Baumdiagramme – Zahlenkombinatorik

Aus allen vierstelligen natürlichen Zahlen mit vier verschiedenen Ziffern wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse.

A: Die ausgewählte Zahl ist größer als 6000.

B: Die ausgewählte Zahl ist größer als 6000 und ungerade.

Lösung

Für die Tausender-Ziffer kommen die Ziffern 1 bis 9 in Frage.

Für die Hunderter-Ziffer kommen die Ziffern 0 bis 9 in Frage außer der Tausender-Ziffer.

Für die Zehner-Ziffer kommen die Ziffern 0 bis 9 in Frage außer der Tausender-Ziffer und der Hunderter-Ziffer.

Für die Einer-Ziffer kommen noch die 7 verbleibenden Ziffern in Frage.

Somit gibt es 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 vierstellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern.

Ereignis A:

Ist die Zahl größer als 6000, so gibt es für die Tausender-Ziffer nur die vier Möglichkeiten 6, 7, 8 und 9.

Für die Hunderter-Ziffer gibt es jeweils 9 Möglichkeiten (alle außer der Tausender-Ziffer).

Für die Zehner-Ziffer gibt es jeweils 8 Möglichkeiten (alle außer der Tausender- und Hunderter- Ziffer).

Für die letzte Ziffer gibt es jeweils 7 Möglichkeiten.

Insgesamt somit 4 · 9 · 8 · 7 = 2016 Zahlen mit der gesuchten Eigenschaft.

$P\left(A\right)=\frac{2016}{4536}=\frac{4}{9}$

Ereignis B:

Für die ungeraden Zahlen muss die Einer-Ziffer entweder 1, 3, 5, 7 oder 9 sein.

Für die Tausender-Ziffern 7 und 9 ergeben sich 4 Möglichkeiten für die Einerziffer und dann jeweils 8 Möglichkeiten für die Zehnerziffer und 7 Möglichkeiten für die Hunderter-Ziffer.

Für die Tausender-Ziffern 6 und 8 ergeben sich jeweils 5 Möglichkeiten für die Einerziffer und dann jeweils 8 Möglichkeiten für die Zehnerziffer und 7 für die Hunderterziffer.

Insgesamt gibt es somit 2 · (4 · 8 · 7) + 2 · (5 · 8 · 7) = 1008 Zahlen mit der gesuchten Eigenschaft.

$P\left(B\right)=\frac{1008}{4536}=\frac{2}{9}$

Didaktischer Kommentar

• Klasse: 8
• Bezug zum Bildungsplan: ZVO, Daten
• Art der Aufgabe: herausfordernd

Hinweise zum Einsatz im Unterricht

Die Aufgabe eignet sich zum parallelen Einsatz zu Schulbuchaufgaben.