Sto­chas­tik

Klau­su­ren K6 Er­gän­zung Sto­chas­tik

Auf­ga­be 3

Ein mul­ti­ple-choice-Test be­steht aus 20 Fra­gen mit je­weils 4 Ant­wort­mög­lich­kei­ten. Dabei ist je­weils genau eine Ant­wort rich­tig.

1. Be­rech­nen Sie die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass je­mand durch rei­nes Raten min­des­tens fünf Fra­gen rich­tig be­ant­wor­tet.
2. Der Leh­rer über­legt sich, ab wie vie­len rich­tig be­ant­wor­te­ten Fra­gen der Test als be­stan­den gilt. Er möch­te er­rei­chen, dass die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass je­mand den Test durch rei­nes Raten be­steht, höchs­tens 5% be­trägt. Be­stim­men Sie die kleins­te An­zahl von rich­ti­gen Ant­wor­ten, mit der der Test als be­stan­den gilt, damit seine Be­din­gung er­füllt ist.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung 1

c) Eva möch­te die Fra­gen des mul­ti­ple- choice- Tests durch rei­nes Raten be­ant­wor­ten. Dies möch­te Sie mit einem ge­eig­ne­ten Zu­falls­ex­pe­ri­ment si­mu­lie­ren. Be­schrei­ben Sie, wie sie unter Ver­wen­dung eines Be­häl­ters und ver­schie­den far­bi­gen Ku­geln die­ses Zu­falls­ex­pe­ri­ment durch­füh­ren könn­te.

Mög­li­che Lö­sung

Man legt eine grüne, eine rote, eine schwar­ze und eine weiße Kugel in eine Schüs­sel. Man zieht dann zu­fäl­lig eine Kugel aus der Schüs­sel. Zieht man die grüne Kugel, dann kreuzt sie bei Frage 1 die Ant­wort­mög­lich­keit 1 an. Ana­log geht man bei den an­de­ren Far­ben vor:

„rot“: Ant­wort­mög­lich­keit 2

„schwarz“: Ant­wort­mög­lich­keit 3

„weiß“: Ant­wort­mög­lich­keit 4

Da­nach legt man die Kugel zu­rück in die Schüs­sel und führt die­sen Vor­gang ins­ge­samt 20 Mal durch.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung 2

c) Bei einem an­de­ren mul­ti­ple- choice-Test, bei dem auch bei jeder Frage genau eine Ant­wort kor­rekt ist, gilt für das Er­eig­nis A:

Be­schrei­ben Sie wie die­ser Test auf­ge­baut ist und for­mu­lie­ren Sie ein ent­spre­chen­des Er­eig­nis A in Wor­ten.

Mög­li­che Lö­sung

Der Test be­steht aus 30 Fra­gen mit je­weils 8 Ant­wort­mög­lich­kei­ten.

A: „Ein Kan­di­dat be­ant­wor­tet durch Raten min­des­tens acht Auf­ga­ben rich­tig“.

Mög­li­che Auf­ga­ben­stel­lung 3

c) Im wei­te­ren Ver­lauf wird der Test so ab­ge­än­dert, dass die An­zahl der Fra­gen um einen Fak­tor k ver­viel­facht wird. Wei­ter­hin soll die Wahr­schein­lich­keit für ein Be­ste­hen des Tests durch rei­nes Raten bei höchs­tens 5% lie­gen. Es wird ver­mu­tet, dass man die kleins­te An­zahl an rich­ti­gen Ant­wor­ten, mit der der Test als be­stan­den gilt, eben­falls durch Ver­viel­fa­chen der An­zahl aus Auf­ga­ben­teil

b) mit dem Fak­tor k er­hält.

Be­grün­den Sie, dass diese Ver­mu­tung falsch ist.

Mög­li­che Lö­sung

In b) hat man aus­ge­rech­net, dass die kleins­te An­zahl an rich­ti­gen Ant­wor­ten unter den be­schrie­be­nen Vor­ga­ben 9 lau­ten muss. Wenn man die An­zahl an Fra­gen zum Bei­spiel auf 200 ver­zehn­facht, so er­hält man unter der Vor­ga­be, dass das Be­ste­hen des Tests durch rei­nes Raten bei höchs­tens

5% liegt, dass man min­des­tens 61 Fra­gen ver­lan­gen muss.

Ver­zehn­facht man hin­ge­gen, wie in der Be­haup­tung das Er­geb­nis aus b), so läge die Gren­ze bei min­des­tens 90 Fra­gen. Daher ist die Ver­mu­tung nicht all­ge­mein­gül­tig.