Ana­ly­sis und Sto­chas­tik

1. Auf­ga­be
   In einer Urne sind nur 10 blaue Ku­geln und in einer wei­te­ren Urne nur 20 rote Ku­geln.
   Von außen ist nicht zu er­ken­nen, wel­che Ku­geln in den Urnen sind.
   Bruno darf zu­fäl­lig eine der bei­den Urnen wäh­len und dar­aus eine Kugel zie­hen.
   Ist die Kugel rot, hat er ge­won­nen.
   Bevor er die Urne wählt, darf Bruno zu­sätz­li­che rote Ku­geln in die erste Urne legen las­sen. Al­ler­dings wer­den dann ge­nau­so viele blaue Ku­geln in die zwei­te Urne ge­legt.
   Be­ra­ten Sie Bruno, wie er die bes­ten Ge­winn­aus­sich­ten er­reicht.
   
   Baum­dia­gramm
   
   
   
   
   
2. Auf­ga­be
   In einer Urne sind nur 10 rote Ku­geln und in einer wei­te­ren Urne nur 20 blaue Ku­geln.
   Von außen ist nicht zu er­ken­nen, wel­che Ku­geln in den Urnen sind.
   Jür­gen darf zu­fäl­lig eine der bei­den Urnen wäh­len und dar­aus eine Kugel zie­hen.
   Ist die Kugel rot, hat er ge­won­nen.
   Bevor er die Urne wählt, darf Jür­gen zu­sätz­li­che rote Ku­geln in die zwei­te Urne legen las­sen. Al­ler­dings wer­den dann ge­nau­so viele blaue Ku­geln in die erste Urne ge­legt.
   Geben Sie auch Jür­gen einen Rat.
   
   
   
   
   Jür­gen soll­te keine Ku­geln da­zu­le­gen, dann ist seine Ge­winn­wahr­schein­lich­keit 0,5.

3. Auf­ga­be
   Beim Ein­tritt der USA in den 2. Welt­krieg muss­ten in kur­zer Zeit Mil­lio­nen von Re­kru­ten ärzt­lich un­ter­sucht wer­den. Mit einem Blut­test wur­den sie auf eine Krank­heit K un­ter­sucht, die 1% der Be­völ­ke­rung hat.
   Es sind zwei Me­tho­den mög­lich:
   • Ein­zel­prü­fung
     Jeder wird ein­zeln un­ter­sucht. Man braucht einen Test pro Per­son.
   • Grup­pen­prü­fung
     Das Blut von n Per­so­nen wird ver­mischt und un­ter­sucht.
     Sind alle ge­sund, ge­nügt die­ser eine Test.
     Ist min­des­tens ein Kran­ker dabei, wird jeder der Grup­pe ein­zeln un­ter­sucht.

   Ver­glei­chen Sie die bei­den Me­tho­den.
   Wie kann man die Zahl der Tests mög­lichst klein hal­ten?
   Wie sieht es bei an­de­ren Wahr­schein­lich­kei­ten der Krank­heit aus?