Hin­wei­se zu den Un­ter­richts­stun­den und Ma­te­ria­li­en

Stun­de 1 – 3: Wie­der­ho­lung der Bi­no­mi­al­ver­tei­lung:

Im ers­ten Teil einer Pla­n­ar­beit soll in den Vor­über­le­gun­gen die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung einer bi­no­mi­al­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ße (Sam­mel­fi­gu­ren in Über­ra­schungs­ei­ern) für eine re­la­tiv klei­ne Ket­ten­län­ge be­stimmt wer­den. Da­durch wird ge­währ­leis­tet, dass even­tu­ell auch ein Baum­dia­gramm zur Lö­sung des Pro­blems her­an­ge­zo­gen wer­den kann. Mit­hil­fe des ein­ge­führ­ten Schul­buchs oder auch des aus­ge­leg­ten In­fo­blat­tes fri­schen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ihre Kennt­nis­se auf über:

• Ber­noul­li-Ver­such, Ber­noul­li-Kette, Bi­no­mi­al­ver­tei­lung, die For­mel von Ber­noul­li

• Sin­gu­lä­re (Ein­zel-) und ku­mu­lier­te Wahr­schein­lich­kei­ten

• Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung bi­no­mi­al­ver­teil­ter Zu­falls­grö­ßen

An die Be­ar­bei­tung von Um­kehr­auf­ga­ben zur For­mel von Ber­noul­li (Be­stim­men von k; n oder p) ist im Ba­sis­fach stan­dard­mä­ßig nicht ge­dacht. Sol­che Auf­ga­ben kön­nen aber zur Dif­fe­ren­zie­rung ein­ge­setzt wer­den.

Im zwei­ten Teil steht das Be­trach­ten und In­ter­pre­tie­ren von His­to­gram­men sowie der Ein­fluss von Ket­ten­län­ge und Tref­fer­wahr­schein­lich­keit (und damit auch des Er­war­tungs­wer­tes) auf Lage und Form eines His­to­gramms im Vor­der­grund.

Je nach Be­darf schlie­ßen sich Übun­gen zu fol­gen­den The­men an (ein­ge­führ­tes Schul­buch):

• Über­prü­fung, ob eine Bi­no­mi­al­ver­tei­lung an­ge­nom­men wer­den kann

• In­ter­pre­ta­ti­on der For­mel von Ber­noul­li

• Be­rech­nung von P(X = k); P(X ≤ k); P(X ≥ k); P(k₁ ≤ X ≤ k₂)

• Be­rech­nung von Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung

• Er­stel­len und In­ter­pre­tie­ren von His­to­gram­men

Im drit­ten Teil soll der Über­gang zum Be­stim­men von Wahr­schein­lich­kei­ten mit­tels Flä­chen an­ge­bahnt wer­den. Hier­zu wer­den bei einer Bi­no­mi­al­ver­tei­lung die Tref­fer­zah­len zu In­ter­val­len zu­sam­men­ge­fasst und dar­ge­legt, dass nun die Flä­che der Säule aus­schlag­ge­bend ist für die Er­mitt­lung der Wahr­schein­lich­keit über einem In­ter­vall.

Stun­de 4 – 5: Ein­füh­rung und ers­tes An­wen­den der Nor­mal­ver­tei­lung:

In der ers­ten Phase be­ar­bei­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in Ein­zel-oder Part­ner­ar­beit den Auf­trag „It’s Tea­ti­me“ und er­fah­ren so den Über­gang von einer dis­kre­ten zu einer ste­ti­gen Ver­tei­lung. Sie ler­nen die Glo­cken­kur­ve ken­nen und be­stim­men in Auf­ga­be 3 der Er­ar­bei­tungs­pha­se erste Wahr­schein­lich­kei­ten für vor­ge­ge­be­ne (Zeit-) In­ter­val­le. Diese Auf­ga­be ist be­wusst offen ge­stellt, so dass dies ent­we­der an­hand der ge­ge­be­nen (dis­kre­ten) Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung oder an­hand der Flä­che unter der Glo­cken­kur­ve er­fol­gen kann. Dar­auf soll­te im an­schlie­ßen­den Un­ter­richts­ge­spräch ein­ge­gan­gen wer­den. Auf­ga­be 4 schließ­lich sen­si­bi­li­siert für die Pro­ble­ma­tik, dass bei stei­gen Zu­falls­grö­ßen keine sin­gu­lä­ren (Ein­zel-) Wahr­schein­lich­kei­ten be­stimmt wer­den kön­nen bzw. diese stets den Wert Null an­neh­men.

