Title: Standard für KC M9
Course: Lernmaterialien Mathematik

Standardkategorie für Fragen, die im Kontext 'KC M9' freigegeben sind.

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Q: [Image]

Vervollständige den Satz:

Weil 2³ = 8 ist, nennt man [3] den Logarithmus [von] [8] [zur Basis] [2].
- 3
- von
- 8
- zur Basis
- 2
A: 3 / von / 8 / zur Basis / 2
Feedback: Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl a zu einer gegebenen Basis b ist diejenige Hochzahl ("Exponent"), mit der man b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten. Beispiele: Der Logarithmus von 9 zur Basis 3 ist 2, denn 3² = 9. Schreibweise: Man schreibt für den Logarithmus von 9 zur Basis 3 "log_3 9". Also: Weil 3² = 9 ist, gilt log_3 9 = 2.

Q: Gib die gesuchten Zahlen ein:

Der Logarithmus von [0,0625] zur Basis [4] ist [-2], weil 4^-2 = [0,0625] ist. [Image]
- 0,0625
- 4
- -2
- 0,0625
A: 0,0625 / 4 / -2 / 0,0625
Feedback: Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl a zu einer gegebenen Basis b ist diejenige Hochzahl ("Exponent"), mit der man b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten. Beispiele: Der Logarithmus von 9 zur Basis 3 ist 2, denn 3² = 9. Schreibweise: Man schreibt für den Logarithmus von 9 zur Basis 3 "log_3 9". Also: Weil 3² = 9 ist, gilt log_3 9 = 2.

Q: Gib die gesuchten Zahlen an: [Image]

a) log_2 2 = [1]

b) log_5 25 = [2]

c) log_5 1 = [0]

d) log_3 27 = [3]

e) log_2 16 = [4]
- 1
- 2
- 0
- 3
- 4
A: 1 / 2 / 0 / 3 / 4
Feedback: Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl a zu einer gegebenen Basis b ist diejenige Hochzahl ("Exponent"), mit der man b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten. Beispiele: Der Logarithmus von 9 zur Basis 3 ist 2, denn 3² = 9. Schreibweise: Man schreibt für den Logarithmus von 9 zur Basis 3 "log_3 9". Also: Weil 3² = 9 ist, gilt log_3 9 = 2. Hinweis: Der Logarithmus von 1 zu jeder Basis ist 0, da für jedes b gilt: b^0 = 1 Lösung: a) log_2 2 = 1, weil 2^1 = 2 b) log_5 25 = 2, weil 5^2 = 25 c) log_5 1 = 0, weil 5^0 = 1 d) log_3 27 = 3, weil 3^3 = 27 e) log_2 16 = 4, weil 2^4 = 16

Q: Gib die gesuchten Zahlen an (ggf. als Dezimalzahl): [Image]

a) log_2 0,5 = [-1]

b) log_9 3 = [0,5]

c) log_16 0,5 = [-0,25]
- -1
- 0,5
- -0,25
A: -1 / 0,5 / -0,25
Feedback: Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl a zu einer gegebenen Basis b ist diejenige Hochzahl ("Exponent"), mit der man b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten. Beispiele: - Der Logarithmus von 3 zur Basis 9 ist \( \frac{1}{2} \), denn \( \sqrt{9} \) = \( 9^ \frac{1}{2} \) = 3. Also: log_9 3 = \( \frac{1}{2} \) = 0,5. - Der Logarithmus von 0,04 bzw. \( \frac{1}{25} \) zur Basis 5 ist -2, denn 5^-2 = \( \frac{1}{5^2} \) = \( \frac{1}{25} \) = 0,04. Lösung: a) log_2 0,5 = -1, weil 2^-1 = \( \frac{1}{2} \) = 0,5 b) log_9 3 = 0,5, weil 9^0,5 = \( 9^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{9} \) = 3 c) log_16 0,5 = -0,25, weil 16^-0,25 = \( 16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} \) = 0,5

Q: Berechne mit dem Taschenrechner. Gib die gesuchten Zahlen auf 4 Dezimalen gerundet an: [Image]

a) log_2 9 = [3,1699]

b) log_9 2 = [0,3155]

c) log_4 5 = [1,1610]
- 3,1699
- 0,3155
- 1,1610
A: 3,1699 / 0,3155 / 1,1610
Feedback: Erklärung: Der Logarithmus einer Zahl a zu einer gegebenen Basis b ist diejenige Hochzahl ("Exponent"), mit der man b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten. Beispiele: - Der Logarithmus von 3 zur Basis 9 ist \( \frac{1}{2} \), denn \( \sqrt{9} \) = \( 9^ \frac{1}{2} \) = 3. Also: log_9 3 = \( \frac{1}{2} \) = 0,5. - Der Logarithmus von 4 zur Basis 3 ist ungefähr 1,2619, denn 3^1,2619 ≈ 4. Die näherungsweise Ermittlung des Wertes ist mit dem Taschenrechner möglich.

Q: Bei welcher der Gleichungen benötigt man zur Lösung den Logarithmus? [Image]
- \( 3 x^2 + 7 = 2 \)
- \( x ^2 + 2x = - 4 \)
- \( 2 ^x - 2 = 5 \)
- \( \sqrt{x ^3 + 2x} = 2 \)
- \( 1,2 ^x = 4,5 \)
- \( \frac{3 x^3 + 2}{x} = 5 \)
- \( 3 \cdot 4 ^x - 7 = 2 \)
A: \( 2 ^x - 2 = 5 \); \( 1,2 ^x = 4,5 \); \( 3 \cdot 4 ^x - 7 = 2 \)
Feedback: Erklärung: Man benötigt den Logarithmus immer dann, wenn eine Gleichung zu lösen ist, bei der die Variable (in der Regel: x) im Exponent einer Potenz steht (eine sogenannte "Exponentialgleichung"). Beispiele: - \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logartihmus gerade log_3 5. Mit dem Taschenrechner kann man somit die Lösung berechnen. - \( 1,5 \cdot 4^x + 5 = 20 \). Nach Äquivalenzumformungen (erst 5 subtrahieren, dann durch 1,5 teilen) erhält man als Exponentialgleichung \( 4^x=10 \). Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich als Lösung x = log_4 10. Der Taschenrechner gibt als Näherung x ≈ 1,66 an.

Q: In welchen Fällen benötigt man den Logarithmus?
- zur Bestimmung eines Bestandes zu einem vorgegebenen Zeitpunkt bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird
- zur Bestimmung eines Zeitpunktes, zu dem bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird, ein vorgegebener Bestand erreicht wird
- zur Bestimmung der Halbwertszeit bei einem exponentiellen Zerfall
- zur Bestimmung des Zeitpunktes, zu dem bei einem radioaktiven Zerfallsprozess eine vorgegebene Reststrahlung oder Masse noch vorhanden ist
A: zur Bestimmung eines Zeitpunktes, zu dem bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird, ein vorgegebener Bestand erreicht wird; zur Bestimmung der Halbwertszeit bei einem exponentiellen Zerfall; zur Bestimmung des Zeitpunktes, zu dem bei einem radioaktiven Zerfallsprozess eine vorgegebene Reststrahlung oder Masse noch vorhanden ist
Feedback: Erklärung: Man benötigt den Logarithmus immer dann, wenn eine Gleichung zu lösen ist, bei der die Variable (in der Regel: x) im Exponent einer Potenz steht (eine sogenannte "Exponentialgleichung"). Beispiele: - \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logartihmus gerade log_3 5. Mit dem Taschenrechner kann man somit die Lösung berechnen. - \( 1,5 \cdot 4^x + 5 = 20 \). Nach Äquivalenzumformungen (erst 5 subtrahieren, dann durch 1,5 teilen) erhält man als Exponentialgleichung \( 4^x=10 \). Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich als Lösung x = log_4 10. Der Taschenrechner gibt als Näherung x ≈ 1,66 an.

