den Winkel α.
Wie ändert sich dabei der Winkel an der Spitze der Krans?
- Er wird um α größer.
- Er nimmt um α ab.
- Er wird um 90° - α größer.
- Er nimmt um 90° - α ab.
A: Er wird um α größer.

Zinsrechnung:

Banken berechnen Zinsen. Wenn man bspw. auf einem Sparbuch Geld bei einer Bank anlegt, erhält man Zinsen. Wenn man dagegen mit einem Kredit Geld bei der Bank leiht, so muss man dafür Zinsen bezahlen. Die Höhe der Zinsen wird in Prozent angegeben.

Das (geliehene oder angelegte) Geld, auf das die Zinsen berechnet werden, wird Kapital genannt. Es entspricht bei der Prozentrechnung dem Grundwert.
Der Prozentsatz heißt bei der Zinsrechnung "Zinssatz".
Die Zinsen entsprechen dem Prozentwert.

Beispiel:
Jakobs Eltern legen auf einem Sparbuch für ihn ein Kapital von 50 € zu einem Zinssatz von 1,5 % an. Am Jahresende kommen 0,75 € Zinsen auf das Sparbuch; dies sind 1,5 % von 50 €.

Zinsen berechnen:

Sind das Kapital (G) und der Zinssatz (p %) bekannt, so berechnet man die Zinsen (W) entweder mit der Formel oder per Dreisatz. Man geht dabei so vor, wie man es von der Berechnung des Prozentwertes bei der Prozentrechnung gewöhnt ist.

Beispiele:

- Auf ein Kapital von 50 € erhält man bei einem Zinssatz von 1,5 % Zinsen in Höhe von 50 € • 0,015 = 0,75 €.
- Für einen Kredit über 60000 € muss man bei einem Zinssatz von 2,9 % Zinsen in Höhe von 1740 € bezahlen, denn:
60000 € entsprechend 100 % / 60000 € : 1000 = 60 € entsprechen 0,1 % / 60 € • 29 = 1740 € entsprechen 2,9 %.

Das Kapital berechnen:

Sind der Zinssatz (p %; Prozentsatz) und die Zinsen (W; Prozentwert) bekannt, so berechnet man das Kapital (G; Grundwert) entweder mit der Formel oder per Dreisatz. Man geht dabei so vor, wie man es von der Berechnung des Grundwertes bei der Prozentrechnung gewöhnt ist.

Beispiele:

- Auf ein angelegtes Sparguthaben erhält man bei einem Zinssatz von 1,5 % Zinsen in Höhe von 3 €. Das Kapital beträgt demnach 3 € : 0,015 = 200 €.
- Für einen Kredit muss man bei einem Zinssatz von 2,9 % Zinsen in Höhe von 870 € bezahlen. Das aufgenommene Kapital beträgt demnach 30000 €, denn:
870 € entsprechend 2,9 % / 870 € : 2,9 = 300 € entsprechen 1 % / 300 € • 100 = 30000 € entsprechen 100 %.

Den Zinssatz berechnen:

Sind das Kapital (G; Grundwert) und die Zinsen (W; Prozentwert) bekannt, so berechnet man den Zinssatz (p%; Prozentsatz), wie man es von der Berechnung des Prozentsatzes bei der Prozentrechnung gewöhnt ist:
Man erhält den Zinssatz (p %) als Anteil der Zinsen (W) am Kapital (G).
Du teilst also die Zinsen (W) durch das Kapital (G).

Beispiele:

- Auf ein angelegtes Sparguthaben von 400 € erhält man 10 € Zinsen. Der Zinssatz beträgt demnach 10 € : 400 € = 0,025 = 2,5 %.
- Für einen Kredit in Höhe von 15000 € muss man muss man 735 € Zinsen zahlen. Dies entspricht einem Zinssatz von 735 € : 15000 € = 0,049 = 4,9 % .

Unterjährige Verzinsung - Tages- oder Monatszinsen:

Normalerweise wird der Zinssatz immer mit dem Zusatz "p.a." angegeben. "p.a." steht für "per annum" und bedeutet übersetzt "pro Jahr". Die Zinsen werden gewöhnlich gemäß diesem Zinssatz jährlich berechnet und gutgeschrieben.
Bei unterjähriger Verzinsung wird üblicherweise linear geteilt, d. h. dass zum Beispiel nach einem halben Jahr die halben Zinsen anfallen. Dabei wird das Jahr mit zwölf Monaten zu je 30 Tagen gerechnet.

Beispiele:

- Für 1500 €, die 7 Monate zu 2 % p.a. angelegt werden, erhält man \( \frac{7}{12} \) der eigentlich anfallenden Jahreszinsen, d. h. (1500 € • 0,02) • \( \frac{7}{12} \) = 30 € • \( \frac{7}{12} \) = 17,50 € Zinsen.
- Die Kreditzinsen für 1500 €, die für 12 Tage bei einem Zinssatz von 11 % p.a. fällig werden, betragen \( \frac{12}{360} \) oder \( \frac{1}{30} \) der eigentlich anfallenden Jahreszinsen, d. h. (1500 € • 0,11) • \( \frac{1}{30} \) = 165 € : 30 = 5,50 €.
- Hat man am 5. Mai eines Jahres 450 € zu einem Zinssatz von 2,2 % p.a. auf ein Sparbuch eingezahlt, so erhält man bei einer Kündigung des Sparbuches am 12. Oktober anteilig Jahreszinsen für 5 Monate und 7 Tage gutgeschrieben, d. h. \( \frac{5}{12} \) + \( \frac{7}{360} \) = \( \frac{157}{360} \) der eigentlich anfallenden Jahreszinsen, d. h. (450 € • 0,022) • \( \frac{157}{360} \) = 9,90 € • \( \frac{157}{360} \) = 4,3175 € ≈ 4,32 €.

Unterjährige Verzinsung - Kapital und Zinssatz bei Tages- oder Monatszinsen:

Normalerweise wird der Zinssatz immer mit dem Zusatz "p.a." angegeben. "p.a." steht für "per annum" und bedeutet übersetzt "pro Jahr". Die Zinsen werden gewöhnlich gemäß diesem Zinssatz jährlich berechnet und gutgeschrieben.
Bei unterjähriger Verzinsung werden die Zinsen üblicherweise linear geteilt, d. h. dass zum Beispiel nach einem halben Jahr die halben Zinsen anfallen. Dabei wird das Jahr mit zwölf Monaten zu je 30 Tagen gerechnet.

Möchte man das Kapital oder den Zinssatz p.a. berechnen, so muss man zuerst die vollen Jahreszinsen berechnen. Danach kann man wie gewohnt mithilfe von Zinsen (W) und Kapital (G) den Jahreszinssatz (p % "p.a.") oder mithilfe von Zinsen (W) und Jahreszinssatz (p % "p.a.") das Kapital (G) berechnen.

Beispiele:

- Für 1500 €, die 7 Monate angelegt wurden, erhält man 8,75 € ZInsen. Gesucht ist der Zinssatz "p.a.".
Die 8,75 € Zinsen sind \( \frac{7}{12} \) der eigentlich anfallenden Jahreszinsen; diese betragen 8,75 € : \( \frac{7}{12} \) = 15 €.
Der Zinssatz beträgt demnach 15 € : 1500 € = 0,01 = 1 % "p.a."
- Für 18 Tage werden bei einem Zinssatz von 12,5 % p.a. 5,50 € Zinsen fällig. Gesucht ist das Kapital.
Die Zinsen in Höhe von 5,50 € enstprechen \( \frac{18}{360} \) = \( \frac{1}{20} \) der eigentlich anfallenden Jahreszinsen; diese betragen 5,50 € • 20 = 110 €.
Das Kapital (G) beträgt demnach 110 € : 0,125 = 880 €.

Mehrjährige Verzinsung - Zinseszinsen:

Wird Geld über mehrere Jahre verzinst, so steigen die Zinserträge von Jahr zu Jahr, auch wenn der Zinssatz unverändert bleibt. Weshalb?
Das kommt so:
Am Ende des ersten Jahres kommen die Zinsen zum Kapital dazu und man erhält - vergleichbar zum "erhöhten Grundwert" - das neue Kapital. Am Ende des zweiten Jahres wird nun dieses neue, erhöhte Kapital verzinst; d. h. zu den Zinsen auf das ursprüngliche Kapital kommen im zweiten Jahr noch Zinsen auf die Zinsen des vorherigen Jahres dazu. Diese Zinsen nennt man "Zinseszinsen".

Beispiel:

Es werden für mehrere Jahre 400 € zu 1,3 % angelegt. Am Ende des ersten Jahres werden dem Konto 400 € • 0,013 = 5,20 € Zinsen gutgeschrieben.
Am Ende des zweiten Jahres betragen die Zinsen 405,20 € • 0,013 ≈ 5,27 €. 7 Cent davon sind Zinseszinsen, die Zinsen, die man im zweiten Jahr zusätzlich für die zuvor erhaltenen 5,20 € Zinsen aus dem ersten Jahr bekommt.

Man kann das durch Verzinsung um 1,3 % gestiegene Kapital am Ende des Jahres auch als auf 101,3 % gestiegenes Kapital ansehen. D. h. man kann es mit 400 € • 1,013 = 405,20 € berechnen. Der Faktor 1,013 wird "Wachstumsfaktor" genannt.
Am Ende des zweiten Jahres beträgt das neue Kapital dann (einschließlich Zinsen und Zinseszinsen) 405,20 € • 1,013 ≈ 410,47 € bzw. 400 € • 1,013 • 1,013.
Nach drei Jahren beträgt das Kapital 400 € • 1,013 • 1,013 • 1,013 und nach vier Jahren 400 € • 1,013 • 1,013 • 1,013 • 1,013 usw.

Nach 22 Jahren würde des Kapital also 400 € • 1,013²² ≈ 531,46 € betragen.

Q: [Image]Unter welchem Winkel zur Waagrechten muss man nach oben blicken, wenn man 30 m vor dem Kölner Dom stehend dessen Turmspitze in 157 m Höhe sehen möchte?

Löse die Frage zeichnerisch, indem du ein geeignetes, maßstabsgetreues Dreieck zeichnest.