In der zwei­ten Phase wer­den zu­nächst die Er­geb­nis­se vor­ge­stellt, dis­ku­tiert und ge­bün­delt. Ab­schlie­ßend wer­den die zen­tra­len Be­grif­fe der Stun­de (Nor­mal­ver­tei­lung, Glo­cken­kur­ve, ste­tig und dis­kret ver­teil­te Zu­falls­grö­ßen) ein­ge­führt und die Er­geb­nis­se der Er­ar­bei­tungs­pha­se wer­den ge­mein­sam im Ple­num ge­si­chert, ins­be­son­de­re auch die Mög­lich­keit, Wahr­schein­lich­kei­ten als Flä­che unter der Glo­cken­kur­ve zu ver­an­schau­li­chen bzw. zu be­stim­men.

Das neu Er­ar­bei­te­te wird in der drit­ten Phase an­hand einer Auf­ga­be ein­ge­übt und ver­tieft. Den Ab­schluss die­ser Übungs­pha­se bil­det eine aus dem glei­chen Sach­kon­text stam­men­de Teil­auf­ga­be, wel­che die An­wen­dung der Bi­no­mi­al­ver­tei­lung er­for­dert.

Nach die­ser Ein­füh­rung folgt nun eine Übungs­pha­se zu fol­gen­den Auf­ga­ben­ty­pen:

• Ab­gren­zung bi­no­mi­al- / nor­mal­ver­teil­te Zu­falls­grö­ßen

• Skiz­zie­ren der Glo­cken­kur­ve eines an­nä­hernd nor­mal­ver­teil­ten Da­ten­sat­zes

• Nä­he­rungs­wei­ses Be­stim­men von Wahr­schein­lich­kei­ten durch Ab­schät­zen des Flä­chen­in­halts unter einer Glo­cken­kur­ve

• Ggf. ers­ter Ein­satz des WTR zur Be­rech­nung von Wahr­schein­lich­kei­ten bei nor­mal­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ßen

Stun­de 6: Ein­fluss der Kenn­grö­ßen auf die Form der Glo­cken­kur­ve

Haben die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in der vor­an­ge­gan­ge­nen Stun­de die Be­deu­tung der Glo­cken­kur­ve zum Er­mit­teln von Wahr­schein­lich­kei­ten bei nor­mal­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ßen er­fah­ren, so sol­len sie im nächs­ten Schritt in die Lage ver­setzt wer­den, die Glo­cken­kur­ve an­hand der Kenn­grö­ßen Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung zu skiz­zie­ren.

In der Er­ar­bei­tungs­pha­se er­gän­zen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in Ein­zel- oder Part­ner­ar­beit einen Lü­cken­text, in dem der Ein­fluss der Kenn­grö­ßen einer Nor­mal­ver­tei­lung auf die Form der Glo­cken­kur­ve zu­sam­men­ge­fasst wird. Sie ent­de­cken die Zu­sam­men­hän­ge an­hand von sechs Paa­ren, bei denen in der grund­le­gen­den Ver­si­on Glo­cken­kur­ven einer Reihe von Kenn­grö­ßen zu­ge­ord­net sind. Zur Dif­fe­ren­zie­rung kann auch noch eine Ver­si­on auf er­wei­ter­tem Ni­veau an­ge­bo­ten wer­den. Hier sind den Kenn­grö­ßen und Glo­cken­kur­ven noch zu­sätz­lich die Funk­ti­ons­glei­chun­gen zu­ge­ord­net. In bei­den Ver­sio­nen wer­den die Schü­le­rin­nen und Schü­ler auch auf­ge­for­dert, ins­be­son­de­re den Be­reich zu be­trach­ten, so kann ggf. auf die 1-Sigma-Regel ein­ge­gan­gen wer­den.

