Analysis

Klausuren K6 Ergänzung Analysis

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen f mit und g mit ; (x : ≥ 0)

Die beiden Koordinatenachsen, die beiden Graphen G_f und G_g und die Gerade mit der Gleichung begrenzen eine Fläche.

Wenn diese Fläche um die x- Achse rotiert entsteht ein Rotationskörper. Dieser Rotationskörper aus Glas dient als Trinkbecher. (x, f(x) und g(x) jeweils in cm)

Skizze der Graphen ohne Skalierung der Achsen.

1. Berechnen Sie das maximale Wasservolumen, das in den Trinkbecher passt.
2. Bestimmen Sie, wie hoch das Wasser im Becher steht, falls sich 250 cm³ im Becher befinden? (Geben Sie Ihr Ergebnis auf eine Dezimale gerundet in cm an!)
3. Bestimmen Sie die Wandstärke am oberen Rand des Bechers.
4. Das Volumen des Glaskörpers soll bestimmt werden. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man dieses Volumen rechnerisch bestimmen kann.

Mögliche Lösung

d) Für den Herstellungsprozess ist das Einhalten einer gewissen Wandstärke wichtig.

(I) Eine Schülerin bestimmt die minimale Wandstärke, indem sie die Differenzfunktion g f auf dem Intervall [ 2 ; 11 ] auf Minima untersucht.
Erläutern Sie, warum diese Vorgehensweise für die Problemstellung nicht geeignet ist.

(II) Beschreiben Sie ein mathematisches Verfahren, mit dem man die minimale Wandstärke des Bechers bestimmen kann.

Mögliche Lösung

d) Ergänzen Sie folgenden Ansatz zur Bestimmung des benötigten Glasvolumens und beschreiben Sie die Bestandteile der Gleichung im Sachzusammenhang.

Mögliche Lösung

d) Begründen Sie, warum der folgende Term das Glasvolumen des Bechers nicht angibt und korrigieren Sie den Term.

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Mögliche Lösung