Q: Bestimme die Lösung der jeweiligen Exponentialgleichung. [Image]

Forme, wenn nötig, zuerst um.
Gib das Ergebnis auf drei Dezimalen gerundet an.

a) | 2^x = 7 | Lösung: x ≈ [2,807]
b) | 3 · 4^x = 18 | Lösung: x ≈ [1,292]
c) | 2,5 · 1,8^x + 7 = 26,5 | Lösung: x ≈ [3,495]
- 2,807
- 1,292
- 3,495
A: 2,807 / 1,292 / 3,495
Feedback: Erklärung: Man benötigt den Logarithmus immer dann, wenn eine Gleichung zu lösen ist, bei der die Variable (in der Regel: x) im Exponent einer Potenz steht (eine sogenannte "Exponentialgleichung"). Beispiele: - \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logartihmus gerade log_3 5. Mit dem Taschenrechner kann man somit die Lösung berechnen. - \( 1,5 \cdot 4^x + 5 = 20 \). Nach Äquivalenzumformungen (erst 5 subtrahieren, dann durch 1,5 teilen) erhält man als Exponentialgleichung \( 4^x=10 \). Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich als Lösung x = log_4 10. Der Taschenrechner gibt als Näherung x ≈ 1,66 an. Lösung: a) 2^x = 7 x = log_2 7 ≈ 2,807 b) 3 · 4^x = 18 | : 3 4^x = 6 x = log_4 6 ≈ 1,292 c) 2,5 · 1,8^x + 7 = 26,5 | - 7 2,5 · 1,8^x = 19,5 | : 2,5 1,8^x = 7,8 x = log_1,8 7,8 ≈ 3,495

Q: Bestimme die Lösung der jeweiligen Exponentialgleichung. [Image]

Forme, wenn nötig, zuerst um.
Gib das Ergebnis auf drei Dezimalen gerundet an.

a) | 1,8^x = 6 | Lösung: x ≈ [3,048]
b) | 15 · 1,2^x = 50 | Lösung: x ≈ [6,604]
c) | 18,2 · 0,85^x + 8 = 20 | Lösung: x ≈ [2,563]
- 3,048
- 6,604
- 2,563
A: 3,048 / 6,604 / 2,563
Feedback: Erklärung: Um eine Exponentialgleichung zu lösen, benötigt man den Logarithmus. Beispiele: - \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logarithmus gerade log_3 5. Mit dem Taschenrechner kann man somit die Lösung berechnen. - \( 1,5 \cdot 4^x + 5 = 20 \). Nach Äquivalenzumformungen (erst 5 subtrahieren, dann durch 1,5 teilen) erhält man als Exponentialgleichung \( 4^x=10 \). Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich als Lösung x = log_4 10. Der Taschenrechner gibt als Näherung x ≈ 1,66 an. Lösung: a) 1,8^x = 6 x = log_1,8 6 ≈ 3,048 b) 15 · 1,2^x = 50 | : 15 1,2^x = \( \frac{10}{3} \) x = log_1,2 \( \frac{10}{3} \) ≈ 6,604 c) 18,2 · 0,85^x + 8 = 20 | - 8 18,2 · 0,85^x = 12 | : 18,2 0,85^x = \( \frac{60}{91} \) x = log_0,85 \( \frac{60}{91} \) ≈ 2,563

Q: Bei einem exponentiellen Wachstum verdoppelt sich der Bestand jeden Monat.
Berechne und gib auf ganze Tage gerundet an. Ein Monat wird mit 30 Tagen gerechnet. [Image]

a) Wann hat sich der Bestand verfünffacht?
Der Bestand hat sich bei diesem exponentiellen Wachstum nach ca. [70] Tagen verfünffacht.

b) Wie lange dauert es bei einem Anfangsbestand von 40 Individuen, bis die Individuenzahl auf 1000 angewachsen ist?
Der Bestand ist nach ca. [139] Tagen auf 1000 Individuen angestiegen.
- 70
- 139
A: 70 / 139
Feedback: Erklärung: Für das exponentielle Wachstum ist zunächst eine Funktionsgleichung aufzustellen. Um einen Zeitpunkt zu bestimmen, muss man die entsprechende Exponentialgleichung lösen; dazu benötigt man den Logarithmus. Beispiele: - Ein Bestand wächst exponentiell. Die Zunahme beträgt pro Woche 12 %, der Wachstumsfaktor also 1,12 ("Zunahme um 12 % bedeutet Zunahme auf 112 %"...) Die Funktion f (t) = c · 1,12^t mit t in Wochen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t bei einem Anfangsbestand c. Der Bestand hat sich verdreifach, wenn 1,12^t = 3 ist (dann ist c · 1,12^t = 3 ·c). Lösung: t = log_1,12 3 ≈ 9,694. In Tagen sind dies 9,694 · 7 ≈ 68. - Ein anderer Bestand nimmt exponentiell ab. Die Abnahme beträgt pro Tag 8 %, der Wachstumsfaktor also 0,92 ("Abnahme um 8 % bedeutet Abnahme auf 92 %"...). Der Anfangsbestand betrage 500. Die Funktion f (t) = 500 · 0,92^t mit t in Tagen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t. Der Bestand beträgt nur noch 200, wenn 500 · 0,92^t = 200 ist, d.h. 0,92^t = 0,4. Lösung: t = log_0,92 0,4 ≈ 10,989. Nach ca. 11 Tagen ist der Bestand auf 200 gesunken. Lösung: a) 2^x = 5 x = log_2 5 ≈ 2,322. In Tagen: 2,322 · 30 ≈ 70 b) 40 · 2^x = 1000 | : 40 2^x = 25 x = log_2 25 ≈ 4,644 In Tagen: 4,644 · 30 ≈ 139

Q: Ein radioaktiver Stoff zerfällt so, dass Masse und Strahlung der Substanz pro Jahr um 20 % abnehmen.
Berechne und gib auf eine Dezimale gerundet an. [Image]

a) Wann hat sich die Stoffmenge halbiert?
Die Menge beträgt nach ca. [3,1] Jahren hur noch die Hälfte.

b) Wie lange dauert es, bis von einem halben Kilogramm nur noch 40 g übrig sind?
Nach ca. [11,3] Jahren sind von  \( \frac{1}{2} \) kg der Substanz nur noch 40 g übrig.
- 3,1
- 11,3
A: 3,1 / 11,3
Feedback: Erklärung: Für das exponentielle Wachstum ist zunächst eine Funktionsgleichung aufzustellen. Um einen Zeitpunkt zu bestimmen, muss man die entsprechende Exponentialgleichung lösen; dazu benötigt man den Logarithmus. Beispiele: - Ein Bestand wächst exponentiell. Die Zunahme beträgt pro Woche 12 %, der Wachstumsfaktor also 1,12 ("Zunahme um 12 % bedeutet Zunahme auf 112 %"...) Die Funktion f (t) = c · 1,12^t mit t in Wochen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t bei einem Anfangsbestand c. Der Bestand hat sich verdreifach, wenn 1,12^t = 3 ist (dann ist c · 1,12^t = 3 c). Lösung: t = log_1,12 3 ≈ 9,694. In Tagen sind dies 9,694 · 7 ≈ 68. - Ein anderer Bestand nimmt exponentiell ab. Die Abnahme beträgt pro Tag 8 %, der Wachstumsfaktor also 0,92 ("Abnahme um 8 % bedeutet Abnahme auf 92 %"...). Der Anfangsbestand betrage 500. Die Funktion f (t) = 500 · 0,92^t mit t in Tagen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t. Der Bestand beträgt nur noch 200, wenn 500 · 0,92^t = 200 ist, d.h. 0,92^t = 0,4. Lösung: t = log_0,92 0,4 ≈ 10,989. Nach ca. 11 Tagen ist der Bestand auf 200 gesunken. Lösung: a) 0,8^x = 0,5 x = log_0,8 0,5 ≈ 3,106 b) 500 · 0,8^x = 40 | : 500 0,8^x = 0,08 x = log_0,8 0,08 ≈ 11,319

Q: Welcher der Terme gibt die Lösung der Gleichung 4^x = 5 an?
- x = \( log_4 5 \)
- x = \( log_5 4 \)
- x = \( \sqrt[4]{5} \)
- x = \( \sqrt[5]{4} \)
A: x = \( log_4 5 \)
Feedback: Erklärung: Um eine Exponentialgleichung zu lösen, benötigt man den Logarithmus. Beispiel: \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logarithmus gerade log_3 5. Der Logarithmus von 5 zur Basis 3 ist genau die Hochzahl x, die man benötigt, damit 3^x = 5 ist.

