Sto­chas­tik Bsp. 2

Klau­su­ren Im­puls 2 (Sto­chas­tik)

Ein Glücks­rad (siehe Abb.) hat drei Sek­to­ren.

Die Wahr­schein­lich­keit für „gelb“ ist bei die­sem Glücks­rad drei­mal so groß, wie die Wahr­schein­lich­keit für „rot“.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung 1

Sei p die Wahr­schein­lich­keit für „rot“ bei ein­ma­li­gem Dre­hen des Glücks­rads.

Das Glücks­rad wird zwei­mal ge­dreht.

Be­stim­men Sie den Wert von p so, dass die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass man

dabei zwei ver­schie­de­ne Far­ben er­hält, ma­xi­mal wird.

Mög­li­che Lö­sung

Es gilt:

; ;

Somit gilt für die Wahr­schein­lich­keit, dass man zwei ver­schie­de­ne Far­ben er­hält:

⇒

Ge­sucht ist das Ma­xi­mum von f, für 0 < p <

:

;

⇒

Wegen liegt bei ein Ma­xi­mum vor.

Da der Graph von f eine nach unten ge­öff­ne­te Pa­ra­bel 2.​Ord­nung ist, spie­len die

Rand­wer­te keine Rolle.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung 2

Das Glücks­rad wird drei­mal ge­dreht. Dabei ge­winnt man, wenn man drei unter-

schied­li­che Far­ben er­hält.

Un­ter­su­chen Sie, ob es eine Win­kel­wei­te für den roten Be­reich gibt, für die die

Ge­winn­wahr­schein­lich­keit ma­xi­mal wird.

Mög­li­che Lö­sung

Es gilt:

Es muss un­ter­sucht wer­den, ob f für 0 < p < ein Ma­xi­mum be­sitzt.

;

⇒ ;

Wegen liegt ein Ma­xi­mum vor.

Über­prü­fung der „Rän­der“:

Da es sich um ein of­fe­nes In­ter­vall han­delt muss man eine Grenz­wert­be­trach­tung ma­chen:

⇒

⇒

Somit liegt bei ein Ma­xi­mum vor.