Ana­ly­sis Bsp. 2

Klau­su­ren Im­puls 2 (Ana­ly­sis)

Ge­ge­ben ist eine Funk­tio­nen­schar f_a mit

sowie eine Schar von Ur­sprungs­ge­ra­den mit Stei­gung m > 0.

Die Ab­bil­dung zeigt eine der Ur­sprungs­ge­ra­den und einen der Gra­phen der Funk­tio­nen­schar f_a.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung

Zu jeder Pa­ra­bel exis­tiert eine Ur­sprungs­ge­ra­de, die diese im Schei­tel­punkt schnei­det. Un­ter­su­chen Sie, ob der In­halt des Flä­chen­stücks, wel­ches dann von Pa­ra­bel und Ur­sprungs­ge­ra­de ein­ge­schlos­sen wird, un­ab­hän­gig von den Pa­ra­me­tern a bzw. m ist.

Mög­li­che Lö­sung

Der Schei­tel­punkt hat die Ko­or­di­na­ten S (3/ –9a).
Die Ge­ra­de g: y = –3ax schnei­det die Pa­ra­bel in die­sem Punkt.

ist nicht un­ab­hän­gig von den ge­wähl­ten Pa­ra­me­tern.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung

Die Lage der Schnitt­punk­te der Gra­phen der Funk­tio­nen­schar von f_a mit der x-Achse ist un­ab­hän­gig vom Pa­ra­me­ter a . Sie wer­den mit O und N be­zeich­net. Der Schnitt­punkt eines der Gra­phen der Funk­tio­nen­schar f_a mit einer der Ur­sprungs­ge­ra­den wird mit S be­zeich­net. Be­trach­tet wird das Drei­eck ONS_.

a1) Be­grün­den Sie, wes­halb der Flä­chen­in­halt des Drei­ecks ONS für S(3|-9a) ma­xi­mal ist.

a2) Das Drei­eck ONS kann bei S für a ≤ recht­wink­lig sein.

Be­schrei­ben Sie ein Ver­fah­ren, mit dem man zeich­ne­risch die Ko­or­di­na­ten von S er­mit­teln kann. Be­grün­den Sie, dass für a < 0 kein Drei­eck ONS exis­tiert, das bei S recht­wink­lig ist.

Mög­li­che Lö­sung

a1) Aus folgt O(0/0) und N(6/0). Die Länge der Grund­sei­te des Drei­ecks be­trägt somit 6 LE. Die Höhe des Drei­ecks ent­spricht der y-Ko­or­di­na­te von S : Diese wird ma­xi­mal, falls S der Schei­tel­punkt des Gra­phen von f_a ist.

Wegen für x = 3 ist S(3/-9a) der Schei­tel­punkt des des Gra­phen von f_a und somit der Flä­chen­in­halt des Drei­ecks ONS ma­xi­mal.

a2) Man zeich­net einen Kreis um den Mit­tel­punkt M(3/0) mit Ra­di­us 3 LE. Die ge­mein­sa­men Punk­te des Krei­ses mit dem Gra­phen von f_a sind mög­li­che Punk­te für die Ecke S (Satz des Tha­les).

Für für a < 0 gilt y_S < 3 , somit hat der Kreis um den Mit­tel­punkt M(3/0) mit Ra­di­us 3 LE keine Schnitt­punk­te mit dem Gra­phen von f_a , da die­ser voll­stän­dig un­ter­halb der Kreis­li­nie ver­läuft.