Man muss mit einem Winkel von [...]° nach oben blicken.
A: 79.18

Q: Entscheide jeweils, ob es sich um ein Zufallsexperiment handelt. [Image]

Das Werfen einer 5-Cent-Münze und Feststellen, welche Seite zu sehen ist. | [Zufallsexperiment]
Das Werfen eines Balls in einen Basketballkorb und Feststellen, ob der Ball in den Korb getroffen wird. | [Zufallsexperiment]
Das Annähern eines Magneten an einen Metallnagel und Feststellen, was geschieht. | [kein Zufallsexperiment]
Das Ziehen eines von fünf mit den Zahlen 1 bis 5 nummerierten Losen aus einer Säckchen und Feststellen der Losnummer. | [Zufallsexperiment]
Das Loslassen eines Steins aus 1 m Höhe und Feststellen, was mit dem Stein geschieht. | [kein Zufallsexperiment]

[Image]
- Zufallsexperiment
- Zufallsexperiment
- kein Zufallsexperiment
- Zufallsexperiment
- kein Zufallsexperiment
A: Zufallsexperiment / Zufallsexperiment / kein Zufallsexperiment / Zufallsexperiment / kein Zufallsexperiment
Feedback: Erklärung: Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem vor der Durchführung nicht voraussagbar ist, welches der möglichen Ergebnisse eintritt, da dies "zufällig" ist. (Dabei spielt es keine Rolle, ob verschiedene mögliche Ergebnisse "in etwa gleich wahrscheinlich" sind, oder ob beispielsweise ein Ergebnis "mit sehr großer Wahrscheinlichkeit eintreten" wird.) Beispiele: Beim Werfen eines Spielwürfels tritt eine der Augenzahlen von 1 bis 6 auf. Welche dies sein wird, ist bei jedem Wurf vorher nicht voraussagbar. Es handelt sich um ein Zufallsexperiment. Ebenso ist das Schießen eines Biathleten auf die fünf Zielscheiben ein Zufallsexperiment. Auch wenn er fleißig geübt hat und man unter Umständen von einer sehr hohen Trefferwahrscheinlichkeit ausgehen kann, bleibt das Ergebnis vor dem Schießen doch unvoraussagbar. Setzt man ein Stück Kork auf die Wasseroberfläche in einer Wanne, so kann man mit Sicherheit voraussagen, dass es schwimmen wird und nicht untergeht. Es handelt sich somit nicht um ein Zufallsexperiment.

Q: [Image]

Entscheide jeweils, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt oder nicht.

Werfen eines Reißnagels und Feststellen, ob er auf der Spitze zum Liegen kommt oder nicht. | [kein Laplace-Experiment]
Werfen eines Spielwürfels und Feststellen, welche Zahl geworfen wurde. | [Laplace-Experiment]
Drehen eines Glücksrades und Feststellen, welcher von fünf gleichgroßen Sektoren angezeigt wird. | [Laplace-Experiment]
Zufällige Auswahl eines Buchstaben aus einem Text im Deutsch-Buch. | [kein Laplace-Experiment]
Ziehen einer von 52 verschiedenen, verdeckten Karte aus einem gemischten Kartenstapel. | [Laplace-Experiment]
- kein Laplace-Experiment
- Laplace-Experiment
- Laplace-Experiment
- kein Laplace-Experiment
- Laplace-Experiment
A: kein Laplace-Experiment / Laplace-Experiment / Laplace-Experiment / kein Laplace-Experiment / Laplace-Experiment
Feedback: Erklärung: Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Beispiele: Das blinde Ziehen einer von 8 Kugel aus einer Urne ist ein Laplace-Experiment. Für jede Kugel ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie gezogen wird, ein Achtel. Das Werfen einer "idealen" Münze ist ein Laplace-Experiment. Zum Beispiel kommen bei einem 1-Euro-Stücke der Adler und die Zahl 1 jeweils mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit. Ist die Münze aber verbeult, so handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment. Auch das Werfen mit einem "gezinkten" Würfel, bei dem beispielsweise eine Seite schwerer ist als die anderen, ist kein Laplace-Experiment.

Q: [Image]Ein Würfel wird dreimal hintereinander geworfen und dabei die Summe der gewürfelten Augenzahlen gebildet.
Wie lautet die Ergebnismenge?
- {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} (Prima!)
- {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} (Achtung! 18 ist zwar tatsächlich die größte mögliche Summe, 1 ist aber nicht möglich. Es kommt als Summe mindestens 3 heraus...)
- {3,6,9,12,15,18} (Achtung! Die kleinste Summe ist tasächlich 3 und die größte 18, ABER: Es ist auch jede denkbare Summe dazwischen möglich.)
- {6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} (Achtung! Es kann auch mehrfach dieselbe Zahl vorkommen, also z. B. auch dreimal die Eins oder dreimal die Sechs; 1+1+1=3 bzw. 6+6+6=18.)
A: {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Feedback: Erklärung: Die Ergebnismenge stellt alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments zusammen. Beispiele: E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} beim Werfen eines Spielwürfels E2 = {Zahl, Adler} beim Werfen einer 1-Euro-Münze. Da in unserem Fall in allen drei Würfen die Zahlen 1 bis 6 möglich sind, er hält man mindestens 3 (1+1+1) und höchstens 18 (6+6+6), wenn man alle möglichen Summen bildet.

Q: [Image]Gib die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses an.
Runde dabei auf ganze Prozent!

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... beim Münzwurf die Seite "Zahl" zu erhalten, beträgt ... | [50] %
... beim Werfen mit einem Spielwürfel die Augenzahl 3 zu erhalten, beträgt ... | [17] %
... beim blinden Ziehen einer von 15 Kugeln aus einer Urne die einzige blaue zu erhalten, beträgt ... | [7] %
- 50
- 17
- 7
A: 50 / 17 / 7
Feedback: Erklärung: Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Als Wahrscheinlichkeit bezeichnet man die relative Häufigkeit, die man bei sehr vielen Durchführungen erwarten kann. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei einem Laplace-Experiment anzugeben, teilt man 1 durch die Anzahl aller Ergebnisse. Um die Wahrscheinlichkeit in Prozent anzugeben, teilt man 100 durch die Anzahl aller Ergebnisse. Beispiel: Beim Ziehen einer verdeckten Karte aus einem gemischten Skat-Spiel (mit 32 Karten) beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Karte \( \frac{1}{32} \) bzw. 3,125 %. Die Herz-Dame wird (wie alle anderen Karten auch) also mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 3 % gezogen. (Man würde also bei sehr vielen Durchführungen damit rechnen, dass in einem Zweiunddreißigstel der Fälle die Herz-Dame gezogen wird.)

Q: Es werden vier Zufallsexperimente durchgeführt und jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis "rot" bestimmt.

1. Eine von 10 Kugeln aus einer Urne wird gezogen. Drei dieser Kugeln sind rot.
2. Ein Glücksrad mit 9 gleich großen Sektoren wird gedreht. Drei dieser Sektoren sind rot gefärbt.
3. In einer Schachtel befinden sich 200 Spielfiguren, darunter 6 rote. Eine wird zufällig gezogen.
4. Ein Kartenspiel mit 300 Karten hat 100 grüne, 101 blaue und sonst rote Karten. Eine wird gezogen.

[Image]Ordne der Wahrscheinlichkeit jeweils das passende Zufallsexperiment zu.
- P ( "rot" ) = 30 % | Eine von 10 Kugeln aus einer Urne wird gezogen. Drei dieser Kugeln sind rot.
- P ( "rot" ) = \( \frac{1}{3} \) | Ein Glücksrad mit 9 gleich großen Sektoren wird gedreht. Drei dieser Sektoren sind rot gefärbt.
- P ( "rot" ) = 3 % | In einer Schachtel befinden sich 200 Spielfiguren, darunter 6 rote. Eine wird zufällig gezogen.
- P ( "rot" ) = 33 % | Ein Kartenspiel mit 300 Karten hat 100 grüne, 101 blaue und sonst rote Karten. Eine wird gezogen.
Feedback: Erklärung: Es handelt sich in allen Fällen um Laplace-Experimente. Demnach sind jeweils alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass "rot" als Ergebnis erscheint, errechnet man folglich immer als Quotient der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse. Beispiel: Sind 6 von 200 Spielfiguren rot, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, eine rote Spielfigur zu ziehen, \( \frac{6}{200} \) = \( \frac{3}{100} \) = 3 %.

Q: [Image]Es werden drei Würfel geworfen und die Augensumme gebildet. Die Ergebnismenge umfasst die Zahlen von 3 bis 18.

Gib die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise an.
Ordne die Zahlen der Größe nach. Umfasst die Menge zu dem betreffenden Ereignis weniger als 8 Ergebnisse, so trage an den verbleibenden Stellen "x" ein.

Die Summe ist gerade. | { [4] , [6] , [8] , [10] , [12] , [14] , [16] , [18] }
Die Summe ist kleiner als 10. | { [3] , [4] , [5] , [6] , [7] , [8] , [9] , [x] }
Die Summe ist eine Primzahl. | { [3] , [5] , [7] , [11] , [13] , [17] , [x] , [x] }
Die Summe liegt zwischen 10 und 15. | { [11] , [12] , [13] , [14] , [x] , [x] , [x] , [x] }
Die Summe ist größer als 16. | { [17] , [18] , [x] , [x] , [x] , [x] , [x] , [x] }
- 4
- 6
- 8
- 10
- 12
- 14
- 16
- 18
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- x
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
- x
- x
- 11
- 12
- 13
- 14
- x
- x
- x
- x
- 17
- 18
- x
- x
- x
- x
- x
- x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- x
A: 4 / 6 / 8 / 10 / 12 / 14 / 16 / 18 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 / x / 3 / 5 / 7 / 11 / 13 / 17 / x / x / 11 / 12 / 13 / 14 / x / x / x / x / 17 / 18 / x / x / x / x / x / x
Feedback: Erklärung: Jedes Ereignis lässt sich als Teilmenge der Ergebnismenge auffassen. Man sagt: Das Ereignis "tritt ein", wenn ein Ergebnis eintritt, das zu der betreffenden Menge gehört. Beispiele: Beim Werfen eines Spielwürfels können die Augenzahlen 1 bis 6 vorkommen. Die Ergebnismenge ist deshalb E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ereignis "gerade Würfelzahl" tritt bei den Ergebnissen 2,4 und 6 ein. Deshalb kann man das Ereignis auch als Teilmenge G von E schreiben mit G = {2, 4, 6}. Das Ereignis P "gezogene Losnummer ist eine Primzahl" beim Ziehen eines von 25 Losen lässt sich in Mengenschreibweise angeben als P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}.

Q: [Image]Gib die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses an.
Runde dabei auf ganze Prozent!

