Lor­ent­z­kraft auf be­weg­te La­dun­gen

Die Lor­ent­z­kraft

Ge­la­de­ne Teil­chen er­fah­ren unter Um­stän­den auch in einem Ma­gnet­feld eine Kraft. Ein Bei­spiel für die Wir­kung die­ser Kraft ist in Ab­bil­dung 40 zu sehen. Der dort sicht­ba­re vio­let­te Kreis mar­kiert die Spur, die Elek­tro­nen auf ihrer Bahn hin­ter­las­sen.

1. Kraft auf ein be­weg­tes, ge­la­de­nes Teil­chen im Ma­gnet­feld

Ein strom­durch­flos­se­nes, ge­ra­des Lei­ter­stück in einem Ma­gnet­feld er­fährt eine Kraft F_magn. Diese Tat­sa­che wird zur De­fi­ni­ti­on der ma­gne­ti­schen Fluss­dich­te ver­wen­det.

Zur ma­gne­ti­schen Fluss­dich­te

Das lässt sich so deu­ten, dass auf jedes be­weg­te ge­la­de­ne Teil­chen in die­sem Lei­ter­stück der Länge ΔL eine Kraft aus­ge­übt wird. Dar­ge­stellt ist die­ser Sach­ver­halt an­schau­lich in der Ani­ma­ti­on zur Kraft auf La­dungs­trä­ger der LEIFI-Phy­sik-Seite. Die Summe all die­ser Kräf­te be­wirkt schließ­lich die Kraft auf den strom­durch­flos­se­nen Lei­ter.

Unter der An­nah­me, dass die Rich­tung des Stroms or­tho­go­nal zur Rich­tung des Ma­gnet­felds ist (α = 90º), kann die Glei­chung (1) im Ka­pi­tel Ma­gne­ti­sche Fluss­dich­te ver­ein­facht wer­den:

F_magn = B•ΔL•I (2)

Da die Strom­stär­ke I ge­schrie­ben wer­den kann als

Ein­ge­setzt in Glei­chung (2) folgt:

Die in der Zeit Δt durch den Lei­ter­quer­schnitt durch­ge­tre­te­ne La­dungs­men­ge ΔQ lässt sich durch die Zahl N der La­dun­gen q aus­drü­cken: ΔQ = N•q

Damit folgt für die Glei­chung (3):

oder an­ders ge­schrie­ben

Die in der Zeit Δt von den La­dungs­trä­gern zu­rück­ge­leg­te Stre­cke Δs sei ge­ra­de die Lei­ter­län­ge ΔL, die sich auch im Ma­gnet­feld be­fin­det. Damit ist der Quo­ti­ent $\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{L}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}\mathrm{=}\mathrm{v}$ ,

die Ge­schwin­dig­keit der La­dungs­trä­ger.

Für jeden ein­zel­nen der N La­dungs­trä­ger er­gibt sich damit die LOR­ENTZ-Kraft F_L:

und mit Glei­chung (4) er­gibt sich dann:

Das ist die Größe der Kraft, die jedes mit der Ge­schwin­dig­keit v be­weg­te Teil­chen mit der La­dung q in einem Ma­gnet­feld der Stär­ke B er­fährt, wenn Be­we­gungs­rich­tung und Ma­gnet­feld or­tho­go­nal zu­ein­an­der lie­gen.

Die Kraft ${\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{\mathrm{L}}$ ist or­tho­go­nal zu $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ und zu $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$.

Zur Be­stim­mung der Kraft­rich­tung siehe auch Linke-Hand-Regel.

2. Kreis­be­we­gung durch die Lor­ent­z­kraft

Die Wir­kung der Lor­ent­z­kraft auf die Bahn von be­weg­ten La­dungs­trä­gern kann sehr gut mit Hilfe der Si­mu­la­ti­on zur Be­we­gung im ma­gne­ti­schen Quer­feld un­ter­sucht wer­den. In die­sem Fall ist das Ma­gnet­feld ho­mo­gen und die Be­we­gungs­rich­tung immer or­tho­go­nal zum Ma­gnet­feld.

