Teilbarkeit als Begründungsplattform

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Zahlbereiche und Zahlbereichserweiterung

3. Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, Primfaktoren bestimmen, dieTeilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 6, 9, 10 anwenden).
   

Prozessbezogene Kompetenzen: Argumentieren und Begründen

1. in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren;
2. eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen;

8. Beweise nachvollziehen und in logischen Schritten folgerichtig wiedergeben;
9. mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen;
10. Lösungswege beschreiben und begründen.

Inhaltliche Ergänzungen

• Ergänzungsteiler, gemeinsame Teiler
• Vielfache, gemeinsame Vielfache
• Summen- und Differenzregel
• etwas Transitivitätsregel („Fischregel“)
• weitere spezielle Regeln: 4, 8, 15, 25
• (echte) Teilersummen; abundante („reiche“), defiziente („arme“) und vollkommene („perfekte“) Zahlen.

Der Unterricht - Ziele

• „Die Liebe zur Mathematik beginnt (meist) mit der Liebe zu den Zahlen(eigenschaften)“
• auch deshalb: weitgehend innermathematisches Vorgehen
• viel „herkömmlicher“ Unterricht zur Erarbeitung
• punktuelle Entdeckungen (v.a.) im differenzierenden Unterricht.

Der Unterricht - Entdeckungen

• abcabc-Trick:
  • Eigene Zahl nacheinander durch 13, 11 und 7 teilen
• Würfelspiel (Schroedel „Lernideen und Materialien“, S.121):
  • Zweistellige Zahl notieren, falls Teiler gewürfelt wird, hat man verloren
• Siegerzahlen finden:
  • Welche zweistellige Zahl hat die meisten Teiler?
    

Der Unterricht – Abschluss und Krönung

• am Ende: selbständige Bearbeitung (und Abgabe) dreier Arbeitsblätter (allein oder zu zweit) mit Sternchenaufgaben
• für jedes Arbeitsblatt soll eine Mindeststernchenzahl erreicht werden
• das Gesamtergebnis wird „bewertet“ (aber nicht mit Note).

Die Aufgaben

• Kompetenzorientierte Unterteilung:
  • Bestimmen und Berechnen („herkömmliche“ Kompetenzen für Begründen und Argumentieren – also hier (!) – kaum relevant)
  • Probieren und Vermuten (Teilkompetenzen 1. und 2.)
  • Begründen und Argumentieren (Teilkompetenzen 8., 9. und 10.)
• Sternchenunterteilung
  • Spiegeln Schwierigkeitsgrad und/oder Bearbeitungstiefe wider
  • Dienen der Punktevergabe und der Differenzierung.

Klassenüberblick

• Bestimmen/Berechnen: Lösewahrscheinlichkeit 73%
• Probieren/Vermuten: Lösewahrscheinlichkeit 39% (hier wurden aber weniger Aufgaben bearbeitet)
• Argumentieren/Begründen: Lösewahrscheinlichkeit 34% (hier wurden die wenigsten Aufgaben bearbeitet: etwas Zeitdruck!).

Einzelergebnisse

• Bestimmen/Berechnen wurde von (fast) allen Schülern sehr zufriedenstellend bearbeitet
• Beim Probieren/Vermuten variieren die Einzelergebnisse stark
• Bei Argumentieren/Begründen geht die Schere weit auf, die Heterogenität wird mit zunehmender Begründungstiefe größer
• Die guten Schüler (und vereinzelt auch schwächere) haben sehr erfreuliche Begründungen gefunden.

Das Fazit

• Teilbarkeit als Begründungsplattform sehr empfehlenswert
• Durchführung zu früh (statt Mitte Klasse 5 besser Beginn Klasse 6)
• Aufgabenauswahl angemessen, z.T. unklar bzw. zu karg formuliert
• Sternchen und Vorgabe einer Mindeststernchenzahl motivierend
• Freies Arbeiten, Abgabe und „Bewertung“ sehr motivierend
• Benjamin: „Mathe hat noch nie so viel Spaß gemacht!“
  

Material: Teilbarkeit

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