Q: Die Lösung der Gleichung 0,8^x = 0,2 ist [Image]

der Logarithmus von [0,2] zur Basis [0,8].
- 0,2
- 0,8
A: 0,2 / 0,8
Feedback: Erklärung: Um eine Exponentialgleichung zu lösen, benötigt man den Logarithmus. Beispiel: \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logarithmus gerade log_3 5. Der Logarithmus von 5 zur Basis 3 ist genau die Hochzahl x, die man benötigt, damit 3^x = 5 ist.

Q: Die Lösung der Gleichung 1,4^x = 7,5 ist [Image]

x = log_[1,4] [7,5].
- 1,4
- 7,5
A: 1,4 / 7,5
Feedback: Erklärung: Um eine Exponentialgleichung zu lösen, benötigt man den Logarithmus. Beispiel: \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logarithmus gerade log_3 5. Der Logarithmus von 5 zur Basis 3 ist genau die Hochzahl x, die man benötigt, damit 3^x = 5 ist.

Q: Welche der folgenden Gleichungen ist eine Potenzgleichung, welche eine Exponentialgleichung? Wähle aus. [Image]

\( 2 \cdot x^{7} = 12 \) | [Potenzgleichung]
\( 2x^{3} + 7 = 12 \) | [Potenzgleichung]
\( 2^{x} + 7 = 12 \) | [Exponentialgleichung]
\( \sqrt{2x + x^{3}} = 12 \) | [weder noch]
\( 2 \cdot 3^{x} + 7 = 12 \) | [Exponentialgleichung]
\( 2,3^{x} = 12 \) | [Exponentialgleichung]
\( 2 x + 7 x^{3} = 12 \) | [weder noch]
\( \sqrt{x^{3}} + 7 = 12 \) | [Potenzgleichung]
\( 3^{x} = 7 \cdot 12 \) | [Exponentialgleichung]
\( \frac{x^{3} + 7}{2x} = 12 \) | [weder noch]
- Potenzgleichung
- Potenzgleichung
- Exponentialgleichung
- weder noch
- Exponentialgleichung
- Exponentialgleichung
- weder noch
- Potenzgleichung
- Exponentialgleichung
- weder noch
A: Potenzgleichung / Potenzgleichung / Exponentialgleichung / weder noch / Exponentialgleichung / Exponentialgleichung / weder noch / Potenzgleichung / Exponentialgleichung / weder noch
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die (zu bestimmende) Variable im Exponent einer Potenz vorkommt (als "Hochzahl"). Bei einer Potenzgleichung kommt die Variable dagegen als Basis einer Potenz vor. Beispiele: - \( 4 \cdot 3^{x} = 8 \) ist eine Exponentialgleichung. - \( 4 \cdot x^{3} = 8 \) ist dagegen eine Potenzgleichung. - Schreibt man \( \sqrt[4]{x^{3}} = 8 \) um als \( x^{ \frac{3}{4} } = 8 \), so erkennt man, dass es sich ebenfalls um eine Potenzgleichung handelt.

Q: Als Exponentialgleichung bezeichnet man eine Gleichung, bei der... [Image]
- ... eine Variable im Exponent einer Potenz vorkommt.
- ... eine Variable als Basis einer Potenz vorkommt.
- ... eine Potenz vorkommt, bei der die Variable sowohl im Exponent als auch in der Basis steht.
- ... eine Variable vorkommt, die im Exponent mehrere Potenzen steht.
- ... eine Variable vorkommt, die in der Basis mehrerer Potenzen steht.
A: ... eine Variable im Exponent einer Potenz vorkommt.
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die (zu bestimmende) Variable im Exponent einer Potenz vorkommt (als "Hochzahl"). Bei einer Potenzgleichung kommt die Variable dagegen als Basis einer Potenz vor. Beispiele: - \( 4 \cdot 3^{x} = 8 \) ist eine Exponentialgleichung. - \( 4 \cdot x^{3} = 8 \) ist dagegen eine Potenzgleichung. - Schreibt man \( \sqrt[4]{x^{3}} = 8 \) um als \( x^{ \frac{3}{4} } = 8 \), so erkennt man, dass es sich ebenfalls um eine Potenzgleichung handelt.

Q: Als Potenzgleichung bezeichnet man eine Gleichung, bei der... [Image]
- ... eine Variable im Exponent einer Potenz vorkommt.
- ... eine Variable als Basis einer Potenz vorkommt.
- ... eine Potenz vorkommt, bei der die Variable sowohl im Exponent als auch in der Basis steht.
- ... eine Variable vorkommt, die im Exponent mehrere Potenzen steht.
- ... eine Variable vorkommt, die in der Basis mehrerer Potenzen steht.
A: ... eine Variable als Basis einer Potenz vorkommt.
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die (zu bestimmende) Variable im Exponent einer Potenz vorkommt (als "Hochzahl"). Bei einer Potenzgleichung kommt die Variable dagegen als Basis einer Potenz vor. Beispiele: - \( 4 \cdot 3^{x} = 8 \) ist eine Exponentialgleichung. - \( 4 \cdot x^{3} = 8 \) ist dagegen eine Potenzgleichung. - Schreibt man \( \sqrt[4]{x^{3}} = 8 \) um als \( x^{ \frac{3}{4} } = 8 \), so erkennt man, dass es sich ebenfalls um eine Potenzgleichung handelt.

Q: Für den Graph der Funktion f mit \( f(x) = - \frac{1}{2} \cdot 2 ^x + 3 \) gilt:

[Image]

- für sehr große x-Werte (d.h. für \( x \rightarrow + \infty \) ) geht f(x) gegen [- ∞].
- für sehr kleine x-Werte (d.h. für \( x \rightarrow - \infty \) ) geht f(x) gegen [3].
- f(0) = [2,5]
- f(1) = [2]
- Der Graph ist monoton [fallend].
- Er hat eine Nullstelle bei etwas mehr als [2,5]. (Hierzu den TR verwenden!)

Skizziere anhand dieser Werte und Eigenschaften den Graphen.
- - ∞
- 3
- 2,5
- 2
- fallend
- 2,5
- steigend
- 1
- 1.5
- -1
- -0.5
- +∞
A: - ∞ / 3 / 2,5 / 2 / fallend / 2,5
Feedback: Erklärung: Bei einer Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = c · a^x + d mit c > 0 gehen die Funktionswerte bei a > 0 für sehr kleine x-Werte gegen d, da a^x gegen 0 geht. Für sehr große x-Werte wachsen die Funktionswerte dagegen betragsmäßig über jede Grenze. Ist c < 0, so geht dagegen f(x) gegen \( - \infty \) für \( x \rightarrow \infty \). Lösung: - Für \( x \rightarrow \infty \) geht 2^x gegen \( + \infty \). Multipliziert mit \( - \frac{1}{2} \) ergibt sich eine betragsmäßig große negative Zahl. Somit geht \( - \frac{1}{2} \cdot 2 ^x \) und damit auch f(x) gegen \( - \infty \) - Für \( x \rightarrow - \infty \) geht 2^x dagegen gegen 0, ebenso \( - \frac{1}{2} \cdot 2 ^x \) . Somit geht f(x) gegen 3. - Durch Einsetzen von x = 0 bzw. x = 1 erhält man als Funktionswerte \( f(0) = - \frac{1}{2} \cdot 2 ^0 + 3 = - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = 2,5\) sowie \( f(1) = - \frac{1}{2} \cdot 2 ^1 + 3 = - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2\) . - Je größer x wird, desto größer wird auch 2^x bzw. desto kleiner wird - \( \frac{1}{2} \cdot 2^x \); d.h. f(x) ist monoton fallend. - Nullstelle: f(x) = 0 führt auf \( \frac{1}{2} \cdot 2^x = 3 \Rightarrow x = log_{2}6 \approx 2,58 \). - [Image]Um das Schaubild zu skizzieren, verwendet man die beiden Punkte S (0|2,5) und P (1|2) des Graphen sowie die Nullstelle x_n ≈ 2,58, die Eigenschaft, dass er monoton fallend ist und für \( x \rightarrow \infty \) gegen \(- \infty \) geht, sowie die Tatsache, dass sich die Funktionswerte für \( x \rightarrow - \infty \) der Zahl 3 annähern.