Ein gewöhnlicher Spielwürfel wird einmal geworfen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... eine ungerade Zahl zu werfen, beträgt ... | [50] %
... eine Primzahl zu werfen, beträgt ... | [50] %
... eine größere Zahl als 4 zu werfen, beträgt ... | [33] %

[Image]

Aus einer Schachtel wird eines von 25 Losen mit den Nummern 1 bis 25 gezogen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... eine ungerade Zahl zu ziehen, beträgt ... | [52] %
... eine Primzahl zu ziehen, beträgt ... | [36] %
... eine größere Zahl als 4 zu ziehen, beträgt ... | [84] %
- 50
- 50
- 33
- 52
- 36
- 84
A: 50 / 50 / 33 / 52 / 36 / 84
Feedback: Erklärung: Als Wahrscheinlichkeit bezeichnet man die relative Häufigkeit, die man bei sehr vielen Durchführungen erwarten kann. Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Daher erhält man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, in dem man die Anzahl aller für das Eintreten des Ereignisses günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse insgesamt dividiert. Beispiel: Beim Ziehen einer verdeckten Karte aus einem gemischten Skat-Spiel (mit 32 Karten) beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Herz-Karte zu ziehen \( \frac{8}{32} \) = \( \frac{1}{4} \) = 25 %, da es 8 Herz-Karten gibt. Die Wahrscheinlichkeit für einen (der vier) Buben beträgt \(\frac{4}{32} \) = \( \frac{1}{8} \) = 12,5 %.

Q: [Image]Gib jeweils die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

Die Klasse 7b hat die Buchstaben eines Textes in einzelne Kärtchen geschnitten und die Häufigkeit der einzelnen Buchstaben ermittelt:

a | 6,5 % |  | l | 3,5 %
b | 2,0 % |  | m | 2,5 %
e | 17,5 % |  | n | 10,0 %
i | 7,5 % |  | o | 2,5 %
j | 0,5 % |  | u | 4,5 %
k | 1,0 % |  |  |

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zufälligen Ziehen eines Buchstabens...

... Anna einen Buchstaben ihres Vornamens zieht, beträgt ... | [16,5] %
... Leon einen Buchstaben seines Vornamens zieht, beträgt ... | [33,5] %
... Lia einen Buchstaben ihres Vornamens zieht, beträgt ... | [17,5] %
... Lea einen Buchstaben ihres Vornamens zieht, beträgt ... | [27,5] %
... Jakob einen Buchstaben seines Vornamens zieht, beträgt ... | [12,5] %
- 16,5
- 33,5
- 17,5
- 27,5
- 12,5
A: 16,5 / 33,5 / 17,5 / 27,5 / 12,5
Feedback: Erklärung: Als Wahrscheinlichkeit bezeichnet man die relative Häufigkeit, die man bei sehr vielen Durchführungen erwarten kann. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten aller für das Eintreten des Ereignisses günstigen Ergebnisse addiert (Summenregel). Beispiel: Steffi bekommt, wenn sie mit ihrem Vater im Laden einkauft, immer ein Bonbon geschenkt. Sie mag nur die "roten Bonbons" mit Kirsch- oder Erdbeergeschmack. Der Anteil der Kirschbonbons in der Großpackung, aus der die Verkäuferin Ihr eines schenkt, beträgt 15%, der der Erdbeerbonbons 23%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie eines ihrer roten Lieblingsbonbons bekommt, beträgt somit 15 % + 23 % = 38 %.

Q: Entscheide jeweils, ob es sich um ein mögliches, ein unmögliches oder ein sicheres Ereignis handelt.

In einem Säckchen befinden sich 15 Kugeln, von denen nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden. Die Kugeln mit den Nummern 1 bis 7 sind gelb, die Kugel 8 ist rot und die Kugeln 9 bis 15 sind blau.

[Image]

Beide gezogenen Kugeln sind blau. | [mögliches Ereignis]
Beide gezogenen Kugeln sind rot. | [unmögliches Ereignis]
Beide gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben. | [mögliches Ereignis]
Die Summe der Nummern der gezogenen Zahlen beträgt mindestens 3. | [sicheres Ereignis]
Die Summe der Nummern der gezogenen Zahlen beträgt 20. | [mögliches Ereignis]
Die Summe der Nummern der gezogenen Zahlen beträgt 30. | [unmögliches Ereignis]
Auf beiden gezogenen Kugeln steht eine gerade Zahl. | [mögliches Ereignis]
Höchstens eine der gezogenen Kugeln ist rot. | [sicheres Ereignis]
- mögliches Ereignis
- unmögliches Ereignis
- mögliches Ereignis
- sicheres Ereignis
- mögliches Ereignis
- unmögliches Ereignis
- mögliches Ereignis
- sicheres Ereignis
A: mögliches Ereignis / unmögliches Ereignis / mögliches Ereignis / sicheres Ereignis / mögliches Ereignis / unmögliches Ereignis / mögliches Ereignis / sicheres Ereignis
Feedback: Erklärung: Tritt eine Ereignis bei einem Zufallsexperiment auf keinen Fall ein, so nennt man es ein unmögliches Ereignis. Beispielsweise ist das Würfeln einer 7 mit einem gewöhnlichen Spielwürfel unmöglich. Die Zahl 7 gehört ja auch nicht zur Ergebnismenge des Zufallsexperiments, in dem alle möglichen Ausgänge des Experiments (also dessen "Ergebnisse") zusammengefasst sind. Das genaue Gegenstück ist das sogenannte sichere Ereignis. Es tritt in jedem Fall ein. Beim Würfeln wäre dies zum Beispiel das Ereignis "Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 10". Die Menge der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt, ist in diesem Fall gleich der ganzen Ergebnismenge. Alle anderen Ereignisse können eintreten, sie sind weder sicher noch unmöglich. Man nennte sie mögliche Ereignisse. Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Das Ereignis "Die gezogene Kugel ist rot" ist ein mögliches Ereignis, "Die gezogene Kugel ist grün" ist dagegen unmöglich. Das Ereignis "Die gezogene Kugel ist nicht weiß" ist ein sicheres Ereignis.

Q: Gib jeweils die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

Aufgabe 1

Eine verbeulte Münze zeigt in 275 von 500 Fällen nach dem Münzwurf "Kopf".

Die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf "Zahl" zu erhalten beträgt [45] %.

Aufgabe 2

Die Klasse 7b hat die Buchstaben eines Textes in einzelne Kärtchen geschnitten und die Häufigkeit der einzelnen Buchstaben ermittelt: [Image]

a | 6,5 % |  | l | 3,5 %
b | 2,0 % |  | m | 2,5 %
e | 17,5 % |  | n | 10,0 %
i | 7,5 % |  | o | 2,5 %
j | 0,5 % |  | u | 4,5 %
k | 1,0 % |  |  |

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zufälligen Ziehen eines Buchstabens...

... kein i gezogen wird, beträgt ... | [92,5] %
... kein m oder n gezogen wird, beträgt ... | [87,5] %
... ein Konsonant gezogen wird, beträgt ... | [61,5] %
- 45
- 92,5
- 87,5
- 61,5
A: 45 / 92,5 / 87,5 / 61,5
Feedback: Erklärung: In vielen Fällen ist es einfacher (oder nur möglich), die Wahrscheinlichkeit auf einem Umweg zu berechnen: Als Gegenereignis eines Ereignisses A bezeichnet man das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn Ereignis A nicht eintritt. Beim Würfeln wäre beispielsweise "Die gewürfelte Zahl ist eine 5 oder 6" das Gegenereignis zu "Die gewürfelte Zahl ist höchstens eine 4." Nimmt man die Menge der Ergebnisse eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen, so erhält man die gesamte Ergebnismenge des Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis betragen daher zusammen immer 100 % (bzw. 1). Man kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A also leicht berechnen, wenn man die des Gegenereignisses B kennt: P(A) = 100 % - P(B) (bzw. P(A) = 1 - P(B) ). Beispiel: Für eine Partnerarbeit werden in der Klasse 7a immer zwei Lernenden zusammengelost. In der Klasse sind 30 Schüler und Schülerinnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom nicht mit einem seiner beiden besten Freunde ein Team bildet lässt sich schnell über das Gegenereignis berechnen: 2 von 29 möglichen Losen zeigen seine besten Freunde, in den anderen 27 Fällen kommt er nicht mit einem seiner Freunde zusammen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 100 % - \( \frac{2}{29} \) ≈ 93 % bzw. \( \frac{27}{29} \) ≈ 93 %.

Q: [Image]Entscheide jeweils, ob es sich um ein Ereignis und das zugehörige Gegenereignis handelt.

Die gewürfelte Zahl ist gerade. | Die gewürfelte Zahl ist ungerade. | [Gegenereignis]
Die gewürfelte Zahl ist eine 1. | Die gewürfelte Zahl ist eine 6. | [kein Gegenereignis]
Die gewürfelte Zahl ist größer als 3. | Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 3. | [kein Gegenereignis]
Beim Münzwurf fällt die Zahl. | Beim Münzwurf fällt das Wappen. | [Gegenereignis]
Bei zwei Würfen wird zweimal eine gerade Zahl geworfen. | Bei zwei Würfen wird zweimal eine ungerade Zahl geworfen. | [kein Gegenereignis]
Aus einem Skat-Kartenspiel wird das Pik-Ass gezogen. | Aus einem Skat-Kartenspiel wird das Herz-Ass gezogen. | [kein Gegenereignis]
Aus einem Skat-Kartenspiel wird eine Pik-Karte gezogen. | Aus einem Skat-Kartenspiel wird eine Herz-Karte gezogen. | [kein Gegenereignis]
Aus einem Skat-Kartenspiel wird eine 8 gezogen. | Aus einem Skat-Kartenspiel wird eine andere Karte als eine 8 gezogen. | [Gegenereignis]
- Gegenereignis
- kein Gegenereignis
- kein Gegenereignis
- Gegenereignis
- kein Gegenereignis
- kein Gegenereignis
- kein Gegenereignis
- Gegenereignis
A: Gegenereignis / kein Gegenereignis / kein Gegenereignis / Gegenereignis / kein Gegenereignis / kein Gegenereignis / kein Gegenereignis / Gegenereignis
Feedback: Erklärung: Als Gegenereignis eines Ereignisses A bezeichnet man das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn Ereignis A nicht eintritt. Nimmt man die Menge der Ergebnisse eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen, so erhält man die gesamte Ergebnismenge des Zufallsexperiments. Beispiel: Beim Würfeln wäre beispielsweise "Die gewürfelte Zahl ist eine 5 oder 6" das Gegenereignis zu "Die gewürfelte Zahl ist höchstens eine 4." In Mengenschreibweise kann man das folgendermaßen ausdrücken: A = {5,6} und B = {1,2,3,4} sind Gegenereignisse, weil A und B zusammen der Ergebnismenge E = {1,2,3,4,5,6} entsprechen.

Q: [Image]Markiere die zutreffenden Aussagen.

