Ergänzungen zur Teilbarkeit

Mögliche ergänzende Aufgaben

Vorbemerkungen:

• Vieles ist binnendifferenziert möglich.
• Einige Ideen findet man im „Zahlenteufel“ von Enzensberger, der als Begleitlektüre sinnvoll einsetzbar ist.

Produktives/Entdeckendes Üben:

• Wähle beliebige dreistellige Zahl, bilde neue Zahl durch Wiederholen (abcabc), dividiere nacheinander durch 13, 11 und 7
• Wähle eine Zahl mit aufsteigenden Ziffern und lass sie wieder absteigen 1234321 („Palindrom“), dividiere sie durch 1111 (Anzahl entsprechend der aufsteigenden Zahlen)
• Färbe im Pascal-Dreieck Kästchen mit Vielfache von vier (fünf,...). Was fällt auf?
• Suche im Pascal-Dreieck nach Dreieckszahlen, Quadratzahlen usw.
• Welche zweistelligen Zahlen
  • haben bis dato die meisten Teiler („Chefzahlen“)? (Werden erst von ihrem Doppelten abgelöst („besondere Chefzahlen“)?)
  • haben insgesamt die meisten Teiler („Siegerzahlen“)?
  • sind (bettel)arm, (stink)reich oder perfekt? Erstelle eine Übersicht (ein Diagramm)!
    Ergebnis ist (wie im wahren Leben): 22 reich (davon 8 stinkreich), 76 arm (davon 45 bettelarm und 2 perfekt)
  • haben 1,2,3,4,5,? Teiler? Erstelle eine Übersicht (ein Diagramm)!
    Ergebnis: 1 Teiler: 1 Zahl, 2T: 25Z (!), 3T: 4Z, 4T: 32Z (!), 5T: 2Z, 6T: 16Z, 7T: 1Z, 8T: 10Z, 9T: 2Z, 10T: 2Z, 11T: 0Z, 12T: 5Z
• Probiere die Teilerzahl aus der Primfaktorzerlegung zu bestimmen, beginne mit den Zweierpotenzen, multipliziere sie dann mit 3, dann noch einmal mit 2 usw.
• Welche dreistellige Zahl hat die meisten Teiler? Probiere mit der Primfaktorzerlegung eine Lösung (840 hat 32 Teiler).
• Warum haben die meisten Zahlen eine gerade Teilerzahl?
• Welche Zahlen haben drei Teiler? Haben alle Quadratzahlen drei (fünf, sieben) Teiler?
• Stelle eine Zahl mit 11 Teilern her!
• Jede Zahl (größer als 3) lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen (Goldbachsche Vermutung): Probiere aus!
• Jede Zahl (größer als 3) lässt sich als Summer höchstens dreier Dreieckszahlen darstellen: Probiere aus! Bei welchen Zahlen reichen zwei Dreieckszahlen?
• Erhält man mit n² + n + 17 (Eulerformel) immer eine Primazahl? Prüfe nach!
• Prüfe nach, ob die perfekten Zahlen 6 und 28 mit der Formel
  2 ^p-1 (2 ^p - 1) berechenbar sind. Berechne damit weitere perfekte Zahlen.
• Berechne die Teilersumme von 220 und 284. Was fällt auf?

Zusammenhänge entdecken:

• Bestimme die Teilersummen von Zweierpotenzen. Was fällt auf?
• Welche Primazahlen sind auch Hasenzahlen?
• Welche Dreieckszahlen sind auch Hasenzahlen?
• Welche Dreieckszahlen sind auch Quadratzahlen?
• Welche Zweierpotenzen sind auch Quadratzahlen?
• Sind alle Primzahlen bettelarm? Warum?
• Sind alle Quadratzahlen arm?
• Sind alle Chefzahlen stinkreich?
• Addiere benachbarte Dreieckszahlen. Was fällt auf?
• Subtrahiere benachbarte Quadratzahlen. Was fällt auf?
• Addiere die Quadrate benachbarter Hasenzahlen. Was fällt auf?
• ...

Zahlenübersicht

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