Q: Bei linearem Wachstum ist die  [Änderungsrate konstant], d.h. pro Zeitschritt steigt bzw. fällt der Bestand immer [um denselben Wert]. [Image]

Beim exponentiellen Wachstum ist dagegen die [prozentuale Änderung immer gleich], d.h. pro Zeitschritt steigt bzw. fällt der Bestand  immer [um denselben Prozentsatz].
- Änderungsrate konstant
- um denselben Wert
- prozentuale Änderung immer gleich
- um denselben Prozentsatz
A: Änderungsrate konstant / um denselben Wert / prozentuale Änderung immer gleich / um denselben Prozentsatz
Feedback: Erklärung: Beim linearen Wachstum steigen die Werte kontinuierlich pro Zeitschritt um denselben Wert. Wird dies durch eine Funktionsgleichung der Form f(x) = m · x + c beschrieben, so entspricht die Steigung m diesem Zuwachs pro Zeitschritt. Für m < 0 handelt es sich um eine Abnahme. Beim exponentiellen Wachstum steigen die Werte so an, dass pro Zeitschritt immer derselbe Anteil am aktuellen Bestand hinzukommt; eine Funktionsgleichung der Form f(x) = c · a^x beschreibt dieses Wachstum: kommen jeweils 15% hinzu, so hat man einen Zeitschritt später 100 % + 15 % = 115 % des vorherigen Wertes; der Wachstumsfaktor a beträgt dementsprechend \( \frac{115}{100} = 1,15 \). c gibt den Anfangswert zum x-Wert 0 an. Beispiel: Ein Anfangsbestand von 50 Individuen wächst so an, dass im ersten Zeitschritt 5 weitere Individuen dazukommen. - Bei linearem Wachstum geht man davor aus, dass nun in jedem weiteren Zeitschritt der Zuwachs ebenfalls 5 beträgt. Die entsprechende Funktionsgleichung lautet \( f(x) = 50 + 5 \cdot x \). - Bei exponentiellem Wachstum würde man dagegen davon ausgehen, dass in jedem weiteren Zeitschritt ebenfalls ein Zehntel des Bestandes dazu kommt. Dem Zuwachs um 10% auf 110% entspricht ein Wachstumsfaktor von 1,1. Die entsprechende Funktionsgleichung lautet \( f(x) = 50 \cdot 1,1^x\).

Q: Bestimme jeweils für die exponentielle Wachstumsfunktion f(x) = c · a^x die beiden Parameter c und a. [Image]

a) Ein Bestand verdreifacht sich jede Woche; anfangs beträgt er 70 kg. Die Funktion f soll den Bestand in kg zum Zeitpunkt x  angeben (x in Wochen).
Es ist c = [70] und a = [3].

b) Ein Bestand von anfangs 3000 Stück nimmt monatlich um 10 % ab. Die Funktion f soll den Bestand in Stück zum Zeitpunkt x  angeben (x in Monaten).
Es ist c = [3000] und a = [0,9].

c) Ein Bestand von zu Beginn 5000 Litern nimmt jährlich um ein Viertel zu. Die Funktion f soll den Bestand in Litern zum Zeitpunkt x  angeben (x in Jahren).
Es ist c = [5000] und a = [1,25].
- 70
- 3
- 3000
- 0,9
- 5000
- 1,25
A: 70 / 3 / 3000 / 0,9 / 5000 / 1,25
Feedback: Erklärung: Beim exponentiellen Wachstum steigen die Werte so an, dass pro Zeitschritt immer derselbe Anteil des aktuellen Bestandes hinzukommt; eine Funktionsgleichung der Form f(x) = c · a^x beschreibt dieses Wachstum. Dabei ist c der Anfangswert zum Zeitpunkt x = 0 und a der Wachstumsfaktor. Für a > 1 handelt es sich um eine Zunahme, für a < 1 liegt eine Abnahme vor. Beispiele: - Ein Anfangsbestand von 50 Individuen wächst exponentiell so an, dass im ersten Zeitschritt 5 weitere Individuen dazukommen. Man geht also davon aus, dass in jedem weiteren Zeitschritt ebenfalls ein Zehntel des Bestandes dazu kommt. Dem Zuwachs um 10% auf 110% entspricht ein Wachstumsfaktor von 1,1. Die entsprechende Funktionsgleichung lautet \( f(x) = 50 \cdot 1,1^x\). - Handelt es sich dagegen um eine Abnahme um jeweils 10%, so beträgt der Wachstumsfaktor 100 % - 10 % = 90 % = 0,9. Die entsprechende Funktionsgleichung würde dann \( f(x) = 50 \cdot 0,9^x\) lauten.

Q: Ein exponentielles Wachstum wird durch die Funktion f mit f(x) = c · a^x beschrieben. [Image]

a) Bei einer exponentiellen [Zunahme] nimmt der Bestand ständig zu. Je nachdem, wie groß [a] ist, geht dies schneller oder langsamer. Die Basis a ist in jedem Fall [größer als 1]. Die Zeitspanne, bis sich der Bestand [verdoppelt] hat, nennt man [Verdopplungszeit]. Man kann sie berechnen mit: x = Logarithmus von [2] zur Basis [a].

b) Bei einer exponentiellen [Abnahme] nimmt der Bestand ständig ab. Je nachdem, wie groß [a] ist, geht dies schneller oder langsamer. Die Basis a ist in jedem Fall [kleiner als 1]. Die Zeitspanne, bis sich der Bestand [halbiert] hat, nennt man [Halbwertszeit]. Man kann sie berechnen mit: x = Logarithmus von [0,5] zur Basis [a].
- Zunahme
- a
- größer als 1
- verdoppelt
- Verdopplungszeit
- 2
- a
- Abnahme
- a
- kleiner als 1
- halbiert
- Halbwertszeit
- 0,5
- a
- c
- x
- kleiner als 0
A: Zunahme / a / größer als 1 / verdoppelt / Verdopplungszeit / 2 / a / Abnahme / a / kleiner als 1 / halbiert / Halbwertszeit / 0,5 / a
Feedback: Erklärung: Bei einer exponentiellen Zunahme nimmt der Bestand ständig zu. Der Parameter a in der Funktionsgleichung f(x) = c · a^x ist größer als 1 (bspw. bei 8%-igem Zuwachs ist a = 1,08). Die Zeitspanne, bis sich der Bestand verdoppelt hat, nennt man Verdopplungszeit. Weil zu diesem Zeitpunkt a^x = 2 sein muss, berechnet man die Verdopplungszeit mit x = log_a 2. Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt der Bestand dagegen beständig ab. Der Parameter a in der Funktionsgleichung f(x) = c · a^x ist nun kleiner als 1 (bspw. bei 8%-igem Abnahme ist a = 0,92). Die Zeitspanne, bis sich der Bestand halbiert hat, nennt man Halbwertszeit. Weil zu diesem Zeitpunkt a^x = 0,5 sein muss, berechnet man die Halbwertszeit mit x = log_a 0,5. Beispiele: - Ein Anfangsbestand von 50 Individuen wächst exponentiell so an, dass in einem Monat 5 weitere Individuen dazukommen. Dem Zuwachs um 10% auf 110% entspricht ein Wachstumsfaktor von 1,1. Die entsprechende Funktionsgleichung für den Bestand zum Zeitpunkt x lautet \( f(x) = 50 \cdot 1,1^x\) (x in Monaten). Die Verdopplungszeit kann man mit x = log_1,1 2 ≈ 7,27 berechnen. Sie beträgt demnach gut 7 Monate oder ca. 7,27 · 30 ≈ 218 Tage. - Das Isotop Iod 131 zerfällt so, dass nach 6 Stunden 2,14 % der Masse zerfallen ist. \( f(x) = c \cdot 0,9786^x \) beschreibt daher den Zerfallsprozess bei einem Anfangsbestand c mit x in 6-Stunden-Schritten. Die Halbwertszeit berechnet man mit x = log_0,9786 0,5 ≈ 32,04. Sie beträgt demnach ca. 32,04 · 6 ≈ 192,25 Stunden bzw. 8 Tage.