Wenn die Wahrscheinlichkeit für die zufällige Auswahl eines Brillenträgers aus einer großen Personengruppe 15 % beträgt, dann...
- ... werden sich unter 100 ausgewählten Personen 15 Brillenträger befinden. (Das stimmt so nicht. Man kann von etwa 15 Brillenträgern ausgehen.)
- ... kann man bei 20 ausgewählten Personen mit etwa 3 Brillenträgern rechnen.
- ... muss ich mindestens 100 Personen auswählen, um 15 Brillenträger zu bekommen. (Auch bei weniger als 100 Personen kann man auf 15 Brillenträger stoßen. Man kann bei 100 Personen von etwa 15 Brillenträgern ausgehen.)
- ... ist es unwahrscheinlich, dass man auf einen Brillenträger stößt, wenn man zufällig 2 Personen aus einer Liste auswählt.
- ... ist anzunehmen, dass unter 100 ausgewählten Personen etwa 15 Brillenträger sind.
- ... werden mindestens 30 Brillenträger unter 200 ausgewählten Personen sein. (Es können auch weniger als 30 Brillenträger sein. Man wird nur in etwa von 20 Brilleträgern ausgehen.)
A: ... kann man bei 20 ausgewählten Personen mit etwa 3 Brillenträgern rechnen.; ... ist es unwahrscheinlich, dass man auf einen Brillenträger stößt, wenn man zufällig 2 Personen aus einer Liste auswählt.; ... ist anzunehmen, dass unter 100 ausgewählten Personen etwa 15 Brillenträger sind.
Feedback: Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (oder auch eines Ereignisses) gibt an, mit welcher relativen Häufigkeit man in etwa rechnen kann, wenn man das Zufallsexperiment sehr oft durchführt (Gesetz der großen Zahlen). Bei einer geringen Anzahl an Durchführungen weicht die relative Häufigkeit oft erheblich ab. Dann lässt sich nur eine grobe Aussage darüber machen, was zu erwarten ist oder was eher unwahrscheinlich ist. Beispiele: Bei einem Würfelspiel würfelt ein Spieler 30-mal. Die Wahrscheinlichkeit P("6") = \( \frac{1}{6} \) ≈ 17% besagt, dass bei sehr vielen Würfen Sechsen etwa mit einer relativen Häufigkeit von \( \frac{1}{6} \) auftreten werden. Die Anzahl von 30 Würfen reicht dazu sicher nicht aus. Man wird zwar von etwa 5 Sechsen ausgehen (\( \frac{1}{6} \) von 30) und wenn man auf eine Anzahl wetten soll, wäre es durchaus sinnvoll, auf 5 Sechsen zu setzen. Tatsächlich kann es aber auch gut vorkommen, dass bspw. nur 2 oder sogar 10 Sechsen auftreten.

Q: Das abgebildete Glücksrad wird einmal gedreht. Die Zahl, auf die der Pfeil zeigt, wenn das Rad zum Stehen kommt, wird notiert. [Image]

Gib die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse an.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl …

… die 2 ist, beträgt ... | [20] %
… größer als 2 ist, beträgt ... | [70] %
… größer als 4 ist, beträgt ... | [0] %
… ungerade ist, beträgt ... | [40] %
… kleiner als 5 ist, beträgt ... | [100] %
... 1 oder 2 ist, beträgt ... | [30] %
- 20
- 70
- 0
- 40
- 100
- 30
A: 20 / 70 / 0 / 40 / 100 / 30
Feedback: Erklärung: Betrachtet man die einzelnen Sektoren als Ergebnisse, so handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, sie haben die Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{10} \) = 10 %. Das Ereignis "1" tritt bei einem der Ergebnisse/Sektoren auf, das Ereignis "2" bei zweien, die "3" bei drei und die "4" bei vier Sektoren. Dementsprechend betragen die Wahrscheinlichkeiten für eine 1: \( \frac{1}{10} \) = 10 % für eine 2: \( \frac{2}{10} \) = 20 % für eine 3: \( \frac{3}{10} \) = 30 % für eine 4: \( \frac{4}{10} \) = 40 %

Q: Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht.
Die Zahl, auf die der Pfeil zeigt, wenn das Rad zum Stehen kommt, wird jeweils notiert.
Als Ergebnis des Zufallsexperiments gilt das Produkt der beiden Zahlen. [Image]

Das kleinste Ergebnis lautet... | [1]
Das größte Ergebnis lautet ... | [16]
Die Ergebnismenge umfasst... | [9] Ergebnisse.
Die beiden einzige einstelligen Zahlen, die nicht in der Ergebnismenge vorkommen, lauten ... (die kleinere Zahl zuerst) | [5] und [7]
Am wahrscheinlichsten ist das Ergebnis ... | [4]
- 1
- 16
- 9
- 5
- 7
- 4
A: 1 / 16 / 9 / 5 / 7 / 4
Feedback: Erklärung: Alle Produkte, die aus den Zahlen 1, 2, 3 und 4 gebildet werden können, lauten 1 • 1 = 1 1 • 2 = 2 1 • 3 = 3 1 • 4 = 4 2 • 1 = 2 2 • 2 = 4 2 • 3 = 6 2 • 4 = 8 3 • 1 = 3 3 • 2 = 6 3 • 3 = 9 3 • 4 = 12 4 • 1 = 4 4 • 2 = 8 4 • 3 = 12 4 • 4 = 16. Die Ergebnismenge ist daher E = {1,2,3,4,6,8,9,12,16}. Da alle oben genannten 16 Kombinationen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, die 4 als Ergebnis dabei aber dreimal und damit am öftesten auftritt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine 4 am größten.

Q: Elias, Hannah, Leon und Sarah schreiben die Buchstaben ihrer Vornamen jeweils einzeln auf Kärtchen. Anschließend legen sie die Kärtchen verdeckt auf den Tisch und mischen sie. [Image]
Nun sollen sie reihum ein Kärtchen ziehen und dabei möglichst einen Buchstaben ihres Vornamens bekommen. Anschließend legen sie es wieder zurück.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das jeweilige Kind einen Buchstaben seines Vornamens zieht und gib sie in Prozent an.

ELIAS | [60] %
HANNAH | [55] %
LEON | [40] %
SARAH | [55] %
- 60
- 55
- 40
- 55
A: 60 / 55 / 40 / 55
Feedback: Erklärung: Insgesamt schreiben die Kinder 20 Kärtchen. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Kärtchen beträgt also nachher 1/20 = 5 %. Unter den Kärtchen befinden sich : 5 A 3 H 3 N 2 E 2 L 2 S 1 I 1 O 1 R Die Wahrscheinlichkeit, dass zum Beispiel Sarah einen Buchstaben ihres Namens zieht, ist die Summe aus den Wahrscheinlichkeiten für die Buchstaben S, A, R und H, also \( \frac{2}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100} = \) 55 %

Q: In einem Säckchen befinden sich Lose in fünf verschiedenen Farben: Lose mit den Nummern 1 bis 10 in rot und gelb, Lose mit den Nummern 1 bis 20 in blau und grün sowie fünf weiße Lose mit den Nummern 1 bis 5.

Gib jeweils die gesuchte Wahrscheinlichkeit an. [Image]
Runde auf ganze Prozent!

 Die Wahrscheinlichkeit für ...

... eine 5 beträgt ... | [8] %
... eine ungerade Zahl ... | [51] %
... eine grüne 18 beträgt ... | [2] %
... eine 15 beträgt ... | [3] %
... eine nicht rote 10 beträgt ... | [5] %
... eine Zahl zwischen 4 und 12 beträgt ... | [42] %
- 8
- 51
- 2
- 3
- 5
- 42
A: 8 / 51 / 2 / 3 / 5 / 42
Feedback: Erklärung: Insgesamt befinden sich 65 Lose in dem Säckchen. Darunter sind: 5 Fünfen (in allen Farben) 33 ungerade Zahlen (bei den weißen sind es mehr ungerade (1,3,5) als gerade Zahlen (2,4) 1 grüne Achtzehn 2 Fünfzehnen (nur in blau und grün) 3 nicht rote Zehnen (gelb, balu und grün) 27 Zahlen zwischen 4 und 12 (weiße 5, rote und gelbe 5 bis 10, blaue und grüne 5 bis 11) Dementsprechend erhält man beispielsweise \( \frac{27}{65} \) als Wahrscheinlichkeit für eine Zahl zwischen 4 und 12. Es ist \( \frac{27}{65} \) ≈ 0,4154 ≈ 42 %.

Q: [Image]Felix hat zwei Zufallsexperimente durchgeführt:
Zuerst hat er einen Würfel geworfen und die Ergebnisse notiert.
Danach hat er dasselbe mit einem Lego-Stein getan.
In der Tabelle siehst du, wie oft die verschiedenen Ergebnisse aufgetreten sind.

Berechne die relative Häufigkeit der Ergebnisse (gerundet auf Drei Dezimalen).
Gib die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses an. Runde dabei auf ganze Prozent!

205-maliges Werfen eines Spielwürfels:

Ergebnis | absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit | Wahrscheinlichkeit
Augenzahl 1 | 29 | [0,141] | [14] %
Augenzahl 2 | 37 | [0,180] | [18] %
Augenzahl 3 | 35 | [0,171] | [17] %
Augenzahl 4 | 33 | [0,161] | [16] %
Augenzahl 5 | 36 | [0,176] | [18] %
Augenzahl 6 | 35 | [0,171] | [17] %

180-maliges Werfen eines Lego-Achters: [Image]

Ergebnis | absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit | Wahrscheinlichkeit
offen | 83 | [0,461] | [46] %
geschlossen | 59 | [0,328] | [33] %
lange Seite | 34 | [0,189] | [19] %
kurze Seite | 4 | [0,022] | [2] %
- 0,141
- 14
- 0,180
- 18
- 0,171
- 17
- 0,161
- 16
- 0,176
- 18
- 0,171
- 17
- 0,461
- 46
- 0,328
- 33
- 0,189
- 19
- 0,022
- 2
A: 0,141 / 14 / 0,180 / 18 / 0,171 / 17 / 0,161 / 16 / 0,176 / 18 / 0,171 / 17 / 0,461 / 46 / 0,328 / 33 / 0,189 / 19 / 0,022 / 2
Feedback: Erklärung: Als absolute Häufigkeit bezeichnet man die Anzahl, wie oft ein Ergebnis bei mehrfacher Durchführung auftritt. Die relative Häufigkeit gibt an, zu welchem Anteil ein Ergebnis auftritt. Dazu dividiert man die Anzahl (absolute Häufigkeit) durch die Gesamtzahl der Durchführungen. Das "Gesetz der großen Zahlen" besagt, dass sich bei sehr vielen Druchführungen die relativen Häufigkeiten stabilisieren - d.h. dass ein Wert angenommen wird, der sich gut als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit eignet. Beispiel: Beim Werfen einer Münze kommt bei 60 Würfen 32-mal der Adler oben zum Liegen. 32 ist die absolute Häufigkeit. \( \frac{32}{60} \) ≈ 0,533 ist die relative Häufigkeit. Da 60 Durchführungen noch nicht sehr viel sind, würde man nur als ersten groben Schätzwert von einer Wahrscheinlichkeit von etwa 53 % ausgehen. Wirft man eine (ideale) Münze dagegen tausendmal oder zehntausendmal, so kann man aufgrund der Erfahrung davon ausgehen, dass sich die relativen Gäufigkeiten 50% annähern und auch zuverlässig in der Nähe von 50 % bleiben.

