Abbrechende und periodische Dezimalzahlen

Mathematik

Abbrechende und periodische Dezimalzahlen

Wähle mindestens 10 Brüche aus und wandle sie in eine Dezimalzahl um (Reihenfolge egal).

Wähle selbst den Weg: Erweitern auf eine Zehnerpotenz im Nenner oder Division des Zählers durch den Nenner.

Schreibe deine Nebenrechnungen auf.

• $\frac{2}{3}=$
• $\frac{1}{5}=$
• $\frac{3}{5}=$
• $\frac{1}{6}=$
• $\frac{5}{7}=$
• $\frac{1}{8}=$
• $\frac{5}{8}=$
• $\frac{6}{8}=$
• $\frac{1}{9}=$
• $\frac{8}{9}=$
• $\frac{11}{9}=$
• $\frac{1}{11}=$
• $\frac{9}{11}=$
• $\frac{12}{11}=$
• $\frac{1}{12}=$
• $\frac{2}{12}=$
• $\frac{6}{12}=$
• $\frac{8}{18}=$
• $\frac{3}{50}=$
• $\frac{1}{60}=$

Wenn du 10 Aufgaben bearbeitet hast, beantworte mindestens eine der folgenden Fragen schriftlich.

Tipp: Gib jeweils Beispiele von oben an, rechne dazu gezielt auch weitere Aufgaben von oben oder mache eigene Beispiele!

1. Woran erkennst du (auch ohne Rechnung), ob ein Bruch sich in eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl umwandeln lässt? Erkläre!

2. Suche möglichst viele Zusammenhänge zwischen den Beispielen oben oder auch eigenen Beispielen. Erkläre und begründe die Zusammenhänge, die du gefunden hast.

3. Begründe, dass sich jeder Bruch entweder als abbrechende oder periodische Dezimalzahl schreiben lässt.

   Für absolute Experten: Findest du Dezimalzahlen, die weder abbrechend noch periodisch sind? Kannst du sie als Bruch schreiben? Erkläre.

Lösungen

• $\frac{2}{3}=\mathrm{0,}\bar{6}$
• $\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$
• $\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$
• $\frac{1}{6}=\mathrm{0,1}\bar{6}$
• $\frac{5}{7}=\mathrm{0,}\overline{714285}$
• $\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$
• $\frac{5}{8}=\mathrm{0,625}$
• $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$
• $\frac{1}{9}=\mathrm{0,}\bar{1}$
• $\frac{8}{9}=\mathrm{0,}\bar{8}$
• $\frac{11}{9}=\mathrm{1,}\bar{2}$
• $\frac{1}{11}=\mathrm{0,}\overline{09}$
• $\frac{9}{11}=\mathrm{0,}\overline{81}$
• $\frac{12}{11}=\mathrm{1,}\overline{09}$
• $\frac{1}{12}=\mathrm{0,08}\bar{3}$
• $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}=\mathrm{0,1}\bar{6}$
• $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$
• $\frac{8}{15}=\mathrm{0,5}\bar{3}$
• $\frac{3}{50}=\mathrm{0,06}$
• $\frac{1}{60}=\mathrm{0,01}\bar{6}$

• Jeder Bruch lässt sich als abbrechende oder periodische Dezimalzahl schreiben, weil bei der Division Zähler durch Nenner entweder der Rest 0 oder ein sich wiederholender Rest entsteht. Es gibt nur endlich viele mögliche Reste, da der Rest immer kleiner ist als der Divisor.
• Wenn der Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs ein Teiler von 10; 100; 1000 ... (Zehnerpotenzen) ist, lässt sich der Bruch in eine abbrechende Dezimalzahl umwandeln.
• Wenn der Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs den Teiler 3, 5, 7 ... hat, lässt sich der Bruch als periodische Dezimalzahl angeben.
• Wenn der Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs einen Primfaktor enthält, der nicht 2 oder 5 lautet, dann kann man den Bruch nur als periodische Dezimalzahl schreiben.
• Beim Erweitern und Kürzen entsteht ein gleichwertiger Bruch (gleiche Bruchzahl) und damit auch die gleiche Dezimalzahl. Deshalb muss man bei der Betrachtung des Nenners zuerst vollständig kürzen. Beispiel: $\frac{6}{12}$

Begabte Schülerinnen und Schüler können sogar Beispiele für nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahlen finden (z.B. 0,10100100010000 ...). Der Beweis, dass sich diese nicht als Brüche schreiben lassen, ist in Klasse 6 nur für sehr wenige (hochbegabte) Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar.

• Bei Neuntel: $\frac{1}{9}=\mathrm{0,}\bar{1}$ ; $\frac{2}{9}=\mathrm{0,}\bar{2}$ usw.
• Bei Elftel: $\frac{1}{11}=\mathrm{0,}\overline{09}$ ; $\frac{2}{11}=\mathrm{0,}\overline{18}$ usw.
• Bei Siebteln: $\frac{1}{7}=\mathrm{0,}\overline{142857}$ ; $\frac{5}{7}=\mathrm{0,}\overline{714285}$ usw. (Periode enthält dieselben Ziffern)
• Unechte Brüche: $\frac{2}{9}=\mathrm{0,}\bar{2}$ und $\frac{11}{9}=\mathrm{1+}\frac{2}{9}=\mathrm{1,}\bar{2}$
• Nenner mit 10 multiplizieren: $\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$ und $\frac{3}{50}=\mathrm{0,06}$ oder $\frac{1}{6}=\mathrm{0,1}\bar{6}$ und $\frac{1}{60}=\mathrm{0,01}\bar{6}$

Didaktischer Kommentar

• Klasse: 6
• Bezug zum Bildungsplan: ZVO (Zahl – Variable – Operation)
• Art der Aufgabe: Selbstdifferenzierende Aufgabe
• Zeitrahmen: mit Besprechung ca. 45 min

Hinweise zum Einsatz im Unterricht:

Im Vorfeld sollte mit der ganzen Klasse das Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen durch Erweitern und durch Division eingeführt werden. Die Aufgabe kann dann in der Übungsphase für alle selbstdifferenzierend eingesetzt werden. Zur Kontrolle kann man z.B. an der Tafel Karten mit den Brüchen aufhängen und die Schülerinnen und Schüler selbst die Dezimalzahl darunter schreiben lassen, so dass sie einander kontrollieren und auch verbessern können. Sie können auch eigene Brüche auf leeren Karten ergänzen. Im Anschluss sollten die Erkenntnisse gesammelt und diskutiert werden. Begabte Schülerinnen und Schüler können die Entdeckungen auch begründen und selbst Beispiele generieren.