Q: Eine Bakterienkultur wächst um 4 % pro Tag.
Nach 7 Tagen sind 420 mm² bedeckt. [Image]

a) Wie groß war die Fläche zu Beobachtungsbeginn? (Berechne und runde auf ganze mm².)
Die Fläche betrug zu Beginn ca. [319] mm².

b) Bestimme eine Exponentialfunktion, mit der man das Wachstum beschreiben kann. Berechne damit die weiteren gefragten Werte.
Das Wachstum kann mit einer Exponentialfunktion f(x) = c · a^x beschrieben werden (x in Tagen), mit c = [319] und a = [1,04].

c) Wie groß ist die Fläche nach 30 Tagen? (Runde auf ganze mm².)
Die Fläche beträgt nach 30 Tagen ca. [1035] mm².

d) Wie lange ist die Verdopplungszeit? (Runde auf ganze Tage.)
Die Verdopplungszeit beträgt ca. [18] Tage.

e) Wann wird eine Fläche von 2000 mm² bedeckt sein? (Runde auf ganze Tage.)
Nach ca. [47] Tagen wird eine Fläche von 2000 mm² bedeckt sein.
- 319
- 319
- 1,04
- 1035
- 18
- 47
A: 319 / 319 / 1,04 / 1035 / 18 / 47
Feedback: Erklärung: Bei einer exponentiellen Zunahme nimmt der Bestand ständig zu. Der Parameter a in der Funktionsgleichung f(x) = c · a^x ist größer als 1 (bspw. bei 8%-igem Zuwachs ist a = 1,08). Der Parameter c gibt den Anfangsbestand zum Zeitpunkt x = 0 an. Die Zeitspanne, bis sich der Bestand verdoppelt hat, nennt man Verdopplungszeit. Weil zu diesem Zeitpunkt c · a^x = 2c bzw. a^x = 2 sein muss, berechnet man die Verdopplungszeit mit x = log_a 2. Beispiel: - Ein Bestand von Individuen einer Population wächst exponentiell so an, dass drei Monate nach Beobachtungsbeginn 46305 Individuen gezählt werden. Man geht von einem monatlichen Wachstum von 5 % aus. Der Wachstumsfaktor a beträgt demnach 1,05. Wegen 46 305 = f(3) = c · 1,05^3 gilt: c = 46 305 : 1,05^3 = 40 000. Das Wachstum kann daher durch die Funktion \( f(x) = 40 000 \cdot 1,05^x\) beschrieben werden (x in Monaten). - Nach einem Jahr, also 12 Monaten, müsste die Population auf \( f(12) = 40 000 \cdot 1,05^{12} \approx 71 834 \) Individuen angewachsen sein. - Die Verdopplungszeit beträgt log_1,05 2 ≈ 14,2 Monate. - Um den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Population auf 100 000 Individuen angewachsen ist, muss man die Exponentialgleichung 100 000 = 40 000 · 1,05^x lösen. Aus 2,5 = 1,05^x folgt mit x = log_1,05 2,5 , dass dies nach knapp 19 Monaten der Fall sein wird. Lösung: a) Bei 4%-igem Wachstum beträgt der Wachstumsfaktor a = 1,04. Wegen 400 = f(7) = c · 1,04^7 gilt: c = 400 : 1,04^7 ≈ 319. b) Entsprechend lautet die Funktionsgleichung \( f(x) = 319 \cdot 1,04^x\). c) Größe nach 30 Tagen: \( f(30) = 319 \cdot 1,04^{30} \approx 1035 \). d) Verdopplungszeit in Tagen: x = log_1,04 2 ≈ 17,67. e) Man löst die Exponentialgleichung \( 2000 = 319 \cdot 1,04^x\). Es ist \(1,04^x = \frac{2000}{319} \) und somit \( x = log_{1,04} \frac{2000}{319} \approx 46,80 \)

Q: Bei der Kernspaltung von Uran entsteht als Spaltprodukt das radioaktive Isotop Caesium 137. Es hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. [Image]
Nach einem Reaktorunfall wird die 100-fache Strahlung des verträglichen Grenzwerts gemessen.
Berechne, wie lange es dauert, bis der Grenzwert wieder eigehalten wird. Runde auf ganze Jahre.

Der verträgliche Grenzwert würde wieder nach [199] Jahren eingehalten.
- 199
A: 199
Feedback: Erklärung: Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt der Bestand ständig ab. Der Parameter a in der Funktionsgleichung f(x) = c · a^x ist kleiner als 1 (bspw. bei 8%-iger Abnahme ist a = 0,92). Der Parameter c gibt den Anfangsbestand zum Zeitpunkt x = 0 an. Die Zeitspanne, bis sich der Bestand halbiert hat, nennt man Halbwertszeit. Weil zu diesem Zeitpunkt c · a^x = \( \frac{1}{2} \)c bzw. a^x = 0,5 sein muss, berechnet man die Halbwertszeit mit x = log_a 0,5. Beispiel: - Eine radiaktive Substanz zerfällt exponentiell so, dass die Masse in Gramm zum Zeitpunkt x beschrieben werden kann durch \( f(x) = 80 \cdot 0,96^x\) (x in Monaten). - Nach einem Jahr, also 12 Monaten, müssten von anfangs 80 g noch \( f(12) = 80 \cdot 0,96^{12} \approx\) 49 g übrig sein. - Die Halbwertszeit beträgt log_0,96 0,5 ≈ 17,0 Monate. - Um den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Restmasse weniger als 1 g beträgt, muss man die Exponentialgleichung 1 = 80 · 0,96^x lösen. Aus 0,0125 = 0,96^x folgt mit x = log_0,96 0,0125 , dass dies nach gut 107 Monaten, also knapp 9 Jahren, der Fall sein wird. Lösung: Da die Halbwertszeit 30 Jahre beträgt, ist a^30 = 0,5. Deshalb gilt \( a = \sqrt[30]{0,5} \approx 0,97716 \). Den Zeitpunkt, zu dem nur noch ein Hundertstel der Strahlung übrig ist, errechnet man mit \( \frac{1}{100} = 0,97716^x \). Es ist \( x = log_{0,97716} \frac{1}{100} \approx 199 \).

Q: Betrachtet werden die Graphen der beiden Funktionen f und g mit
\( f(x) = a^x \) und
\( g(x) = c \cdot a^x + d \). [Image]

Welchen Einfluss haben die Parameter c und d auf den Graphen von g?

Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graph von f hervorgeht.

- für |c| > 1 entsteht der Graph von g durch  [Strecken in y-Richtung].
- für |c| < 1 entsteht der Graph von g durch  [Stauchen in y-Richtung].
- für c < 0  entsteht der Graph von g durch  [Spiegelung an der x-Achse].
- für d < 0  entsteht der Graph von g durch  [Verschiebung in y-Richtung nach unten].
- für d > 0  entsteht der Graph von g durch  [Verschiebung in y-Richtung nach oben].