Die Ma­gnet­feld­li­ni­en ste­hen hier or­tho­go­nal zur Bild­schir­me­be­ne und zei­gen aus der Ebene her­aus. Dies wird durch das fol­gen­de Sym­bol aus­ge­drückt (Punkt in der Kreis­mit­te):

Ist das Ma­gnet­feld in die Ebene hin­ein ge­rich­tet, wird es durch die­ses Sym­bol ge­kenn­zeich­net (Kreuz in der Kreis­mit­te):

Die für eine Kreis­bahn not­wen­di­ge Zen­tri­pe­tal­kraft F_z wird in die­sem Fall durch die Lor­ent­z­kraft auf­ge­bracht, so dass gilt

F_z = F_L (6).

F_z kann ge­schrie­ben wer­den als:

wobei m_q der Teil­chen­mas­se, v die Teil­chen­ge­schwin­dig­keit und r der Ra­di­us der Kreis­bahn ist.

Diese Glei­chung zu­sam­men mit der Glei­chung (5) (vgl. oben) für die Lor­ent­z­kraft in die Glei­chung (6) ein­set­zen er­gibt:

Und damit er­gibt sich für Ra­di­us r der Kreis­bahn:

3. Si­mu­la­tio­nen der Be­we­gung von La­dungs­trä­gern im Ma­gnet­feld

Die Si­tua­ti­on in einem strom­durch­flos­se­nen Lei­ter­stück, das in einem Ma­gnet­feld liegt, das senk­recht zur Be­we­gung der La­dungs­trä­ger ge­rich­tet ist, wird auf der fol­gen­den Leifi-Seite ani­miert.

Da die Lor­ent­z­kraft immer or­tho­go­nal zur Ge­schwin­dig­keit des Teil­chens ist, ist die Bahn des Teil­chens in einem ho­mo­ge­nen Ma­gnet­feld immer kreis­för­mig. Die Be­we­gung von ge­la­de­nen Teil­chen im ho­mo­ge­nen Ma­gnet­feld kann durch die Seite Bah­nen von ge­la­de­nen Teil­chen im Ma­gnet­feld in­ter­ak­tiv si­mu­liert wer­den:

Im "Fa­den­strahl­rohr" wer­den Elek­tro­nen durch den Glü­h­elek­tri­schen Ef­fekt er­zeugt und mit Hilfe eines Kon­den­sa­tors an­schlie­ßend be­schleu­nigt. Die ge­rad­li­ni­ge Be­we­gung kann durch ein Ma­gnet­feld zu einer voll­stän­di­gen Kreis­bahn wer­den, wenn die Stär­ke des Ma­gnet­felds - die ma­gne­ti­sche Fluss­dich­te - hoch genug wird. Eine Si­mu­la­ti­on dazu fin­den Sie auf der LEIFI-Seite zum Fa­den­strahl­rohr.

Die hier­bei ver­wen­de­ten Helm­holtz-Spu­len er­zeu­gen ein ho­mo­ge­nes Ma­gnet­feld in einen gro­ßen Raum­be­reich. Mehr zu Helm­holtz­spu­len fin­den Sie auf der Seite Helm­holtz­spu­len­paar der LMU Mün­chen.

4. Die spe­zi­fi­sche La­dung

• Zur Mes­sung der "spe­zi­fi­schen La­dung" einer Teil­chen­art qmq $\frac{\mathrm{}}{}$ wird im Ka­pi­tel "Massen­spektroskopie und spe­zi­fi­sche La­dung" näher dar­auf ein­ge­gan­gen.
• Zu den Auf­ga­ben zur Lor­ent­z­kraft
• Zu­rück zum Ge­schwin­dig­keits­fil­ter

Nütz­li­che Sei­ten:

• Zur Linke-Hand-Regel
• Die Be­we­gung von Elek­tro­nen im Faden­strahlrohr
• Mehr zu Helm­holtz­spu­len fin­den Sie auf der Seite: Helmholtz­spulenpaar der LMU Mün­chen.