Pla­n­ar­beit: Er­war­tungs­wert

Ar­beits­plan1: Mit­tel­wert eines Da­ten­sat­zes er­mit­teln und vor­her­sa­gen

Ar­beits­zeit: 2 Un­ter­richts­stun­den + häus­li­che Ar­beits­zeit

Vor­über­le­gun­gen

Fürs Schul­fest haben sie­ben 9. Klas­sen Glücks­rä­der er­stellt. Die Glücks­rä­der sind in vier gleich große Sek­to­ren auf­ge­teilt und mit den Zah­len 1 bis 4 be­schrif­tet.Bei einem Spiel wird das Glücks­rad zwei­mal ge­dreht und die Summe aus den bei­den Zah­len ge­bil­det.

Diese Summe er­gibt den Aus­zah­lungs­be­trag in € .

Die Ta­bel­le zeigt die Häu­fig­keit der aus­zu­zah­len­den Be­trä­ge bei einem Pro­be­durch­lauf in jeder Klas­se.

Auf­ga­be 1: Ar­bei­tet zu­nächst ar­beits­tei­lig – jede Grup­pe nimmt sich eine Klas­se vor.

a) Be­rech­net für die euch zu­ge­teil­te Klas­se den Ge­samt­be­trag, der aus­be­zahlt wer­den müss­te und be­stimmt den Mit­tel­wert des Aus­zah­lungs­be­trags je Spiel.

Auf­ga­be 2: Ar­bei­tet nun paar­wei­se zu­sam­men.

Das Zu­falls­ex­pe­ri­ment „Zwei­ma­li­ges Dre­hen des Glücks­ra­des“ wurde in der Jahr­gangs­stu­fe 9 also ins­ge­samt 200-mal durch­ge­führt. In der un­ten­ste­hen­den Ta­bel­le ist noch­mals zu­sam­men­ge­fasst wie oft (ab­so­lu­te Häu­fig­keit) die je­wei­li­gen Be­trä­ge vor­ge­kom­men sind.

b) Be­rech­net für die ge­sam­te Jahr­gangs­stu­fe 9 den Ge­samt­be­trag, der aus­be­zahlt wer­den müss­te und be­stimmt den Mit­tel­wert des Aus­zah­lungs­be­trags je Spiel.

Die re­la­ti­ve Häu­fig­keit gibt an, wie groß der An­teil der ab­so­lu­ten Häu­fig­keit an der Ge­samt­zahl ist.

Be­trag in €	2	3	4	5	6	7	8
Ab­so­lu­te Häu­fig­keit H	14	30	34	45	37	25	15
Re­la­ti­ve Häu­fig­keit h

c) Er­gänzt die re­la­ti­ven Häu­fig­kei­ten für die rest­li­chen Aus­zah­lungs­be­trä­ge.

d) Er­mit­telt nun mit­hil­fe der re­la­ti­ven Häu­fig­kei­ten der Mit­tel­wert des Aus­zah­lungs­be­trags je Spiel. Be­schreibt euer Vor­ge­hen.

Auf­ga­be 3: Ar­bei­tet al­lei­ne wei­ter.

Nun be­trach­ten wir das Zu­falls­ex­pe­ri­ment „Zwei­ma­li­ges Dre­hen des Glücks­ra­des“ theo­re­tisch.

Die Zu­falls­grö­ße X be­schreibt den Aus­zah­lungs­be­trag.

Da du die Wahr­schein­lich­kei­ten für die auf­tre­ten­den Sum­men be­stim­men kannst, kannst du auch eine Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung für die Zu­falls­grö­ße X an­ge­ben.

e) Er­gän­ze die Er­geb­nis­se, die zu einer Summe ge­hö­ren und er­mitt­le dar­aus die zu­ge­hö­ri­gen Wahr­schein­lich­kei­ten.

f) Be­grün­de, dass sich der Mit­tel­wert des Aus­zah­lungs­be­trags je Spiel auch di­rekt mit­hil­fe der Wahr­schein­lich­kei­ten be­rech­nen lässt. Stel­le einen pas­sen­den Term auf und be­rech­ne die­sen „theo­re­ti­schen Mit­tel­wert“.

Do­ku­men­ta­ti­on: Ar­bei­te al­lei­ne.

II) Mit­tel­wert eines Da­ten­sat­zes vor­her­sa­gen – der Er­war­tungs­wert

1. Über­tra­ge die Be­rech­nun­gen aus c) und f) in dein Heft.
2. Über­tra­ge den fol­gen­den Merk­satz:

Auch mit­hil­fe der re­la­ti­ven Häu­fig­kei­ten oder der Wahr­schein­lich­kei­ten lässt sich der Mit­tel­wert eines Da­ten­sat­zes be­rech­nen bzw. vor­her­sa­gen. Der mit­hil­fe der Wahr­schein­lich­kei­ten be­rech­ne­te „theo­re­ti­sche Mit­tel­wert“ wird als Er­war­tungs­wert E einer Zu­falls­grö­ße be­zeich­net.

3. Be­schrei­be das Vor­ge­hen zur Be­rech­nung des Er­war­tungs­wer­tes in ei­ge­nen Wor­ten.
4. Über­tra­ge nun das Bei­spiel von S. 143[1] in dein Heft.
5. Über­tra­ge ab­schlie­ßend die For­mel zur Be­rech­nung des Er­war­tungs­wer­tes in dein Heft.

Nach­be­rei­tung:

6. Er­läu­te­re den Be­griff „fai­res Spiel“ aus Sicht der Wahr­schein­lich­keit.

Übun­gen

S. 143/1a) d) und 4 [2]; S. 144/5 und 7; S. 145/10; S. 146/16

[1] Ver­wen­de­tes Schul­buch: Fun­da­men­te der Ma­the­ma­tik 9, Cor­nel­sen 2019 al­ter­na­tiv: Lam­ba­cher Schwei­zer 9, Klett 2018, S. 133 und S. 134 Bei­spiel 2.

[2] Even­tu­ell als Haus­auf­ga­be oder zur Dif­fe­ren­zie­rung: Ar­beits­tei­li­ge Er­stel­lung der Box­plots zu den Pro­be­durch­läu­fen.