Dabei muss zuerst [in y-Richtung gestreckt/gestaucht], dann [an der x-Achse gespiegelt] und schließlich [in y-Richtung verschoben] werden.
- Strecken in y-Richtung
- Stauchen in y-Richtung
- Spiegelung an der x-Achse
- Verschiebung in y-Richtung nach unten
- Verschiebung in y-Richtung nach oben
- in y-Richtung gestreckt/gestaucht
- an der x-Achse gespiegelt
- in y-Richtung verschoben
- Verschiebung in x-Richtung nach rechts
- Verschiebung in x-Richtung nach links
- Strecken in x-Richtung
- Stauchen in x-Richtung
- Spiegelung an der y-Achse
- in x-Richtung gestreckt/gestaucht
- an der y-Achse gespiegelt
- in x-Richtung verschoben
A: Strecken in y-Richtung / Stauchen in y-Richtung / Spiegelung an der x-Achse / Verschiebung in y-Richtung nach unten / Verschiebung in y-Richtung nach oben / in y-Richtung gestreckt/gestaucht / an der x-Achse gespiegelt / in y-Richtung verschoben
Feedback: Erklärung: Der Graph einer Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = c · a^x + d geht aus dem der Exponentialfunktion g(x) = a^x durch Streckung/Stauchung, ggf. Spiegelung und Verschiebung hervor. Der Vorfaktor c bewirkt bei |c| < 1 eine Stauchung: jeder Funktionswert wird auf einen Bruchteil des Funktionswertes g(x) reduziert. Für |c| > 1 wird der Funktionswert vervielfacht; entsprechend wird der Graph gestreckt. Ist dabei c < 0, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt, denn der Funktionswert bekommt das entgegegesetzte Vorzeichen. Der Parameter d sorgt für eine Verschiebung in y-Richtung. Beispiele: - \( g(x) = -2 \cdot 1,4^x + 2,5 \) [Image]basiert auf dem Schaubild der Funktion f mit \( f(x) = 1,4^x\), das sich für kleine Werte x asymptotisch an die x-Achse annähert und monoton steigend durch die Punkte S (0|1) und P (1|1,4) verläuft (rot). Dieses Schaubild wird auf das Doppelte in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse nach unten gespiegelt (grün). Anschließend wird der Graph in y-Richtung um 2,5 nach oben verschoben (blau). - \( h(x) = \frac{2}{3} \cdot 0,8^x - 1 \) [Image]basiert auf dem Schaubild der Funktion k mit \( k(x) = 0,8^x\), das sich für große Werte x asymptotisch an die x-Achse annähert und monoton fallend durch die Punkte S (0|1) und P (1|0,8) verläuft (rot). Dieses Schaubild wird auf zwei Drittel in y-Richtung gestaucht (grün). Anschließend wird der Graph in y-Richtung um 1 nach unten verschoben (blau).

Q: [Image]

Welche Aussagen kann man über der Graphen von f mit \( f(x) = c \cdot a^x + d \) machen?

Überlege zuerst, welchen Einfluss die Parameter c und d auf den Graphen haben.
Gib dann an, wieveiel Nullstellen der Graph hat.

- für c < 0 und  d < 0 : Anzahl der Nullstellen [keine]
- für c < 0 und  d > 0 : Anzahl der Nullstellen [eine]
- für c > 0 und  d < 0 : Anzahl der Nullstellen [eine]
- für c > 0 und  d > 0 : Anzahl der Nullstellen [keine]
- keine
- eine
- eine
- keine
- zwei
- mehrere
A: keine / eine / eine / keine
Feedback: Erklärung: Der Graph einer Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = c · a^x + d geht aus dem der Exponentialfunktion g(x) = a^x durch Streckung/Stauchung, ggf. Spiegelung und Verschiebung hervor. Der Graph von g(x) = a^x hat keine Nullstelle, da für alle x gilt: a^x ≠ 0. Der Vorfaktor c bewirkt bei |c| < 1 eine Stauchung: jeder Funktionswert wird auf einen Bruchteil des Funktionswertes g(x) reduziert. Für |c| > 1 wird der Funktionswert vervielfacht; entsprechend wird der Graph gestreckt. Ist dabei c < 0, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt, denn der Funktionswert bekommt das entgegegesetzte Vorzeichen. Der Parameter d sorgt für eine Verschiebung in y-Richtung. Lösung: - für c < 0 und d < 0 wird das Schaubild von g(x) = a^x, das keine Nullstellen besitzt, nach unten gespiegelt und anschließend nach unten verschoben. Es ergeben sich keine Nullstellen. - für c < 0 und d > 0 wird das Schaubild von g(x) = a^x, das keine Nullstellen besitzt, nach unten gespiegelt und anschließend nach oben verschoben. Es muss dabei zwangsläufig eine Nullstelle entstehen. - für c > 0 und d < 0 wird das Schaubild von g(x) = a^x, das keine Nullstellen besitzt, nicht gespiegelt, bleibt also oberhalb der x-Achse. Da es anschließend nach unten verschoben wird, ergibt sich eine Nullstelle. - für c > 0 und d > 0 wird das Schaubild von g(x) = a^x, das keine Nullstellen besitzt, nicht gespiegelt, bleibt also oberhalb der x-Achse. Da es anschließend zudem nach oben verschoben wird, ergeben sich keine Nullstellen.

Q: Betrachtet wird der Graph der Funktion f mit
\( f(x) = a^x \). [Image]

Zum Globalverlauf kann man sagen:
Für a > 1 ist der Graph [monoton steigend].
Für a = 1 ist der Graph [konstant].
Für a < 1 (aber a > 0) ist der Graph [monoton fallend].
Für a < 0 ist der Graph [nicht vorhanden, da die Funktion nicht definiert ist].
- monoton steigend
- konstant
- monoton fallend
- nicht vorhanden, da die Funktion nicht definiert ist
A: monoton steigend / konstant / monoton fallend / nicht vorhanden, da die Funktion nicht definiert ist
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = a^x kann nur definiert werden, sofern a ≥ 0 ist, da man sonst - etwa bei x = \( \frac{1}{2} \) - die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste, was nicht definiert ist (\( a^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)). Auch für a = 1 ergibt sich keine sinnvolle Funktion: Sie hätte an allen Stellen x den Funktionswert 1, wäre also konstant die Funktion f(x) = 1. Für 0 < a < 1 und a > 1 ergeben sich jedoch zwei Klassen von Exponentialfunktionen: - Ist a > 1, so wächst die Potenz a^x mit zunehmendem x. Zum Beispiel ist 2^3 < 2^5 < 2^10... Die Funktion ist montoton steigend. - Dagegen werden für 0 < a < 1 die Potenzen mit zunehmendem x immer kleiner: \( ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} > (\frac{1}{2}) ^5 = \frac{1}{32} > (\frac{1}{2}) ^{10} = \frac{1}{1024} \). Die Funktion ist monoton fallend. - In beiden Fällen gibt es nur positive Funktionswerte! - Da unabhängig von der Wahl von a immer a^0 = 1 ist, verlaufen alle Graphen durch den Punkt S (0|1). - Da an der Stelle x = 1 der Funktionswert a^1 = a beträgt, verlaufen die Graphen durch P (0|a). Beispiele: [Image] - Der Graph von \( f(x) = 1,2^x \) ist monoton steigend. Er liegt oberhalb der x-Achse und verläuft durch die Punkte S (0|1) und P (1|1,2) (rot). - Der Graph von \( f(x) = 0,7^x \) ist monoton fallend. Er liegt oberhalb der x-Achse und verläuft durch die Punkte S (0|1) und P (1|0,7) (blau).