Q: [Image]Ein solcher regelmäßiger geometrischer Körper, der von 12 identischen Fünfecken begrenzt wird, heißt Dodekaeder.
Auf die Flächen sollen die Zahlen 1 bis 12 geschrieben werden. Anschließend wird der Dodekaeder wie ein Spielwürfel geworfen.

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine 1 geworfen wird.
(Runde auf ganze Prozent!)

Mit [8]-%-iger Wahrscheinlichkeit wird eine 1 geworfen.

Solche regelmäßigen Körper nennt man "platonische Körper".
Den platonischen Körper mit 6 Begrenzungsflächen kennst du: es ist der Würfel!

Die weiteren Körper sind das Tetraeder (Pyramide, die von vier gleichen Dreiecken begrenzt wird), das Oktaeder (8 Flächen) und das Ikosaeder (20 Flächen). [Image]

Bei allen drei Körpern sollen wieder die Flächen mit Zahlen beschriftet und der Körper anschließend geworfen werden.

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine 1 geworfen wird.

Körper | Wahrscheinlichkeit dafür, eine Eins zu werfen
Tetraeder | [25] %
Oktaeder | [12,5] %
Ikosaeder | [5] %
- 8
- 25
- 12,5
- 5
A: 8 / 25 / 12,5 / 5
Feedback: Erklärung: Bei vielen Zufallsexperimenten kann man von der Durchführung bzw. einem verwendeten Gegenstand direkt auf die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Ergebnisse schließen - zum Beispiel aufgrund geometrischer Gegebenheiten. Beispiel: Beim Werfen des Dodekaeders ist jede Seitenfläche gleich groß. Wenn die Masse in dem regelmäßigen Körper gleichmäßig verteilt ist, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Körper auf einer speziellen Seitenfläche zu liegen kommt, gleich groß wie für jede andere Seite. Im Fall des Dodekaeders mit seinen 12 Seitenflächen sind das jeweils \( \frac{1}{12} \) ≈ 0,083 ≈ 8 % In anderen Fällen kann man nicht durch solche Überlegungen auf die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse schließen. Man führt das Zufallsexperiment dann sehr oft durch und verwendet die ermittelten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten. Beispiel: Sina hat einen Würfel aus Ton gefertigt, die Augenzahlen 1 bis 6 eingedrückt und den Würfel brennen lassen. Sie möchte nun wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Zahl geworfen wird. Dazu wirft sie den Würfel 250 mal und notiert die Ergebnisse. Sie ermittelt die Anzahlen (absolute Häufigkeit) und berechnet die relative Häufigkeit, indem sie jeweils die Anzahl durch 250 dividiert. Da die Eins 44-mal aufgetreten ist, geht sie von einer Wahrscheinlichkeit von 17,6 % aus (\( \frac{44}{250} \) = 0,176).

Q: Aufgabe 1
[Image]Wirft man einen Reißnagel, so sind zwei Ergebnisse möglich:

"Rücken":
Der Reißnagel liegt so, dass die Spitze nach oben zeigt.
"Spitze":
Der Reißnagel liegt so, dass er auf der nach unten zeigenden Spitze liegt.

Durch häufige Durchführung haben Leon und Tabea relative Häufigkeiten ermittelt und gehen von folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

Ergebnis | Wahrscheinlichkeit
Rücken | 59 %
Spitze | 41 %

Berechne, wie oft etwa beim Wurf von 10 Reißnägeln "Spitze" auftreten wird.
Mit wieviel mal Spitze wird man bei 250 bzw. 400 Würfen mit "Spitze" rechnen? [Image]

Wurfanzahl | erwartete Reißnägel mit "Spitze"
10 | [4]
250 | [103]
400 | [164]

[Image]Aufgabe 2

Ein Dodekaeder ist ein regelmäßiger geometrischer Körper, der von 12 identischen Fünfecken begrenzt wird (siehe Abbildung). Es wird 40-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für jede Fläche beträgt ein Zwölftel oder ca. 8,3 %.
Diejenige Zahl von 1 bis 12 gilt als geworfen, auf der das Dodekaeder zum Liegen kommt.

Mit wievielen Primzahlen kann man etwa rechnen?

Bei 40 Würfen werden etwa [17] Primzahlen geworfen werden.
- 4
- 103
- 164
- 17
A: 4 / 103 / 164 / 17
Feedback: Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit gibt die relative Häufigkeit an, die man bei Durchführung vieler Versuche erwarten kann. Um die zu erwartende Anzahl (absolute Häufigkeit) zu bestimmen, berechnet man den entsprechenden Anteil an der Gesamtzahl der Versuche. Dabei wird das Ergebnis auf eine ganze Zahl gerundet. Beispiel: Wirft man ein Tetraeder (Pyramide mit 4 identischen Seitenflächen), so kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % auf der Fläche "Vier" zum Liegen. Bei 33 Würfen würde man in etwa mit 8 "Vieren" rechnen, denn 25 % von 33 sind 33 • 0,25 = 8,25 ≈ 8.

Q: Die fünf Seitenflächen eines dreiseitigen Prismas werden mit den Zahlen 1 bis 5 beschriftet.
(Ein dreiseitiges Prisma ist ein geometrischer Körper mit 3 rechteckigen Seitenflächen und zwei identischen Dreiecksflächen als Grund- und Deckfläche.) [Image]
Das Prisma wird 700-mal geworfen.
Folgende Häufigkeiten werden ermittelt:

Ergebnis | absolute Häufigkeit
1 | 70
2 | 28
3 | 239
4 | 119
5 | 244

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
- Die 3 und die 5 liegen einander gegenüber.
- Die 4 steht auf einer viereckigen Seitenfläche.
- Die 2 steht auf einer dreieckigen Seitenfläche.
- Die Grundkanten der dreieickigen Fläche sind gleich lang.
A: Die 3 und die 5 liegen einander gegenüber.; Die 4 steht auf einer viereckigen Seitenfläche.
Feedback: Erklärung: Die absoluten Häufigkeiten legen nahe, dass die 3 und die 5 gleich wahrscheinlich sind. Hierbei wird es sich demnach um die dreieckige Grund- und Deckfläche handeln. Da sich die relativen Häufigkeiten der verbleibenden Ergebnisse deutlich unterscheiden, sind die entsprechenden Flächen sicher unterschiedlich groß. Es handelt sich um die drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas.

Führe die beiden Zufallsexperimente durch (oder simuliere sie mit dem PC). [Image]
Notiere jeweils den Verlauf.
Gib an, wie häufig welches Ergebnis auftritt (absolute Häufigkeit).

1) 100-maliges Werfen eines gewöhnlichen Spielwürfels.

2) 100-maliges Werfen einer 1€-Münze.
Feedback: Erklärung: Du kannst den Verlauf eines Zufallsexperiments entweder in einer Art "Urliste" dokumentieren (z. B. 3 5 4 2 4 1 5 2 5 3 6 4 ... beim Würfeln bzw. A Z Z A Z A Z Z A A ... beim Münzwurf) und anschließend das Auftreten der einzelnen Ergebnisse zählen, oder du notierst das Auftreten der Ergebnisse gleich bei der Durchführung in einer Strichliste. Am Ende gibst Du die Anzahlen ("absolute Häufigkeiten") in einer Tabelle an, etwa so: 100-maliges Würfeln: Ergebnis | absolute Häufigkeit 1 | 14 2 | 18 3 | 16 4 | 17 5 | 19 6 | 16 100-maliger Münzwurf (1 €): Ergebnis | absolute Häufigkeit Adler | 54 Zahl (1) | 46

Q: "Mit Zurücklegen" oder "ohne Zurücklegen"?

[Image]Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment spricht man von einem Experiment "mit Zurücklegen", wenn sich bei jeder Durchführung die möglichen Ausgänge ("Ergebnisse") und deren Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. So ist dies bspw. beim Ziehen einer von verschiedenfarbigen Kugeln aus einer Urne, wenn man die gezogene Kugel jedesmal vor dem nächsten Zug wieder zurücklegt.
Von einem Experiment "ohne Zurücklegen" spricht man dagegen, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten und ggf. auch die möglichen Ausgänge von Durchführung zu Durchführung ändern. Dies ist bspw. dann der Fall, wenn beim Ziehen von verschiedenfarbigen Kugeln aus einer Urne die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug nicht zurückgelegt wird.

Entscheide bei den folgenden Fällen, ob es sich um Experimente mit oder ohne Zurücklegen handelt.

Fünfmal nacheinander wird ...

... ein Tetraederwürfel geworfen und die Augenzahl festgestellt. | [Experiment "mit Zurücklegen"]
... eine Karte aus einem Kartenspiel gezogen, offen ausgelegt und die restlichen Karten gemischt. | [Experiment "ohne Zurücklegen"]
... ein Reißnagel geworfen und festgestellt, ob er auf dem Rücken oder der Spitze zu Liegen kommt. | [Experiment "mit Zurücklegen"]
... eines von insgesamt 500 nummerierten Lotterielosen gezogen. | [Experiment "ohne Zurücklegen"]
... die Roulettescheibe in Bewegung gesetzt und festgestellt, in welches der 37 Nummernfächer die Kugel fällt. | [Experiment "mit Zurücklegen"]

