Lorentzkraft auf bewegte Ladungen

Die Lorentzkraft

Geladene Teilchen erfahren unter Umständen auch in einem Magnetfeld eine Kraft. Ein Beispiel für die Wirkung dieser Kraft ist in Abbildung 40 zu sehen. Der dort sichtbare violette Kreis markiert die Spur, die Elektronen auf ihrer Bahn hinterlassen.

1. Kraft auf ein bewegtes, geladenes Teilchen im Magnetfeld

Ein stromdurchflossenes, gerades Leiterstück in einem Magnetfeld erfährt eine Kraft F_magn. Diese Tatsache wird zur Definition der magnetischen Flussdichte verwendet.

Zur magnetischen Flussdichte

Das lässt sich so deuten, dass auf jedes bewegte geladene Teilchen in diesem Leiterstück der Länge ΔL eine Kraft ausgeübt wird. Dargestellt ist dieser Sachverhalt anschaulich in der Animation zur Kraft auf Ladungsträger der LEIFI-Physik-Seite. Die Summe all dieser Kräfte bewirkt schließlich die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter.

Unter der Annahme, dass die Richtung des Stroms orthogonal zur Richtung des Magnetfelds ist (α = 90º), kann die Gleichung (1) im Kapitel Magnetische Flussdichte vereinfacht werden:

F_magn = B•ΔL•I (2)

Da die Stromstärke I geschrieben werden kann als

Eingesetzt in Gleichung (2) folgt:

Die in der Zeit Δt durch den Leiterquerschnitt durchgetretene Ladungsmenge ΔQ lässt sich durch die Zahl N der Ladungen q ausdrücken: ΔQ = N•q

Damit folgt für die Gleichung (3):

oder anders geschrieben

Die in der Zeit Δt von den Ladungsträgern zurückgelegte Strecke Δs sei gerade die Leiterlänge ΔL, die sich auch im Magnetfeld befindet. Damit ist der Quotient $\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{L}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}\mathrm{=}\mathrm{v}$ ,

die Geschwindigkeit der Ladungsträger.

Für jeden einzelnen der N Ladungsträger ergibt sich damit die LORENTZ-Kraft F_L:

und mit Gleichung (4) ergibt sich dann:

Das ist die Größe der Kraft, die jedes mit der Geschwindigkeit v bewegte Teilchen mit der Ladung q in einem Magnetfeld der Stärke B erfährt, wenn Bewegungsrichtung und Magnetfeld orthogonal zueinander liegen.

Die Kraft ${\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{\mathrm{L}}$ ist orthogonal zu $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ und zu $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$.

Zur Bestimmung der Kraftrichtung siehe auch Linke-Hand-Regel.

2. Kreisbewegung durch die Lorentzkraft

Die Wirkung der Lorentzkraft auf die Bahn von bewegten Ladungsträgern kann sehr gut mit Hilfe der Simulation zur Bewegung im magnetischen Querfeld untersucht werden. In diesem Fall ist das Magnetfeld homogen und die Bewegungsrichtung immer orthogonal zum Magnetfeld.

Die Magnetfeldlinien stehen hier orthogonal zur Bildschirmebene und zeigen aus der Ebene heraus. Dies wird durch das folgende Symbol ausgedrückt (Punkt in der Kreismitte):

Ist das Magnetfeld in die Ebene hinein gerichtet, wird es durch dieses Symbol gekennzeichnet (Kreuz in der Kreismitte):

Die für eine Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft F_z wird in diesem Fall durch die Lorentzkraft aufgebracht, so dass gilt

F_z = F_L (6).

F_z kann geschrieben werden als:

wobei m_q der Teilchenmasse, v die Teilchengeschwindigkeit und r der Radius der Kreisbahn ist.

Diese Gleichung zusammen mit der Gleichung (5) (vgl. oben) für die Lorentzkraft in die Gleichung (6) einsetzen ergibt:

Und damit ergibt sich für Radius r der Kreisbahn:

3. Simulationen der Bewegung von Ladungsträgern im Magnetfeld

Die Situation in einem stromdurchflossenen Leiterstück, das in einem Magnetfeld liegt, das senkrecht zur Bewegung der Ladungsträger gerichtet ist, wird auf der folgenden Leifi-Seite animiert.

Da die Lorentzkraft immer orthogonal zur Geschwindigkeit des Teilchens ist, ist die Bahn des Teilchens in einem homogenen Magnetfeld immer kreisförmig. Die Bewegung von geladenen Teilchen im homogenen Magnetfeld kann durch die Seite Bahnen von geladenen Teilchen im Magnetfeld interaktiv simuliert werden:

Im "Fadenstrahlrohr" werden Elektronen durch den Glühelektrischen Effekt erzeugt und mit Hilfe eines Kondensators anschließend beschleunigt. Die geradlinige Bewegung kann durch ein Magnetfeld zu einer vollständigen Kreisbahn werden, wenn die Stärke des Magnetfelds - die magnetische Flussdichte - hoch genug wird. Eine Simulation dazu finden Sie auf der LEIFI-Seite zum Fadenstrahlrohr.

Die hierbei verwendeten Helmholtz-Spulen erzeugen ein homogenes Magnetfeld in einen großen Raumbereich. Mehr zu Helmholtzspulen finden Sie auf der Seite Helmholtzspulenpaar der LMU München.

4. Die spezifische Ladung

• Zur Messung der "spezifischen Ladung" einer Teilchenart qmq $\frac{\mathrm{}}{}$ wird im Kapitel "Massen­spektroskopie und spezifische Ladung" näher darauf eingegangen.
• Zu den Aufgaben zur Lorentzkraft
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Nützliche Seiten:

• Zur Linke-Hand-Regel
• Die Bewegung von Elektronen im Faden­strahlrohr
• Mehr zu Helmholtzspulen finden Sie auf der Seite: Helmholtz­spulenpaar der LMU München.