Q: Betrachtet wird der die Funktion f mit
\( f(x) = a^x \)   mit  a > 2,5. [Image]

Über den Graphen von f lässt sich sagen:

- Er verläuft durch den Punkt S (0|[1]).
- Er verläuft durch den Punkt P (1|[a]).
- Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow \) [oo].
- Für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow \) [0].
- 1
- a
- oo
- 0
- -oo
- 2
- x
A: 1 / a / oo / 0
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = a^x ist definiert für a ≥ 0. Man unterscheidet zwei Klassen von Exponentialfunktionen: - Ist a > 1, so wächst die Potenz a^x mit zunehmendem x. Zum Beispiel ist 2^3 < 2^5 < 2^10... Die Funktion ist montoton steigend. Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). Für \( x \rightarrow - \infty \) dagegen geht \( f(x) \rightarrow 0 \). - Dagegen werden für 0 < a < 1 die Potenzen mit zunehmendem x immer kleiner: \( ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} > (\frac{1}{2}) ^5 = \frac{1}{32} > (\frac{1}{2}) ^{10} = \frac{1}{1024} \). Die Funktion ist monoton fallend. Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow 0 \). Für \( x \rightarrow - \infty \) dagegen geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). - In beiden Fällen gibt es nur positive Funktionswerte! - Da unabhängig von der Wahl von a immer a^0 = 1 ist, verlaufen alle Graphen durch den Punkt S (0|1). - Da an der Stelle x = 1 der Funktionswert a^1 = a beträgt, verlaufen die Graphen durch P (0|a). Beispiele: [Image] - Der Graph von \( f(x) = 1,2^x \) ist monoton steigend. Er liegt oberhalb der x-Achse und verläuft durch die Punkte S (0|1) und P (1|1,2) (rot). Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). Für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow 0 \). - Der Graph von \( f(x) = 0,7^x \) ist monoton fallend. Er liegt oberhalb der x-Achse und verläuft durch die Punkte S (0|1) und P (1|0,7) (blau). Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow 0 \). Für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \).

Q: Es soll der Graph der Funktion f mit \( f(x) = 1,5^x \) skizziert werden. [Image]

Über den Graphen von f lässt sich sagen:

- Er verläuft durch den Punkt S (0|[1]).
- Er verläuft durch den Punkt P (1|[1,5]).
- Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow \) [oo].
- Für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow \) [0].
- f ist [monton steigend].
- 1
- 1,5
- oo
- 0
- monton steigend
- monoton fallend
- 2
- -oo
A: 1 / 1,5 / oo / 0 / monton steigend
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = a^x ist grundsätzlich definiert für a ≥ 0. Für a > 1 gilt: - Die Funktion ist montoton steigend. - Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). - Für \( x \rightarrow - \infty \) dagegen geht \( f(x) \rightarrow 0 \). - Es gibt nur positive Funktionswerte! - Der Graph verläuft durch den Punkt S (0|1). - Der Graph verläuft durch den Punkt P (0|a).

Q: Es soll der Graph der Funktion f mit \( f(x) = 1,5^x \) skizziert werden. [Image]

Fülle die Wertetabelle aus und skizziere anschließend anhand der Aussagen über den Graphen und der Wertetabelle den Graphen.
(Runde, wenn nötig, auf 2 Dezimalen.)

x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | -1 | -2
f(x) | [1] | [1,5] | [2,25] | [3,38] | [5,06] | [0,67] | [0,44]
- 1
- 1,5
- 2,25
- 3,38
- 5,06
- 0,67
- 0,44
A: 1 / 1,5 / 2,25 / 3,38 / 5,06 / 0,67 / 0,44
Feedback: Erklärung: Für eine Exponentialfunktion mit einer Funktionsgleichung der Form f(x) = a^x mit a > 1 gilt: - Der Graph ist montoton steigend. - Für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). - Für \( x \rightarrow - \infty \) dagegen geht \( f(x) \rightarrow 0 \). - Es gibt es nur positive Funktionswerte. - Der Graph verläuft durch den Punkt S (0|1). - Wegen a = 1,5 verläuft der Graph durch P (0|1,5). - Die weiteren Punkte entnimmt man den Zahlenpaaren aus der Wertetabelle. Lösung: [Image] Wertetabelle mit Funktionswerten von \( f(x) = 1,5^x \) auf 2 Dezimalen gerundet: x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | -1 | -2 f(x) | 1 | 1,5 | 2,25 | 3,38 | 5,06 | 0,44 | 0,67

Q: Als Exponentialfunktion bezeichnet man eine Funktion, in deren Funktionsterm... [Image]
- ... eine Variable im Exponent einer Potenz vorkommt.
- ... eine Variable als Basis einer Potenz vorkommt.
- ... eine Potenz vorkommt, bei der die Variable sowohl im Exponent als auch in der Basis steht.
- ... eine Variable vorkommt, die im Exponent mehrerer Potenzen steht.
- ... eine Variable vorkommt, die in der Basis mehrerer Potenzen steht.
A: ... eine Variable im Exponent einer Potenz vorkommt.
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in deren Funktionsterm die Variable im Exponent einer Potenz vorkommt. Im einfachsten Fall lautet die Funktionsgleichung f(x) = a^x. Dabei kann eine Funktion nur dann sinnvoll definiert werden, wenn a ≥ 0 ist; andernfalls müsste man - etwa bei x = \( \frac{1}{2} \) - die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, was nicht definiert ist (\( a^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)). Im weiteren Sinne werden auch Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form f(x) = c · a^x + d als Exponentialfunktionen bezeichnet. Beispiele: - Die Funktion f mit \( f(x) = 3^{x} \) ist eine Exponentialfunktion. - Die Funktion g mit \( g(x) = x^{3} \) ist dagegen eine Potenzfunktion. - Auch die Funktion h mit \( h(x) = 2 \cdot 3^{x} + 4 \) bezeichnet man als Exponentialfunktion.

Q: Bei welcher der folgenden Funktionen handelt es sich um eine Exponentialfunktion, bei welcher um eine Potenzfunktion? Wähle aus. [Image]

\( f_1(x) = 2 \cdot x^{7} \) | [Potenzfunktion]
\( f_2(x) = 2 \cdot 7^{x} \) | [Exponentialfunktion]
\( f_3(x) =  2 x + 7 x^{3} + 4\) | [weder noch]
\( f_4(x) =  \sqrt{2x + x^{3}} \) | [weder noch]
\( f_5(x) = 2 \cdot 3^{x} + 7 \) | [Exponentialfunktion]
\( f_6(x) = 2,3^{x} \) | [Exponentialfunktion]
\( f_7(x) = \sqrt{x^{3}} \) | [Potenzfunktion]
\( f_8(x) =  \frac{x^{3} + 7}{2x} \) | [weder noch]
- Potenzfunktion
- Exponentialfunktion
- weder noch
- weder noch
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion
- Potenzfunktion
- weder noch
A: Potenzfunktion / Exponentialfunktion / weder noch / weder noch / Exponentialfunktion / Exponentialfunktion / Potenzfunktion / weder noch
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in deren Funktionsterm die Variable im Exponent einer Potenz vorkommt. Im einfachsten Fall lautet die Funktionsgleichung f(x) = a^x. Dabei kann eine Funktion nur dann sinnvoll definiert werden, wenn a ≥ 0 ist; andernfalls müsste man - etwa bei x = \( \frac{1}{2} \) - die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, was nicht definiert ist (\( a^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)). Im weiteren Sinne werden auch Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form f(x) = c · a^x + d als Exponentialfunktionen bezeichnet. Beispiele: - Die Funktion f mit \( f(x) = 3^{x} \) ist eine Exponentialfunktion. - Die Funktion g mit \( g(x) = x^{3} \) ist dagegen eine Potenzfunktion. - Auch die Funktion h mit \( h(x) = 2 \cdot 3^{x} + 4 \) bezeichnet man als Exponentialfunktion.