[Image]
- Experiment "mit Zurücklegen"
- Experiment "ohne Zurücklegen"
- Experiment "mit Zurücklegen"
- Experiment "ohne Zurücklegen"
- Experiment "mit Zurücklegen"
A: Experiment "mit Zurücklegen" / Experiment "ohne Zurücklegen" / Experiment "mit Zurücklegen" / Experiment "ohne Zurücklegen" / Experiment "mit Zurücklegen"
Feedback: Erklärung: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment spricht man von einem Experiment "mit Zurücklegen", wenn sich bei jeder Durchführung die möglichen Ausgänge ("Ergebnisse") und deren Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. So ist dies bspw. beim Ziehen einer von verschiedenfarbigen Kugeln aus einer Urne, wenn man die gezogene Kugel jedesmal vor dem nächsten Zug wieder zurücklegt. Von einem Experiment "ohne Zurücklegen" spricht man dagegen, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten und ggf. auch die möglichen Ausgänge von Durchführung zu Durchführung ändern. Dies ist bspw. dann der Fall, wenn beim Ziehen von verschiedenfarbigen Kugeln aus einer Urne die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug nicht zurückgelegt wird. Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße, 2 rote und eine schwarze Kugel. Aus der Urne werden nacheinander drei Kugeln gezogen. - Werden die Kugeln mit Zurücklegen gezogen, so sind bei jedem Zug alle drei Farben möglich. Die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel beträgt immer \( \frac{3}{6} \) = \( \frac{1}{2} \) = 50%, für eine rote Kugel immer \( \frac{2}{6} \) = \( \frac{1}{3} \) ≈ 33,3 % und für die schwarze Kugel immer \( \frac{1}{6} \) ≈ 16,7%. - Werden die Kugeln dagegen ohne Zurücklegen gezogen, so ergibt sich ein anderer Verlauf: Wird bspw. zuerst eine weiße Kugel gezogen, so sind beim zweiten Zug nachwievor alle drei Farben möglich; die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel beträgt nun aber nur noch wie für eine rote \( \frac{2}{5} \) = 40%, weil unter den verbliebenen fünf Kugeln zwei weiße sind. Wird dagegen zuerst eine rote Kugel gezogen, so beträgt im zweiten Zug die Wahrscheinlichkeit für eine weitere rote Kugel nur noch wie für eine schwarze \( \frac{1}{5} \) = 20%. Eine rote Kugel käme dagegen mit 60%-iger Wahrscheinlichkeit. Wird im ersten Zug die schwarze Kugel gezogen, so ist erneut "schwarz" im zweiten Zug unmöglich. Dasselbe gilt für eine rote Kugel im dritten Zug, sofern zuvor bereits zwei rote Kugeln gezogen wurden. Zu dieser Aufgabe: - Wird ein Tetraederwürfel oder ein Reißnagel geworfen bzw. eine Roulettescheibe gedreht, so sind in einem weiteren Versuch nach wie vor dieselben Ergebnisse möglich. Auch ändert sich an den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse nichts. - Zieht man dagegen eine Karte aus einem Kartenstapel und legt sie offen aus oder man zieht ein nummeriertes Los, ohne es zurückzulegen, so scheidet das Ergebnis des ersten Zuges beim zweiten Zug aus. Entsprechend ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit für eine spezielle Karte oder eine Losnummer.

Q: In einer Schale befinden sich eine rote Kugel (R), zwei grüne Kugeln (G) und drei blaue Kugeln (B). [Image]
Es werden zufällig zwei Kugeln nacheinander gezogen.
Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. (Die Reihenfolge soll beachtet werden.)

Wähle die richtige Ergebnismenge aus.
- {R, G, B, RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RG, RB, GG, GB, BB}
A: {RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}

Q: In einer Schale befinden sich eine rote Kugel (R), zwei grüne Kugeln (G) und drei blaue Kugeln (B). [Image]
Es werden zufällig zwei Kugeln nacheinander gezogen.
Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. (Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.)

Wähle die richtige Ergebnismenge aus.
- {R, G, B, RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RG, RB, GG, GB, BB}
A: {RR, RG, RB, GG, GB, BB}

Q: In einer Schale befinden sich eine rote Kugel (R), zwei grüne Kugeln (G) und drei blaue Kugeln (B). [Image]
Es werden zufällig zwei Kugeln nacheinander gezogen.
Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel nicht zurückgelegt. (Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.)

Wähle die richtige Ergebnismenge aus.
- {R, G, B, RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RG, RB, GG, GB, BB}
A: {RG, RB, GG, GB, BB}
Feedback: [Image]Erklärung: In der Ergebnismenge werden alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments aufgezählt. Veranschaulicht man das Experiment durch ein Baumdiagramm, so kann man die Menge aller Ergebnisse aufzählen, wenn man nacheinander den Pfaden des Diagramms folgt. Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße (W), 2 rote (R) und eine schwarze (S) Kugel. Aus der Urne werden nacheinander drei Kugeln gezogen. Die Ergebnismenge umfasst bspw. den möglichen Ausgang "erst eine weiße Kugel, dann eine rote Kugel und als drittes die schwarze Kugel", kurz WRS. Berücksichtigt man die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, so erhält man insgeasmt als mögliche Ausgänge ("Ergebnisse"), bei zuerst gezogener weißer Kugel: WWW, WWR, WWS, WRW, WRR, WRS, WSW, WSR, WSS. Ebenso erhält man für zuerst gezogene rote Kugel RWW, RWR, RWS, RRW, RRR, RRS, RSW, RSR, RSS bzw. bei zuerst gezogener schwarzer Kugel SWW, SWR, SWS, SRW, SRR, SRS, SSW, SSR, SSS. Berücksichtigt man dagegen die Reihenfolge nicht, so bezeichnen bspw. RWW, WRW und WWR dasselbe Ergebnis, denn es spielt keine Rolle, ob bei zwei weißen und einer roten Kugel zunächst die rote Kugel oder eine weiße Kugel kam. Wird die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug nicht zurückgelegt, so scheiden ebenfalls einige Ergebnisse aus der Ergebnismenge aus: Da es nur eine schwarze Kugel in der Urne gibt, sind bspw. SSW oder SRS unmöglich.

Q: In einer Schale befinden sich eine rote Kugel (R), zwei grüne Kugeln (G) und drei blaue Kugeln (B). [Image]
Es werden zufällig zwei Kugeln nacheinander gezogen.
Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel nicht zurückgelegt. (Die Reihenfolge soll beachtet werden.)

Wähle die richtige Ergebnismenge aus.
- {R, G, B, RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {R, G, B, RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {R, G, B, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RR, RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}
- {RR, RG, RB, GG, GB, BB}
- {RG, RB, GG, GB, BB}
A: {RG, RB, GR, GG, GB, BR, BG, BB}

Q: [Image]Berechne die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses.
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... beim dreimaligem Münzwurf erst Kopf und danach zweimal Zahl zu erhalten, beträgt ... | [12,5] %
... beim zweimaligem Werfen eines Reißnagels zweimal "Spitze" zu erhalten (Wahrscheinlichkeit für "Spitze" beträgt 41%), beträgt ... | [16,8] %
... beim Wurf einer 1-Euro-Münze, eines Spielwürfels und eines Tetraeder-Würfels jeweils die "1" zu erhalten, beträgt ... | [2,1] %
- 12,5
- 16,8
- 2,1
A: 12,5 / 16,8 / 2,1
Feedback: Erklärung: Mit der Prod [Image]ukt-Regel lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses eines mehrstufigen Experiments berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse bei den einzelnen Durchführungen miteinander multipliziert. Man folgt dem zugehörigen Pfad im Baumdiagramm und multipliziert die Wahrscheinlichkeiten, die an den einzelnen Teilstrecken notiert sind. Beispiel: - Man wirft zweimal mit einem Dodekaeder, auf dessen Seitenflächen die Zahlen 1 bis 12 stehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, erst eine Zwei und danach eine Zehn zu werfen, beträgt \( \frac{1}{12} \) • \( \frac{1}{12} \) = \( \frac{1}{144} \) ≈ 0,7 %. - Man zieht zweimal aus einem Säckchen mit drei weißen und vier schwarzen Kugeln. Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{4}{7} \) • \( \frac{4}{7} \) = \( \frac{16}{49} \) ≈ 32,6 % (s. Abbildung).

Q: [Image]Selina kommt auf dem Schulweg an zwei Fußgängerampeln.
Die erste zeigt mit 16%-iger-Wahrscheinlichkeit grün, die zweite zu 58%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses.

Gib in Prozent an.
Runde auf eine Dezimale.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... dass beide Ampeln grün zeigen, beträgt ... | [9,3] %
... dass beide Ampeln rot zeigen, beträgt ... | [35,3] %
... dass die erste Ampel grün zeigt, die zweite aber rot, beträgt ... | [6,7] %
... dass die erste Ampel rot zeigt, die zweite aber grün, beträgt ... | [48,7] %
- 9,3
- 35,3
- 6,7
- 48,7
A: 9,3 / 35,3 / 6,7 / 48,7
Feedback: Erklärung: Mit der Prod [Image]ukt-Regel lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses eines mehrstufigen Experiments berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse bei den einzelnen Durchführungen miteinander multipliziert. Man folgt dem zugehörigen Pfad im Baumdiagramm und multipliziert die Wahrscheinlichkeiten, die an den einzelnen Teilstrecken notiert sind. Beispiel: - Man wirft zweimal mit einem Dodekaeder, auf dessen Seitenflächen die Zahlen 1 bis 12 stehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, erst eine Zwei und danach eine Zehn zu werfen, beträgt \( \frac{1}{12} \) • \( \frac{1}{12} \) = \( \frac{1}{144} \) ≈ 0,7 %. - Man zieht zweimal aus einem Säckchen mit drei weißen und vier schwarzen Kugeln. Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{4}{7} \) • \( \frac{4}{7} \) = \( \frac{16}{49} \) ≈ 32,6 % (s. Abbildung).

Q: [Image]Selina kommt auf dem Schulweg an zwei Fußgängerampeln.
Die erste zeigt mit 16%-iger-Wahrscheinlichkeit grün, die zweite zu 58%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses.

Gib in Prozent an.
Runde auf eine Dezimale.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... dass Selina entweder zweimal rot oder zweimal grün hat, beträgt ... | [44,6] %
... dass Selina an genau einer der beiden Ampeln stehen bleiben muss, beträgt ... | [55,4] %
- 44,6
- 55,4
A: 44,6 / 55,4
Feedback: [Image]Erklärung: Mit der Summen-Regel lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses eines mehrstufigen Experiments berechnen, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt. Man addiert dazu die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse bzw. der dazugehörigen Pfade. Zuerst werden also die Produkte entlang der entsprechenden Pfade berechnet. Anschließend werden diese addiert. Beispiel: - Man wirft zweimal mit einem Dodekaeder, auf dessen Seitenflächen die Zahlen 1 bis 12 stehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Zwei und eine Zehn zu werfen, beträgt \( \frac{1}{12} \) • \( \frac{1}{12} \) + \( \frac{1}{12} \) • \( \frac{1}{12} \) = \( \frac{2}{144} \) ≈ 1,4 %. (Entwder zuerst eine Zwei, dann eine Zehn, oder zuerst eine Zehn, dann eine Zwei) - Man zieht zweimal aus einem Säckchen mit drei weißen und vier schwarzen Kugeln. Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{3}{7} \) • \( \frac{4}{7} \) + \( \frac{4}{7} \) • \( \frac{3}{7} \) = \( \frac{24}{49} \) ≈ 49,0 %. (Entweder zuerst eine weiße Kugel, dann eine schwarze, oder zuerst eine schwarze Kugel und dann eine weiße, s. Abbildung).

Q: [Image]Aufgabe 1

Selina kommt auf dem Schulweg an zwei Fußgängerampeln.
Die erste zeigt mit 16%-iger-Wahrscheinlichkeit grün, die zweite zu 58%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie mindestens einmal stehen bleiben muss.

