Ge­schwin­dig­keits­fil­ter für be­weg­te La­dun­gen

Strah­len­the­ra­pie: Pro­blem bei un­ter­schied­li­chen Pro­to­nen­ge­schwin­dig­kei­ten

Wie in Ab­bil­dung 4 am Bei­spiel der En­er­gie­ab­ga­be von Pro­to­nen an Was­ser zu er­ken­nen ist, führt eine Ge­schwin­dig­keits­er­hö­hung der Pro­to­nen zu einer deut­lich grö­ße­ren Ein­dring­tie­fe. Bei einer um nur etwa 7% ver­grö­ßer­ten Ge­schwin­dig­keit drin­gen die Pro­to­nen gleich etwa 5 cm tie­fer ins Ge­we­be ein. Haben Pro­to­nen auch nur sehr klei­ne Ge­schwin­dig­keits­un­ter­schie­de, kann der Pro­to­nen­strahl in Gewe­be­be­rei­che ein­drin­gen, die nicht mehr zum Tumor ge­hö­ren und damit wird bis­her ge­sun­des Ge­we­be ver­letzt.

Eine mög­lichst ge­naue Ein­dring­tie­fe er­for­dert eine genau de­fi­nier­te Ge­schwin­dig­keit der Pro­to­nen.

Damit er­gibt sich das phy­si­ka­li­sche Pro­blem, dass die Ge­schwin­dig­kei­ten der ge­la­de­nen Teil­chen genau ge­fil­tert wer­den müs­sen.

1. Be­we­gung von ge­la­de­nen Teil­chen im elek­tri­schen Quer­feld

In­ner­halb eines Kon­den­sa­tor wird ein ho­mo­ge­nes elek­tri­sches Feld er­zeugt. Ein ein­fach po­si­tiv ge­la­de­nes Teil­chen fliegt mit einer An­fangs­ge­schwin­dig­keit von v₀→ in x-Rich­tung zwi­schen die ge­la­de­nen Plat­ten eines Kon­den­sa­tors.

Die Ionen wer­den nach den Er­läu­te­run­gen in Ka­pi­tel Ab­len­kung von Ionen so ab­ge­lenkt, dass sie wie in Ab­bil­dung 30 ge­zeigt eine pa­ra­bel­för­mi­ge Bahn flie­gen.

2. Be­we­gung von ge­la­de­nen Teil­chen im ho­mo­ge­nen Ma­gnet­feld

Die Ionen las­sen sich aber auch ab­len­ken, wenn kein elek­tri­sches Feld - und damit keine "elek­tri­sche" Kraft - zwi­schen den Plat­ten vor­han­den ist. Das ist dann der Fall, wenn die Plat­ten un­ge­la­den sind.

Sie las­sen sich durch Lor­ent­z­kräf­te in einem Ma­gnet­feld ab­len­ken, wenn die ma­gne­ti­sche Fluss­dich­te $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ eine Kom­po­nen­te or­tho­go­nal zur Be­we­gungs­rich­tung be­sitzt. In der fol­gen­den Ab­bil­dung ist das Ma­gnet­feld $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ so ge­rich­tet, dass es in die Zei­chen­ebe­ne hin­ein zeigt. Damit er­gibt sich die blau ge­zeich­ne­te Flug­bahn der pos­tiv ge­la­de­nen Ionen.

Das fol­gen­de Video zeigt die Än­de­rung der Bahn von Elek­tro­nen (blau) im ho­mo­ge­nen Maget­feld einer Helm­holtz­spu­le bei stei­gen­der Strom­stär­ke durch die Spule.