Q: Bei einer Exponentialfunktion f mit \( f (x) = c \cdot a^x \), bezeichnet man [Image]

a als [Wachstumsfaktor] und
c als [Anfangswert].
- Wachstumsfaktor
- Anfangswert
- Steigung
- Nullstelle
A: Wachstumsfaktor / Anfangswert
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in deren Funktionsterm die Variable im Exponent einer Potenz vorkommt. Im einfachsten Fall lautet die Funktionsgleichung f(x) = a^x. Im weiteren Sinne werden auch Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form f(x) = c · a^x und f(x) = c · a^x + d als Exponentialfunktionen bezeichnet. Lösung: - a bezeichnet man als Wachstumsfaktor. a gibt an, auf wieviel Prozent der Funktionswert ansteigt bzw. fällt, wenn x um 1 erhöht wird. Für a > 1 handelt es sich um eine Zunahme, für a < 1 um eine Abnahme. - c bezeichnet man als Anfangswert, denn "am Anfang" - also für x = 0 - erhält man wegen a^0 = 1 als Funktionswert f(0) = c · a^0 = c.

Q: Für den Graph einer Exponentialfunktion f mit \( f (x) = c \cdot a^x \) gilt: [Image]

- f (0) = [c]

- Wenn a > 1 ist, nimmt f(x) für sehr große x-Werte [sehr große Werte] an,
wenn a < 1 ist, nimmt f(x) für sehr große x-Werte [Werte nahe 0] an.

- Wenn a > 1 ist, nimmt f(x) für sehr kleine x-Werte [Werte nahe 0] an,
wenn a < 1 ist, nimmt f(x) für sehr kleine x-Werte [sehr große Werte] an.

- Für a > 1 [steigt der Graph monoton],
für a < 1 [fällt der Graph monoton].

- Die Anzahl der Nullstellen beträgt [0].
- c
- sehr große Werte
- Werte nahe 0
- Werte nahe 0
- sehr große Werte
- steigt der Graph monoton
- fällt der Graph monoton
- 0
- 1
- a
- existiert kein Graph
- ist der Graph eine waagrechte Gerade
A: c / sehr große Werte / Werte nahe 0 / Werte nahe 0 / sehr große Werte / steigt der Graph monoton / fällt der Graph monoton / 0
Feedback: Erklärung: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in deren Funktionsterm die Variable im Exponent einer Potenz vorkommt. Im einfachsten Fall lautet die Funktionsgleichung f(x) = a^x. Im weiteren Sinne werden auch Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form f(x) = c · a^x und f(x) = c · a^x + d als Exponentialfunktionen bezeichnet. Lösung: - a bezeichnet man als Wachstumsfaktor. a gibt an, auf wieviel Prozent der Funktionswert ansteigt bzw. fällt, wenn x um 1 erhöht wird. - Für a > 1 handelt es sich um eine Zunahme, der Graph steigt monoton; für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow 0 \), für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \). - Für a < 1 handelt es sich um eine Abnahme, der Graph fällt monoton; für \( x \rightarrow - \infty \) geht \( f(x) \rightarrow + \infty \), für \( x \rightarrow + \infty \) geht \( f(x) \rightarrow 0 \). - c bezeichnet man als Anfangswert, denn "am Anfang" - also für x = 0 - erhält man wegen a^0 = 1 als Funktionswert f(0) = c · a^0 = c. - Da a^x≠ 0 für alle x ist, gibt es keine Nullstellen.

Q: Welcher der Terme gibt die Lösung der Gleichung 4^x = 5 an? [Image]
- x = \( log_4 5 \)
- x = \( log_5 4 \)
- x = \( \sqrt[5]{4} \)
- x = \( \sqrt[4]{5} \)
A: x = \( log_4 5 \)
Feedback: Erklärung: Um eine Exponentialgleichung zu lösen, benötigt man den Logarithmus. Beispiel: \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logarithmus gerade log_3 5. Der Logarithmus von 5 zur Basis 3 ist genau die Hochzahl x, die man benötigt, damit 3^x = 5 ist.

Q: In welchen Fällen benötigt man den Logarithmus? [Image]
- zur Bestimmung des Zeitpunktes, zu dem bei einem radioaktiven Zerfallsprozess eine vorgegebene Reststrahlung oder Masse noch vorhanden ist
- zur Bestimmung eines Zeitpunktes, zu dem bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird, ein vorgegebener Bestand erreicht wird
- zur Bestimmung der Halbwertszeit bei einem exponentiellen Zerfall
- zur Bestimmung des Bestandes zu einem vorgegebenen Zeitpunkt bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird
A: zur Bestimmung des Zeitpunktes, zu dem bei einem radioaktiven Zerfallsprozess eine vorgegebene Reststrahlung oder Masse noch vorhanden ist; zur Bestimmung eines Zeitpunktes, zu dem bei einem Wachstum, das durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird, ein vorgegebener Bestand erreicht wird; zur Bestimmung der Halbwertszeit bei einem exponentiellen Zerfall
Feedback: Erklärung: Man benötigt den Logarithmus immer dann, wenn eine Gleichung zu lösen ist, bei der die Variable (in der Regel: x) im Exponent einer Potenz steht (eine sogenannte "Exponentialgleichung"). Beispiele: - \( 3^x=5 \). Gesucht ist der Exponent x, so dass 3^x = 5 ist. Dies ist nach der Definition des Logartihmus gerade log_3 5. Mit dem Taschenrechner kann man somit die Lösung berechnen. - \( 1,5 \cdot 4^x + 5 = 20 \). Nach Äquivalenzumformungen (erst 5 subtrahieren, dann durch 1,5 teilen) erhält man als Exponentialgleichung \( 4^x=10 \). Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich als Lösung x = log_4 10. Der Taschenrechner gibt als Näherung x ≈ 1,66 an.

Q: Die Ausbreitung einer Bakterienkultur wird durch die Funktion f beschrieben:
f(t) = 3,5 · 1,08^t  (mit t in Tagen) beschreibt die Ausbreitung in cm² nach Beobachtungsbeginn.
Berechne und gib auf ganze Tage gerundet an. [Image]

a) Wann ist eine Fläche von 21 cm² bedeckt?
Nach ca. [23] Tagen ist eine 21 cm² große Fläche bedeckt.

b) Wie lange dauert es, bis sich die Größe der bedeckten Fläche verdreifacht hat?
Nach ca. [14] Tagen hat sich die Größe der Fläche verdreifacht.
- 23
- 14
A: 23 / 14
Feedback: 3,5 · 1,08^tErklärung: Das exponentielle Wachstum wird durch eine Funktionsgleichung beschrieben: der jeweilige Bestand zu einem Zeitpunkt t wird als f(t) angegeben.. Um einen Zeitpunkt zu bestimmen, muss man die entsprechende Exponentialgleichung lösen; dazu benötigt man den Logarithmus. Beispiele: - Ein Bestand wächst exponentiell. Die Zunahme beträgt pro Woche 12 %, der Wachstumsfaktor also 1,12 ("Zunahme um 12 % bedeutet Zunahme auf 112 %"...) Die Funktion f (t) = c · 1,12^t mit t in Wochen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t bei einem Anfangsbestand c. Der Bestand hat sich verdreifach, wenn 1,12^t = 3 ist (dann ist c · 1,12^t = 3 ·c). Lösung: t = log_1,12 3 ≈ 9,694. In Tagen sind dies 9,694 · 7 ≈ 68. - Ein anderer Bestand nimmt exponentiell ab. Die Abnahme beträgt pro Tag 8 %, der Wachstumsfaktor also 0,92 ("Abnahme um 8 % bedeutet Abnahme auf 92 %"...). Der Anfangsbestand betrage 500. Die Funktion f (t) = 500 · 0,92^t mit t in Tagen beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt t. Der Bestand beträgt nur noch 200, wenn 500 · 0,92^t = 200 ist, d.h. 0,92^t = 0,4. Lösung: t = log_0,92 0,4 ≈ 10,989. Nach ca. 11 Tagen ist der Bestand auf 200 gesunken. Lösung: a) 21 = 3,5 · 1,08^t | : 3,5 6 = 1,08^t t = log_1,08 6 ≈ 23,3. b) 3 = 1,08^t t = log_1,08 3 ≈ 14,3