Gib in Prozent an.
Runde auf eine Dezimale.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... dass Selina NICHT mindestens einmal an der Ampel stehen bleiben muss (das GEGENEREIGNIS), beträgt ... | [9,3] %
... dass Selina mindestens einmal an der Ampeln stehen bleiben muss, beträgt ... | [90,7] %

Aufgabe 2

Peter hat drei Ampeln auf seinem Schulweg, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 24 %, 58 % und 16 % auf grün stehen, wenn er ankommt. [Image] [Image]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter höchstens an zwei Ampeln stehen bleiben muss, beträgt (auf eine Dezimale gerundet) [73,2] %.
- 9,3
- 90,7
- 73,2
A: 9,3 / 90,7 / 73,2
Feedback: [Image]Erklärung: Mit der Komplementär-Regel lässt sich oft die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A viel leichter berechnen, wenn man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B kennt. Dies tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis betragen zusammen immer 100 % (bzw. 1). Man kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A also leicht mithilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B berechnen: P(A) = 100 % - P(B) (bzw. P(A) = 1 - P(B) ). Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist das ganz besonders dann der Fall, wenn alle Ereignisse (bzw. Pfade) außer einem einzigen zum gefragten Ereignis gehören. Beispiel: - Man zieht zweimal aus einem Säckchen mit drei weißen und vier schwarzen Kugeln. Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 1 - \( \frac{4}{7} \) • \( \frac{4}{7} \) = 1 - \( \frac{16}{49} \) = \( \frac{33}{49} \) ≈ 67,3 %, denn das Gegenereignis wäre "gar keine weiße Kugel", also "zweimal schwarz". - Man zieht dreimal aus demselben Säckchen, ohne die Kugeln wieder zurückzulegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens zwei weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 97,1%. Das Gegenereignis B zu "höchstens zwei weiße" lautet "drei weiße". Die Wahrscheinlichkeit berechnet man 1 - P (B) = 1 - \( \frac{3}{7} \) • \( \frac{2}{6} \) • \( \frac{1}{5} \) ≈ 0,971 (Das Gegenereignis "dreimal weiß" bedeutet: zuerst eine von drei weißen bei insgesamt sieben Kugeln, dann eine der verbleibenden zwei weißen bei insgesamt noch sechs Kugel und im dritten Zug die letzte weiße unter den noch verbliebenen fünf Kugeln) Zu dieser Aufgabe: - Das Gegenereignis zu "Selina muss mindestens einmal stehen bleiben" ist "Selina muss nie stehen bleiben", also "zweimal grün"; deshalb ist P = 1 - 0,16 • 0,58 = 0,9072. - Das Gegenereignis zu "Peter muss höchstens an zwei Ampeln stehen bleiben" ist "Peter muss an allen drei Ampeln stehen" bleiben, deshalb ist P = 1 - 0,76 • 0,42 • 0,84 = 0,731872

Q: In einer Schale befinden sich zwei rote, drei gelbe und fünf grüne Kugeln. Es werden nacheinander zufällig drei Kugeln gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei verschiedene Farben gezogen werden. [Image]

Gib in Prozent an.
Runde (wenn nötig) auf eine Dezimale.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ...

... dass mindestens zwei verschiedene Farben gezogen werden, wenn die Kugeln nach jedem Zug zurückgelegt werden, beträgt ... | [84] %
... dass mindestens zwei verschiedene Farben gezogen werden, wenn die Kugeln nach dem Zug nicht zurückgelegt werden, beträgt ... | [90,8] %
- 84
- 90,8
A: 84 / 90,8
Feedback: [Image]Erklärung: Mit der Komplementär-Regel lässt sich oft die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A viel leichter berechnen, wenn man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B kennt. Dies tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis betragen zusammen immer 100 % (bzw. 1). Man kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A also leicht mithilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B berechnen: P(A) = 100 % - P(B) (bzw. P(A) = 1 - P(B) ). Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist das ganz besonders dann der Fall, wenn alle Ereignisse (bzw. Pfade) außer einem einzigen zum gefragten Ereignis gehören. Beispiel: - Man zieht zweimal aus einem Säckchen mit drei weißen und vier schwarzen Kugeln. Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 1 - \( \frac{4}{7} \) • \( \frac{4}{7} \) = 1 - \( \frac{16}{49} \) = \( \frac{33}{49} \) ≈ 67,3 %, denn das Gegenereignis wäre "gar keine weiße Kugel", also "zweimal schwarz". - Man zieht dreimal aus demselben Säckchen, ohne die Kugeln wieder zurückzulegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens zwei weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 97,1%. Das Gegenereignis B zu "höchstens zwei weiße" lautet "drei weiße". Die Wahrscheinlichkeit berechnet man 1 - P (B) = 1 - \( \frac{3}{7} \) • \( \frac{2}{6} \) • \( \frac{1}{5} \) ≈ 0,971 (Das Gegenereignis "dreimal weiß" bedeutet: zuerst eine von drei weißen bei insgesamt sieben Kugeln, dann eine der verbleibenden zwei weißen bei insgesamt noch sechs Kugel und im dritten Zug die letzte weiße unter den noch verbliebenen fünf Kugeln) Zu dieser Aufgabe: Das Gegenereignis zu "mindestens zwei verschiedene Farben" ist "dreimal dieselbe Farbe", also "dreimal rot oder dreimal gelb oder dreimal grün". - Wird zurückgelegt, so rechnet man 1 - ( \( \frac{2}{10} \) • \( \frac{2}{10} \) • \( \frac{2}{10} \) + \( \frac{3}{10} \) • \( \frac{3}{10} \) • \( \frac{3}{10} \) + \( \frac{5}{10} \) • \( \frac{5}{10} \) • \( \frac{5}{10} \) ) = 0,84. - Wird hingegen nicht zurückgelegt, so ist "dreimal rot" gar nicht möglich. Da es von Zug zu Zug eine Kugel weniger wird rechnet man nun 1 - ( \( \frac{3}{10} \) • \( \frac{2}{9} \) • \( \frac{1}{8} \) + \( \frac{5}{10} \) • \( \frac{4}{9} \) • \( \frac{3}{8} \)) ≈ 0,908

Q: Leon kommt auf seinem Schulweg an drei Fußgängerampeln, die jeweils zufällig auf rot oder grün stehen. In einem Baumdiagramm sollen die möglichen Ampelschaltungen veranschaulicht werden, bei denen er an den Ampeln eintrifft.

Vervollständige das Diagramm, indem du die fehlenden Begriffe "grün" und "rot" an den richtigen Stellen anbringst.
Gehe dabei zunächst von links nach rechts und dann - bei jeder Ampel - von oben nach unten vor.
- Zone 1 | rot
- Zone 2 | rot
- Zone 3 | rot
- Zone 4 | grün
- Zone 5 | grün
- Zone 6 | grün
- Zone 7 | grün
Feedback: [Image]Erklärung: Mehrstufige Zufallsexperimente bestehen aus einer Abfolge von hintereinander ausgeführten Stufen oder Teil-Experimenten. Man kann sie durch Baumdiagramme veranschaulichen und beschreiben: - Jede Verzweigung steht dabei für eine Stufe des Experiments. - Jeder Pfad des Baumdiagramms entspricht einem Ergebnis des mehrstufigen Experiments. Beispiel: Die Abbildung zeigt das Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments: Nacheinander wurde - ohne Zurücklegen - zweimal aus einer Urne mit 5 Kugeln gezogen: eine schwarze und je zwei rote und weiße. Die erste Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim ersten Zug auf: es kann eine schwarze, rote oder weiße Kugel gezogen werden. Die zweite Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim zweiten Zug auf: Wurde im ersten Zug die schwarze Kugel gezogen, so sind nun im zweiten Zug nur noch eine rote oder weiße Kugel möglich. Andernfalls, wenn zuerst eine rote oder weiße Kugel gezogen wurden, sind nun noch alle drei Farben möglich. Am Ende der Pfade ist jeweils das dazugehörige Ergebnis notiert. "WR" steht für das Ergebnis "erst weiß, dann rot" bzw. für den entsprechenden Pfad im Baumdiagramm.

Q: Aus einem Säckchen mit drei blauen, zwei gelben und einer weißen Kugel werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen.
Das folgende Baumdiagramm soll das Zufallsexperiment veranschaulichen.

Vervollständige das Diagramm, indem du die fehlenden Begriffe "gelb", "blau" und "weiß" an den richtigen Stellen anbringst.
Gehe dabei zunächst von links nach rechts und dann - bei jedem Zug - von oben nach unten vor.
- Zone 1 | weiß
- Zone 2 | weiß
- Zone 3 | blau
- Zone 4 | blau
- Zone 5 | gelb
Feedback: [Image]Erklärung: Mehrstufige Zufallsexperimente bestehen aus einer Abfolge von hintereinander ausgeführten Stufen oder Teil-Experimenten. Man kann sie durch Baumdiagramme veranschaulichen und beschreiben: - Jede Verzweigung steht dabei für eine Stufe des Experiments. - Jeder Pfad des Baumdiagramms entspricht einem Ergebnis des mehrstufigen Experiments. Beispiel: Die Abbildung zeigt das Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments: Nacheinander wurde - ohne Zurücklegen - zweimal aus einer Urne mit 5 Kugeln gezogen: eine schwarze und je zwei rote und weiße. Die erste Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim ersten Zug auf: es kann eine schwarze, rote oder weiße Kugel gezogen werden. Die zweite Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim zweiten Zug auf: Wurde im ersten Zug die schwarze Kugel gezogen, so sind nun im zweiten Zug nur noch eine rote oder weiße Kugel möglich. Andernfalls, wenn zuerst eine rote oder weiße Kugel gezogen wurden, sind nun noch alle drei Farben möglich. Am Ende der Pfade ist jeweils das dazugehörige Ergebnis notiert. "WR" steht für das Ergebnis "erst weiß, dann rot" bzw. für den entsprechenden Pfad im Baumdiagramm.

Q: [Image] [Image]Leon kommt auf seinem Schulweg an drei Fußgängerampeln, die jeweils zufällig auf rot oder grün stehen.
Die erste Ampel zeigt mit 21%-iger Wahrscheinlichkeit grün, die zweite steht zu 53% auf grün.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beträgt bei der dritten Ampel 85%.

In einem Baumdiagramm sollen die möglichen Ampelschaltungen, bei denen er an den Ampeln eintrifft, veranschaulicht werden.