In der Übungs­pha­se be­ar­bei­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler Auf­ga­ben zum

• Ab­le­sen von Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung aus Glo­cken­kur­ven

• Be­schrei­ben von Aus­wir­kun­gen der Va­ria­ti­on je­weils eines Pa­ra­me­ters (μ bzw. σ) auf die Lage/Form der Glo­cken­kur­ve

• Skiz­zie­ren von Glo­cken­kur­ven bei ge­ge­be­nen Kenn­grö­ßen

Hin­weis: Der y-Wert des Hoch­punkts kann mit­hil­fe des WTR er­mit­telt wer­den
(CASIO: Nor­mal-Dich­te; TI: Nor­malpdf)

Je nach Be­darf und in­di­vi­du­el­ler Schwer­punkt­set­zung kann be­reits in die­ser Stun­de das Be­rech­nen von Wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe des WTR er­fol­gen.

s. hier­zu:

Hin­wei­se zum Ein­satz des Casio bzw.

Hin­wei­se zum Ein­satz des TI

Stun­de 7: Er­mit­teln der Kenn­grö­ßen aus Da­ten­sät­zen

Im letz­ten Schritt geht es nun darum, die Kenn­grö­ßen Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung selbst zu er­mit­teln. Um hier den WTR nicht voll­stän­dig als „Black­box“ zu ver­wen­den, kann dies ex­em­pla­risch an einem über­schau­ba­ren Da­ten­satz an­hand der De­fi­ni­ti­on er­fol­gen, in der Regel soll­te hier­für aber der WTR als Hilfs­mit­tel ein­ge­setzt wer­den.

s. hier­zu:

Hin­wei­se zum Ein­satz des Casio bzw.

Hin­wei­se zum Ein­satz des TI

Als Ar­beits­form eig­net sich die Pla­n­ar­beit, da so die in­di­vi­du­el­len Vor­er­fah­run­gen und Fer­tig­kei­ten der Schü­le­rin­nen und Schü­ler in Bezug auf Al­ge­bra und Um­gang mit dem WTR be­rück­sich­tigt wer­den kön­nen und ein Ar­bei­ten im ei­ge­nen Tempo mög­lich ist.

Stun­de 8 – 9: Un­ter­su­chung an­nä­hernd nor­mal­ver­teil­ter Zu­falls­grö­ßen

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ver­fü­gen nun über sämt­li­che Grund­la­gen, um an­wen­dungs­be­zo­ge­ne Pro­blem­stel­lun­gen im Kon­text nor­mal­ver­teil­ter Zu­falls­grö­ßen zu lösen. Spä­tes­tens zu Be­ginn die­ser ab­schlie­ßen­den Übungs­pha­se soll­te das Be­rech­nen von Wahr­schein­lich­kei­ten auch mit­hil­fe des WTR er­fol­gen.

s. hier­zu:

Hin­wei­se zum Ein­satz des Casio bzw.

Hin­wei­se zum Ein­satz des TI

Bei der Übungs­auf­ga­be „Schuh­grö­ßen“ bie­tet sich auch eine Er­he­bung im ei­ge­nen Kurs an, um so z.B. auf Streu­ung und Stich­pro­ben­um­fang ein­zu­ge­hen.

Es kann auch der Er­war­tungs­wert (Mit­tel­wert) und die Stan­dard­ab­wei­chung der ver­hält­nis­mä­ßig klei­nen Stich­pro­be „unser Kurs“ er­mit­telt wer­den und mit den ge­ge­be­nen Wer­ten ver­glei­chen wer­den.

Stun­de 10 – 11: Kom­ple­xe­re Übun­gen oder mög­li­che Ver­tie­fun­gen

Kom­ple­xe­re Übun­gen stel­len z.B. an­wen­dungs­be­zo­ge­ne Pro­blem­stel­lun­gen dar, für deren Lö­sung so­wohl die Bi­no­mi­al- als auch die Nor­mal­ver­tei­lung zur Mo­del­lie­rung her­an­ge­zo­gen wer­den.

Bei der Übungs­auf­ga­be „Kör­per­grö­ßen“ bie­tet sich wie­der eine Er­he­bung im ei­ge­nen Kurs an, al­ler­dings soll­te im Falle auf­fäl­lig gro­ßer oder auf­fäl­lig klei­ner Schü­ler oder Schü­le­rin­nen sen­si­bel vor­ge­gan­gen wer­den.

Als mög­li­che Ver­tie­fung eig­net sich die Her­lei­tung und An­wen­dung der Sigma-Re­geln.

Se­quenz­pla­nung: Her­un­ter­la­den [docx][56 KB]

Se­quenz­pla­nung: Her­un­ter­la­den [pdf][258 KB]

Wei­ter zu Pla­n­ar­beit: Wie­der­ho­lung Bi­no­mi­al­ver­tei­lung