Grundlagen

Die Thematik der Normalverteilung bildet chronologisch betrachtet den Abschluss des Teilgebiets Stochastik in der Schulmathematik. Die Schülerinnen und Schüler sammeln bereits in den Klassenstufen 5/6 erste Erfahrungen auf diesem Gebiet, in dem sie die Kenngrößen Mittelwert, Minimum und Maximum bestimmen, Daten sammeln, auswerten und grafisch darstellen, sowie relative Häufigkeiten ermitteln.

In den Klassenstufen 7/8 lernen sie mit Median und den Quartilen weitere Kenngrößen kennen und ergänzen ihr Spektrum an Darstellungsmöglichkeiten durch Boxplots. Sie erfahren die Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen und legen so die Grundlagen für einen empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Die Schülerinnen und Schüler führen Zufallsexperimente durch und bestimmen Wahrscheinlichkeiten durch einfache kombinatorische oder theoretische Überlegungen und mithilfe von Baumdiagrammen. So wird die theoretische Bedeutung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs angelegt und Laplace-Experimente sind das erste explizit genannte Beispiel für eine diskrete Verteilung.

In den Klassenstufen 9/10 wird die Liste der Kenngrößen um den Erwartungswert und die Standardabweichung vervollständigt und mit der Binomialverteilung lernen die Schülerinnen und Schüler eine weitere diskrete Verteilung kennen.

Durch die bei der Normalverteilung deutlich erkennbare Relevanz der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung schließt sich der Kreis zu den aus der Unter- und Mittelstufe bekannten Kenngrößen und der Darstellung von Daten in Form eines Boxplots. Um diesen Zusammenhang noch deutlicher hervorzuheben, bietet sich als mögliche Vertiefung das Arbeiten mit Sigma-Umgebungen an. Mit der Normalverteilung lernen die Schülerinnen und Schüler nun eine stetige Verteilung kennen, die in den Umsetzungsbeispielen zum Bildungsplan von 2004 stets als das bedeutsame Beispiel genannt wurde.

Im Bildungsplan von 2016 steht für das Basisfach der Anwendungsaspekt im Vordergrund, während im Leistungsfach ein Schwerpunkt auf der innermathematischen Betrachtung der Dichtefunktion liegt.

So steht im Bildungsplan des Basisfachs:

Zwar könnte gemäß den Vorgaben der KMK (Beschluss vom 18.10.2012 zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife) auf eine Fortführung der Stochastik im Basisfach verzichtet werden, da alle verbindlichen Inhalte für das grundlegende Niveau bereits durch die Standards bis Klasse 10 abgedeckt sind, jedoch sollte die Stochastik auch im Basisfach präsent sein. Auch die Alltagsrelevanz annähernd normalverteilter Zufallsgrößen spricht für die Aufnahme dieses Themas als verbindlichen Inhalt.

Für das Basisfach genügt es, den Unterschied zwischen diskreten und steigen Zufallsgrößen an konkreten Beispielen binomial- bzw. normalverteilter Zufallsgrößen zu beschreiben. Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Kenngrößen, um Glockenkurven zu skizzieren und Wahrscheinlichkeiten ohne expliziten Bezug zur Analysis direkt mithilfe digitaler Hilfsmittel zu berechnen. Der Begriff der Dichtefunktion muss im Basisfach nicht eingeführt werden.

Der Bildungsplan des Leistungsfaches lautet bezogen auf stetige Verteilungen folgendermaßen:

Von Schülerinnen und Schülern des Leistungsfaches wird erwartet, dass sie in der Lage sind, den Unterschied zwischen diskret und stetig verteilten Zufallsgrößen allgemein zu erläutern. Auch hier werden sicher schwerpunktmäßig binomialverteilte bzw. normalverteilte Zufallsgrößen betrachtet, aber auch andere Verteilungen (z.B. die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung) können zur Vertiefung und Festigung der beiden Begriffe „diskret“ und „stetig“ im Leistungsfach herangezogen werden.

Die Schülerinnen und Schüler nutzen ihre im Bereich der Analysis erworbenen Kenntnisse um Dichte- und Verteilungsfunktion gegeneinander abzugrenzen. Sie erfahren zusätzlich, dass die Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung als Integral dargestellt werden können.

Durch den Einsatz digitaler Hilfsmittel ist die Relevanz der Normalverteilung als Näherung für binomialverteilte Zufallsgrößen nur noch von historischer Bedeutung. Diese sollte zumindest den Schülerinnen und Schülern des Leistungsfachs aufgezeigt werden, ebenso wie die Möglichkeit, die Normalverteilung als Modellierung für bestimmte, diskret verteilte Zufallsgrößen anzuwenden. In diesem Zusammenhang erkennen sie auch die Bedeutung der Stetigkeitskorrektur.

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