Grup­pen­puz­zle „Py­tha­go­ras-Be­wei­se“

Ar­beits­an­wei­sung für die Stamm­grup­pe

1) Skiz­ze, Vor­aus­set­zung, Be­haup­tung

Satz des Py­tha­go­ras:

Wenn ein Drei­eck recht­wink­lig ist, dann ist die Summe der Flä­chen­in­hal­te der bei­den Qua­dra­te über den Ka­the­ten gleich dem Flä­chen­in­halt des Qua­drats über der Hy­po­te­nu­se.

Er­stellt eine (be­schrif­te­te) Skiz­ze, for­mu­liert Vor­aus­set­zung und Be­haup­tung ma­the­ma­tisch-for­mal.

Es gibt über 400 ver­schie­de­ne Be­weis­füh­run­gen zum Satz des Py­tha­go­ras. Vier davon sollt ihr in Ex­per­ten­grup­pen füh­ren.

2) Ex­per­ten­ein­tei­lung

3) Ar­beit in den Ex­per­ten­grup­pen

4) Prä­sen­ta­ti­on im Ple­num

Er­läu­tert euren Be­weis. Die an­de­ren Ex­per­ten ach­ten kri­tisch dar­auf, ob Be­weis­lü­cken vor­lie­gen.

5) Rück­kehr in die Stamm­grup­pen

Auf der Rück­sei­te fin­det ihr einen Be­weis zum Satz des Py­tha­go­ras, den Al­bert Ein­stein ge­führt hat:

• Er­läu­tert euch ge­gen­sei­tig den ers­ten Be­weis­schritt.
• For­mu­liert ana­log zum ers­ten Schritt den zwei­ten Be­weis­schritt.
• Formt im drit­ten Be­weis­schritt die Glei­chung so um, dass sich der Satz des Py­tha­go­ras er­gibt.

Be­weis nach Al­bert Ein­stein

Al­bert Ein­stein zer­leg­te das recht­wink­li­ge Drei­eck ent­lang der Höhe, die or­tho­go­nal zur Hy­po­te­nu­se ist, in zwei Teil­d­rei­ecke. Er nutz­te die Ähn­lich­keit die­ser Teil­d­rei­ecke zum Aus­gangs­drei­eck, um über die Flä­chen­in­hal­te der Teil­d­rei­ecke (A_I und A_II) und
des Aus­gangs­drei­ecks A_ges die For­mel
a² + b² = c² al­ge­bra­isch her­zu­lei­ten.

Be­weis:

 1) Ähn­lich­keit der Drei­ecke   und  
 δ = γ = 90° (1)

 α + γ₁ + 90° = 180° (Win­kel­sum­me im Drei­eck)

 α + β + 90° = 180° (Win­kel­sum­me im Drei­eck)

   β = γ₁  (2)

 (1), (2)     ist ähn­lich zu    (Ähn­lich­keits­satz ww)

 2) Ähn­lich­keit der Drei­ecke   und

 3) Summe der Flä­chen­in­hal­te der Teil­d­rei­ecke = Flä­chen­in­halt des Aus­gangs­drei­ecks

Grup­pen­puz­zle „Py­tha­go­ras-Be­wei­se“: Her­un­ter­la­den [pdf][476 KB]

Wei­ter zu Ex­per­ten­grup­pen