Analysis und Stochastik

1. Aufgabe
   In einer Urne sind nur 10 blaue Kugeln und in einer weiteren Urne nur 20 rote Kugeln.
   Von außen ist nicht zu erkennen, welche Kugeln in den Urnen sind.
   Bruno darf zufällig eine der beiden Urnen wählen und daraus eine Kugel ziehen.
   Ist die Kugel rot, hat er gewonnen.
   Bevor er die Urne wählt, darf Bruno zusätzliche rote Kugeln in die erste Urne legen lassen. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln in die zweite Urne gelegt.
   Beraten Sie Bruno, wie er die besten Gewinnaussichten erreicht.
   
   Baumdiagramm
   
   
   
   
   
2. Aufgabe
   In einer Urne sind nur 10 rote Kugeln und in einer weiteren Urne nur 20 blaue Kugeln.
   Von außen ist nicht zu erkennen, welche Kugeln in den Urnen sind.
   Jürgen darf zufällig eine der beiden Urnen wählen und daraus eine Kugel ziehen.
   Ist die Kugel rot, hat er gewonnen.
   Bevor er die Urne wählt, darf Jürgen zusätzliche rote Kugeln in die zweite Urne legen lassen. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln in die erste Urne gelegt.
   Geben Sie auch Jürgen einen Rat.
   
   
   
   
   Jürgen sollte keine Kugeln dazulegen, dann ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit 0,5.

3. Aufgabe
   Beim Eintritt der USA in den 2. Weltkrieg mussten in kurzer Zeit Millionen von Rekruten ärztlich untersucht werden. Mit einem Bluttest wurden sie auf eine Krankheit K untersucht, die 1% der Bevölkerung hat.
   Es sind zwei Methoden möglich:
   • Einzelprüfung
     Jeder wird einzeln untersucht. Man braucht einen Test pro Person.
   • Gruppenprüfung
     Das Blut von n Personen wird vermischt und untersucht.
     Sind alle gesund, genügt dieser eine Test.
     Ist mindestens ein Kranker dabei, wird jeder der Gruppe einzeln untersucht.

   Vergleichen Sie die beiden Methoden.
   Wie kann man die Zahl der Tests möglichst klein halten?
   Wie sieht es bei anderen Wahrscheinlichkeiten der Krankheit aus?