GeoGebra: Bestimmen der Kreiszahl

Bestimmung der Kreiszahl π – GeoGebra ¹

Hinweis für die Lehrkraft

Archimedes errechnete 260 v. Chr. für die Kreiszahl die Abschätzung

Hierzu fügte er ein regelmäßiges 96-Eck in einen Kreis mit Radius r = 1 ein und berechnete dessen Flächeninhalt.

Die Schülerinnen und Schüler vollziehen dies mithilfe von GeoGebra und dem Programm Kreisberechnung_Exhaustion_3.ggb (siehe Bild unten) nach.

GeoGebra, eine dynamische Geometriesoftware, kann für nicht kommerzielle Zwecke kostenlos genutzt werden und ist über www.geogebra.org/cms/de/ erhältlich.

Vorgehensweise

An den PCs wird GeoGebra gestartet und das Programm
Kreisberechnung_Exhaustion_3.ggb geladen.

Die Funktionen der Software werden mit den Schülerinnen und Schülern besprochen. ²

Kreiszahl

Bestimmung der Kreiszahl π – GeoGebra

Lade das Programm Kreisberechnung_Exhaustion_3.ggb. Stelle die Schieberegler auf r = 1 und = 120°. In dem abgebildeten Kreis ist ein gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben, das aus drei kongruenten Teildreiecken besteht. Die Grundseite eines Teildreiecks ist g und die Höhe h. Mit Hilfe dieser Angaben kann der Flächeninhalt und der Umfang des gesamten Dreiecks berechnet werden. Siehe hierzu die Zeile für n = 3 in der ersten Tabelle.

Stelle den Radius auf r = 1 ein und verändere den Winkel α. Bei den in der Tabelle genannten Winkelwerten können kongruente Teildreiecke so in den Kreis gezeichnet werden, dass ein regelmäßiges n-Eck entsteht. Notiere in der Tabelle die Werte von g und h auf fünf Nachkommastellen genau.

Berechne dann den Flächeninhalt und den Umfang der n-Ecke.

r = 1 LE	n	Winkel	h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang n·g in LE
	n	Winkel	h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck	Umfang n·g in LE
	3	120°	0,50000	1,73205	0,43301	1,29904	5,19615
	6	60°
		30°
		15°
		7,5°
		3,75°
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:

Stelle den Radius mit dem Schieberegler auf r = 2.

r = 2 LE	n	Winkel	h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang in LE n·g
	n	Winkel	h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck	Umfang in LE n·g
	3	120°
	6	60°
		30°
		15°
		7,5°
		3,75°
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:

Stelle den Radius mit dem Schieberegler auf r = 3.

r = 3 LE	n	Winkel	h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang in LE n·g
	n	Winkel	h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck	Umfang in LE n·g
	3	120°
	6	60°
		30°
		15°
		7,5°
		3,75°
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:

Fasse Deine Ergebnisse für große Werte von n, also für n = 1000, zusammen.

Kreiszahl5

Es gibt eine irrationale Zahl, die einen eigenen Namen hat. Es ist die Zahl π (Pi) mit dem Wert π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 …

Stelle eine Vermutung für die Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Kreises auf:

A =

u =

Bestimmung der Kreiszahl π – GeoGebra – Lösung

r = 1 LE

n		h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang n·g in LE
n		h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck
3	120°	0,50000	1,73205	0,43301	1,29904	5,19615
6	60°	0,86603	1,00000	0,43302	2,59808	6,00000
12	30°	0,96593	0,51764	0,25000	3,00001	6,21168
24	15°	0,99144	0,26105	0,12941	3,10580	6,26520
48	7,5°	0,99786	0,13081	0,06527	3,13260	6,27888
96	3,75°	0,99946	0,06544	0,03270	3,13944	6,28224
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:					3,14	6,28

r = 2 LE

n		h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang n·g in LE
n		h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck	Umfang n·g in LE
3	120°	1,0000	3,46410	1,73205	5,19615	10,39230
6	60°	1,73205	2,00000	1,73205	10,39230	12,00000
12	30°	1,93185	1,03528	1,00000	12,00003	12,42336
24	15°	1,98289	0,52210	0,51763	12,42320	12,56040
48	7,5°	1,99572	0,26161	0,26105	12,53041	12,55728
96	3,75°	1,99893	0,13088	0,13081	12,55776	12,56448
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:					12,56	12,56

r = 3 LE

n		h in LE	g in LE	Flächeninhalt in FE		Umfang n·g in LE
n		h in LE	g in LE	Dreieck	n-Eck	Umfang n·g in LE
3	120°	1,5000	5,19615	3,89711	11,69134	15,58845
6	60°	2,59808	3,00000	3,89712	23,38272	18,00000
12	30°	2,89778	1,55291	2,25000	26,99995	18,63492
24	15°	2,97433	0,78316	1,16469	27,95252	18,79584
48	7,5°	2,99358	0,39242	0,58737	28,19378	18,83616
96	3,75°	2,99839	0,19631	0,29431	28,25347	18,84576
Betrachte die Entwicklung der Werte für den Flächeninhalt und den Umfang. Welche Werte könnten sich für n = 1000 ergeben? Trage sie ein:					28,25	18,86

Ergebnis

Radius r	Durchmesser d	Flächeninhalt A		Umfang u
1 LE	2 LE	3,14 FE	3,14	6,28 LE	3,14
2 LE	4 LE	12,56 FE	3,14	12,56 LE	3,14
3 LE	6 LE	28,25 FE	3,14	18,86 LE	3,14

Vermutung:

Kreiszahl 6

Ergänzung
Sind die trigonometrischen Funktionen bekannt (siehe Lehrplaneinheit 12 Trigonometrie), so kann der Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks wie folgt berechnet werden. Die Bestimmung des Grenzwertes für ist jedoch mit den Mitteln der Schulmathematik nicht möglich.

Kreiszahl

² Screenshot © International GeoGebra Institute, 2013; www.geogebra.org ; CC BY NC SA 3.0

100a_kr_bestimmen_kreiszahl_gg_ju: Herunterladen [doc][687 KB]
100a_kr_bestimmen_kreiszahl_gg_ju: Herunterladen [pdf][326 KB]
100a_kr_kreisberechnung_exhaustion_3: Herunterladen [ggb][9 KB]

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Be­stim­mung der Kreis­zahl π – Geo­Ge­bra 1

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GeoGebra: Bestimmen der Kreiszahl

Bestimmung der Kreiszahl π – GeoGebra ¹

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