3. Kräf­te­kom­pen­sa­ti­on im Kon­den­sa­tor­raum

Flie­gen die ge­la­de­nen Teil­chen von links in den Kon­den­sa­tor­raum, dann zei­gen die Kraft ${\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{\mathrm{el}}$ durch das elek­tri­sche Feld und die Lor­ent­z­kraft ${\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{\mathrm{L}}$ in ent­ge­gen­ge­setz­te Rich­tun­gen. Die "elek­tri­sche" Kraft hängt nur von der elek­tri­schen Feld­stär­ke $\stackrel{\rightharpoonup }{E}$ und der Io­nen­la­dung q ab:

Der Be­trag der Lor­ent­z­kraft auf ein ge­la­de­nes Teil­chen lässt sich nach der Glei­chung 5 im Ka­pi­tel zur Lor­ent­z­kraft be­schrei­ben:

wobei α den Win­kel zwi­schen der Ge­schwin­dig­keit $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ und der ma­gne­ti­schen Fluss­dich­te $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ an­gibt. Nur wenn diese bei­den Vek­to­ren - wie im Fall Io­nen­be­we­gung durch den Kon­den­sa­tor - or­tho­go­nal zu­ein­an­der ste­hen, wird die Lor­ent­z­kraft ma­xi­mal.

Die Lor­ent­z­kraft hängt dem­nach von der Io­nen­la­dung, der ma­gne­ti­schen Fluss­dich­te und der Teil­chen­ge­schwin­dig­keit ab. Der Ein­fach­heit hal­ber wird im Fol­gen­den vor­aus­ge­setzt, dass die Vek­to­ren der Fluss­dich­te und der Ge­schwin­dig­keit or­tho­go­nal auf­ein­an­der lie­gen.

Bei ge­eig­ne­ter Wahl der elek­tri­schen Feld­stär­ke und der ma­gne­ti­schen Fluss­dich­te kom­pen­sie­ren sich ge­ra­de beide Kräf­te, so dass gilt:

Dem­nach sind die Be­trä­ge bei­der Kräf­te gleich groß:

und dar­aus er­gibt sich dann:

oder für die Ge­schwin­dig­keit:

Wenn man die elek­tri­sche Feld­stär­ke noch durch die am Kon­den­sa­tor mit dem Plat­ten­ab­stand d an­lie­gen­de Span­nung U aus­drückt:

und diese Glei­chung in (1) ein­setzt er­gibt sich:

Nur wenn die Ionen genau diese Ge­schwin­dig­keit haben, er­fah­ren sie keine re­sul­tie­ren­de Kraft bei der Be­we­gung durch den Kon­den­sa­tor­raum. Nur bei die­ser Ge­schwin­dig­keit wer­den die Ionen nicht ab­ge­lenkt und kön­nen den Kon­den­sa­tor gemäß Ab­bil­dung 33 ge­rad­li­nig pas­sie­ren.

Durch die bei­den Blen­den L₁ und L₂ in Ab­bil­dung 33 wird ver­hin­dert, dass Ionen mit an­de­ren Ge­schwin­dig­kei­ten den Kon­den­sa­tor­raum ver­las­sen kön­nen. Des­halb nennt man diese An­ord­nung auch Ge­schwin­dig­keits­fil­ter oder "Wien­fil­ter".

Diese Zu­sam­men­hän­ge wer­den auf der Seite der Phy­sik­di­dak­tik der LMU Mün­chen zum Wien­fil­ter noch ein­mal sehr an­schau­lich ge­macht.

4. In­ter­ak­ti­ve Si­mu­la­ti­on zur Be­we­gung von Ionen im Wien­fil­ter

Diese Zu­sam­men­hän­ge kann man gut ver­ste­hen, wenn man die in­ter­ak­ti­ve Si­mu­la­ti­on zum Wien­fil­ter von der Leifi-Seite ver­wen­det.

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• zur Lor­ent­z­kraft
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Nütz­li­che Sei­ten:

• Die Ein­dring­tie­fe ist steu­er­bar: Ein­dring­tie­fe von Ionen
• Zum Ka­pi­tel zur Lor­ent­z­kraft
• Die Be­we­gung von Elek­tro­nen im ho­mo­ge­nen Ma­gnet­feld: Fa­den­strahl­rohr
• Eine Si­mu­la­ti­on zum Wien­fil­ter fin­den Sie auf der fol­gen­den Seite: WIEN-Fil­ter
• Alle phy­si­ka­li­schen Zu­sam­men­hän­ge zum Wien­fil­ter fin­den Sie noch ein­mal auf der Seite: Ge­schwin­dig­keits­fil­ter nach WIEN
• Über­ra­schen­de Strahl­ver­läu­fe durch schrä­gen Ein­tritt

 

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