Vervollständige das Diagramm, indem du die Wahrscheinlichkeiten an den richtigen Stellen anbringst.
Beginne dabei bei gleichen Wahrscheinlichkeiten immer von oben.
- Zone 1 | 0,15
- Zone 2 | 0,15
- Zone 3 | 0,15
- Zone 4 | 0,15
- Zone 5 | 0,21
- Zone 6 | 0,47
- Zone 7 | 0,47
- Zone 8 | 0,53
- Zone 9 | 0,53
- Zone 10 | 0,79
- Zone 11 | 0,85
- Zone 12 | 0,85
- Zone 13 | 0,85
- Zone 14 | 0,85
Feedback: [Image] Erklärung: Um Wahrscheinlchkeiten bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment zu berechnen, trägt man an den Teilstrecken des Baumdiagramms jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit ein. Beispiel: Die Abbildung zeigt das Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments: Nacheinander wurde - ohne Zurücklegen - zweimal aus einer Urne mit 5 Kugeln gezogen: eine schwarze und je zwei rote und weiße. Die erste Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim ersten Zug auf: es kann die eine schwarze oder eine von jeweils zwei roten oder weißen Kugeln gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeiten betragen daher \( \frac{1}{5} \), \( \frac{2}{5} \) und\( \frac{2}{5} \). Die zweite Verzweigung zeigt die Möglichkeiten beim zweiten Zug auf: Wurde im ersten Zug die schwarze Kugel gezogen, so sind nun im zweiten Zug nur noch eine von je zwei roten oder weißen Kugeln möglich. Die Wahrscheinlichkeiten betragen daher jeweils \( \frac{2}{4} \). Andernfalls, wenn zuerst eine rote oder weiße Kugel gezogen wurden, sind nun noch alle drei Farben möglich. Die Wahrscheinlichkeiten errechnen sich entsprechend der noch übrigen Kugeln.

Q: [Image]Lisa verwendet beim Spiel einen "gezinkten" Würfel, ihr Bruder Linus dagegen einen gewöhnlichen Spielwürfel.
Die Augenzahlen bei Lisas Würfel erscheinen mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Augenzahl | Wahrscheinlichkeit
1 | 13 %
2 | 15 %
3 | 15 %
4 | 17 %
5 | 17 %
6 | 23 %

Bei dem Spiel, das sie spielen, wird zweimal geworfen. Man erhält Punkte, wenn man entweder einen Pasch oder zumindest eine 6 wirft.
Berechne für Lisa und Linus jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie bei einem Wurf Punkte erhalten.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa einen Pasch oder zumindest eine 6 wirft, beträgt [52,7] %.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Linus einen Pasch oder zumindest eine 6 wirft, beträgt [44,4] %.
- 52,7
- 44,4
A: 52,7 / 44,4
Feedback: Erklärung: - Mit dem gezinkten Würfel von Lisa gilt: - Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Wurf eine 6 zu werfen beträgt 23%. - Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Wurf eine 1 und im zweiten Wurf eine 1 oder 6 zu werfen beträgt 0,13 • 0,13 + 0,13 • 0,23 = 0,0468. - Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Wurf eine 2 und im zweiten Wurf eine 2 oder 6 zu werfen beträgt 0,15 • 0,15 + 0,15 • 0,23 = 0,057. - ... - Insgesamt erhält man P(A) = (0,13 • 0,13 + 0,13 • 0,23) + 2 • (0,15 • 0,15 + 0,15 • 0,23) + 2 • (0,17 • 0,17 + 0,17 • 0,23) + 0,23 = 0,4532 ≈ 52,7 % - Mit einem gewöhnlichen Spielwürfel erhält man dagegen: P(A) = 5 • ( \( \frac{1}{6} \) • \( \frac{1}{6} \) + \( \frac{1}{6} \) • \( \frac{1}{6} \)) + \( \frac{1}{6} \) = \( \frac{10}{36} \) + \( \frac{6}{36} \) = \( \frac{16}{36} \) ≈ 44,4 %

Q: [Image]Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" kommt man mit einer Figur heraus, wenn man eine 6 würfelt.
Zeigt der Würfel keine 6, so darf man es noch einmal probieren. Gelingt es wieder nicht, so hat man einen letzten, dritten Versuch.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Start gelingt, man also mit einer Figur heraus kommt.
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.
Tipp: Du kannst dazu ein Baumdiagramm anfertigen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Start bei "Mensch ärger dich nicht" gelingt, beträgt [42,1] %.
- 42,1
A: 42,1
Feedback: [Image]Erklärung: Man berechnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mit den Pfadregeln: - Zunächst zeichnet man das zugehörige Baumdiagramm und trägt an den Teilstrecken die Wahrscheinlichkeiten ein. Da nur das Herauskommen (eine gewürfelte 6) oder das Misslingen (eine gewürfelte 1 bis 5) interessiert, fasst man die Augenzahlen 1 bis 5 zusammen. Bei einer gewürfelten 6 endet das mehrstufige Experiment! - Nun berechnet man die Wahrscheinlichkeit der Pfade/Ergebnisse, die zum gesuchten Ereignis gehören. In unserem Fall gehören zu A: "Der Start gelingt" - eine 6 im 1. Wurf - eine 6 im 2. Wurf - eine 6 im 3. Wurf Man multipliziert entlang des Pfades (Produktregel) und addiert anschließend die Wahrscheinlichkeiten (Summenregel): P (A) = \( \frac{1}{6} \) + \( \frac{5}{6} \) • \( \frac{1}{6} \) + \( \frac{5}{6} \) • \( \frac{5}{6} \) • \( \frac{1}{6} \) ≈ 0,421 - Alternative: Man verwendet das Gegenereignis ("Start gelingt nicht " = "dreimal keine 6"): P (A) = 1 - \( \frac{5}{6} \) • \( \frac{5}{6} \) • \( \frac{5}{6} \) ≈ 0,42

Q: Ein Tetraeder-Würfel und ein gewöhnlicher Spielwürfel werden jeweils dreimal geworfen. [Image]

a) Wieviele verschiedene Ergebnisse sind jeweils möglich?

- Bei dreimaligem Tetraeder-Werfen sind [64] Ergebnisse möglich.
- Bei dreimaligem Würfel-Werfen sind [216] Ergebnisse möglich.

b) Wieviele Ergebnisse sind jeweils für das Eintreffen des Ereignisses günstig?

- Die drei Zahlen 1, 2 und 3 treten bei dreimaligem Tetraeder-Werfen in [6] Kombinationen/verschiedenen Ergebnissen je einmal auf.
- Die drei Zahlen 1, 2 und 3 treten bei dreimaligem Würfel-Werfen in [6] Kombinationen/verschiedenen Ergebnissen je einmal auf.

c) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis?
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.

- Die drei Zahlen 1, 2 und 3 treten bei dreimaligem Tetraeder-Werfen je einmal mit [9,4] %-iger Wahrscheinlichkeit auf.
- Die drei Zahlen 1, 2 und 3 treten bei dreimaligem Würfel-Werfen je einmal mit [2,8] %-iger Wahrscheinlichkeit auf.
- 64
- 216
- 6
- 6
- 9,4
- 2,8
A: 64 / 216 / 6 / 6 / 9,4 / 2,8
Feedback: Erklärung: Umfasst eine mehrstufiges Experiment sehr viele mögliche Ergebnisse, so verzichtet man auf das Zeichnen des Baumdigramms. Stattdessen überlegt man sich, wieviele Pfade/Ergebnisse es insgesamt gibt, und wieviele davon günstig für das Eintreten das gefragten Ereignisses sind. Verwendet man dann die Laplace-Formel, ist es wichtig, dass die Ergebnisse auch wirklich alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Beispiel: Man zieht ohne Zurücklegen zwei von zehn Kugeln, die mit den Nummern 1 bis 10 beschriftet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Zahlen 8 beträgt? Für die erste Kugel hat man 10 Zug-Möglichkeiten und für die zweite entsprechend jeweils 9. Das Baumdiagramm hat also 90 Pfade/Ergebnisse. Günstige Ereignisse für das Eintreten von "die Summe ist 8" sind 1+7, 2+6, 3+5, 5+3, 6+2 sind 7+1, also 6 mögliche Kugelkombinationen. Die Wahrscheinlichkeit für "die Summe ist 8" beträgt also \( \frac{6}{90} \) = \( \frac{1}{15} \) ≈ 6,7 %

Q: [Image]Lena zieht nacheinander vier verdeckte Kärtchen mit den Buchstaben L, E, N und A.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Buchstaben ihres Namens in der richtigen Reihenfolge zieht.
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.

- Die Wahrscheinlichkeit für L - E - N - A beträgt ohne Zurücklegen [4,2] %.
- Die Wahrscheinlichkeit für L - E - N - A beträgt mit Zurücklegen [0,4] %.

b) Ihre Freundin Anna will auch mitspielen. Sie zieht mit Zurücklegen 4 Kärtchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Buchstaben ihres Namens in der richtigen Reihenfolge zieht.
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.

- Die Wahrscheinlichkeit für A - N - N - A beträgt (mit Zurücklegen) [0,4] %.

c) Anna will ihre Chancen erhöhen und schreibt deshalb wie Tina Kärtchen mit den Buchstaben ihres eigenen Namens. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Buchstaben ihres Namens in der richtigen Reihenfolge zieht?
Gib in Prozent an. Runde auf eine Dezimale.

- Die Wahrscheinlichkeit für A - N - N - A beträgt ohne Zurücklegen [16,7] %.
- Die Wahrscheinlichkeit für A - N - N - A beträgt mit Zurücklegen [6,3] %.
- 4,2
- 0,4
- 0,4
- 16,7
- 6,3
A: 4,2 / 0,4 / 0,4 / 16,7 / 6,3
Feedback: Erklärung: Umfasst eine mehrstufiges Experiment sehr viele mögliche Ergebnisse, so verzichtet man auf das Zeichnen des Baumdigramms. Stattdessen überlegt man sich, wieviele Pfade/Ergebnisse es insgesamt gibt, und wieviele davon günstig für das Eintreten das gefragten Ereignisses sind. Beispiel: Man zieht ohne Zurücklegen zwei von zehn Kugeln, die mit den Nummern 1 bis 10 beschriftet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Zahlen 8 beträgt? Für die erste Kugel hat man 10 Zug-Möglichkeiten und für die zweite entsprechend jeweils 9. Das Baumdiagramm hat also 90 Pfade/Ergebnisse. Günstige Ereignisse für das Eintreten von "die Summe ist 8" sind 1+7, 2+6, 3+5, 5+3, 6+2 sind 7+1, also 6 mögliche Kugelkombinationen. Die Wahrscheinlichkeit für "die Summe ist 8" beträgt also \( \frac{6}{90} \) = \( \frac{1}{15} \) ≈ 6,7 %. Zu dieser Aufgabe: a) P(A) = \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{3} \) • \( \frac{1}{2} \) ≈ 0,042 P(B) = \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) ≈ 0,004 b) wie bei a: P(B) = \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) • \( \frac{1}{4} \) ≈ 0,004 c) P(A) = \( \frac{2}{4} \) • \( \frac{2}{3} \) • \( \frac{1}{2} \) ≈ 0,167 P(B) = \( \frac{1}{2} \) • \( \frac{1}{2} \) • \( \frac{1}{2} \) • \( \frac{1}{2} \) ≈ 0,063