Ta­ges­län­gen

Mo­del­lie­rungs­auf­ga­be Bei­spiel 1: Ta­ges­län­gen

Der Graph in Abb. 1 zeigt den Ver­lauf der Ta­ges­län­gen (d.h. der Zeit­dau­er zwi­schen Son­nen­auf- und Son­nen­un­ter­gang) einer süd­deut­schen Stadt für einen be­stimm­ten Monat.
Auf der x-Achse ist die An­zahl d der Tage ab Be­ginn des Mo­nats auf­ge­tra­gen, auf der y-Achse die je­weils zu­ge­hö­ri­ge Ta­ges­län­ge L (in Stun­den).

Die Punk­te für die ein­zel­nen Tage sind mit­ein­an­der ver­bun­den.

Abb. 1

1. Re­cher­chie­ren Sie die Be­deu­tung der Be­grif­fe Tag- und Nacht­glei­che und tref­fen Sie auf­grund die­ser In­for­ma­tio­nen eine Ent­schei­dung, wel­cher Monat durch das Schau­bild dar­ge­stellt wird. Der Ver­lauf von Ta­ges­län­gen wäh­rend eines gan­zen Jah­res kann an­nä­hernd durch eine tri­go­no­me­tri­sche Funk­ti­on f mit fol­gen­der Funk­ti­ons­glei­chung mo­del­liert wer­den: (t in Tagen ab dem 1. Ja­nu­ar)
2. Skiz­zie­ren Sie den Gra­phen der Funk­ti­on f. Be­schrei­ben Sie, durch wel­che geo­me­tri­schen Ab­bil­dun­gen (Spie­ge­lun­gen, Stre­ckun­gen, Ver­schie­bun­gen) der Graph der Funk­ti­on f aus dem Graph der Funk­ti­on g mit g(t) = cos (t) her­vor­geht. Er­läu­tern Sie im Sach­zu­sam­men­hang, wes­halb diese Ab­bil­dun­gen er­for­der­lich sind, um eine gute Mo­del­lie­rung für den Ver­lauf der Ta­ges­län­gen zu er­hal­ten.
3. Be­grün­den Sie, warum eine tri­go­no­me­tri­sche Funk­ti­on zur Mo­del­lie­rung von Ta­ges­län­gen im Jah­res­ver­lauf ge­eig­net ist. Neh­men Sie dabei Bezug auf cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten tri­go­no­me­tri­scher Funk­tio­nen, ins­be­son­de­re auf die Lage ihrer Ex­trem- und Wen­de­punk­te.
4. Dis­ku­tie­ren Sie die Frage, ob der Graph aus Abb. 1 eine Ge­ra­de sein kann.