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Teilbarkeit als Begründungsplattform



Inhaltsbezogene Kompetenzen

Zahlbereiche und Zahlbereichserweiterung

  1. Eigenschaften natürlicher Zahlen untersuchen (einfache Primzahlen erkennen, Primfaktoren bestimmen, dieTeilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 6, 9, 10 anwenden).

Prozessbezogene Kompetenzen: Argumentieren und Begründen

  1. in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren;
  2. eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen;
  1. Beweise nachvollziehen und in logischen Schritten folgerichtig wiedergeben;
  2. mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen;
  3. Lösungswege beschreiben und begründen.

Inhaltliche Ergänzungen

  • Ergänzungsteiler, gemeinsame Teiler
  • Vielfache, gemeinsame Vielfache
  • Summen- und Differenzregel
  • etwas Transitivitätsregel („Fischregel“)
  • weitere spezielle Regeln: 4, 8, 15, 25
  • (echte) Teilersummen; abundante („reiche“), defiziente („arme“) und vollkommene („perfekte“) Zahlen.

Der Unterricht - Ziele

  • „Die Liebe zur Mathematik beginnt (meist) mit der Liebe zu den Zahlen(eigenschaften)“
  • auch deshalb: weitgehend innermathematisches Vorgehen
  • viel „herkömmlicher“ Unterricht zur Erarbeitung
  • punktuelle Entdeckungen (v.a.) im differenzierenden Unterricht.

Der Unterricht - Entdeckungen

  • abcabc-Trick:
    • Eigene Zahl nacheinander durch 13, 11 und 7 teilen
  • Würfelspiel (Schroedel „Lernideen und Materialien“, S.121):
    • Zweistellige Zahl notieren, falls Teiler gewürfelt wird, hat man verloren
  • Siegerzahlen finden:
    • Welche zweistellige Zahl hat die meisten Teiler?

Der Unterricht – Abschluss und Krönung

  • am Ende: selbständige Bearbeitung (und Abgabe) dreier Arbeitsblätter (allein oder zu zweit) mit Sternchenaufgaben
  • für jedes Arbeitsblatt soll eine Mindeststernchenzahl erreicht werden
  • das Gesamtergebnis wird „bewertet“ (aber nicht mit Note).

Die Aufgaben

  • Kompetenzorientierte Unterteilung:
    • Bestimmen und Berechnen („herkömmliche“ Kompetenzen für Begründen und Argumentieren – also hier (!) – kaum relevant)
    • Probieren und Vermuten (Teilkompetenzen 1. und 2.)
    • Begründen und Argumentieren (Teilkompetenzen 8., 9. und 10.)
  • Sternchenunterteilung
    • Spiegeln Schwierigkeitsgrad und/oder Bearbeitungstiefe wider
    • Dienen der Punktevergabe und der Differenzierung.

Klassenüberblick

  • Bestimmen/Berechnen: Lösewahrscheinlichkeit 73%
  • Probieren/Vermuten: Lösewahrscheinlichkeit 39% (hier wurden aber weniger Aufgaben bearbeitet)
  • Argumentieren/Begründen: Lösewahrscheinlichkeit 34% (hier wurden die wenigsten Aufgaben bearbeitet: etwas Zeitdruck!).

Einzelergebnisse

  • Bestimmen/Berechnen wurde von (fast) allen Schülern sehr zufriedenstellend bearbeitet
  • Beim Probieren/Vermuten variieren die Einzelergebnisse stark
  • Bei Argumentieren/Begründen geht die Schere weit auf, die Heterogenität wird mit zunehmender Begründungstiefe größer
  • Die guten Schüler (und vereinzelt auch schwächere) haben sehr erfreuliche Begründungen gefunden.

Das Fazit

  • Teilbarkeit als Begründungsplattform sehr empfehlenswert
  • Durchführung zu früh (statt Mitte Klasse 5 besser Beginn Klasse 6)
  • Aufgabenauswahl angemessen, z.T. unklar bzw. zu karg formuliert
  • Sternchen und Vorgabe einer Mindeststernchenzahl motivierend
  • Freies Arbeiten, Abgabe und „Bewertung“ sehr motivierend
  • Benjamin: „Mathe hat noch nie so viel Spaß gemacht!“


Material: Teilbarkeit

Teilbarkeit als Begründungsplattform: Herunterladen [pdf] [2 MB]