Gruppenpuzzle „Pythagoras-Beweise“

Arbeitsanweisung für die Stammgruppe

1) Skizze, Voraussetzung, Behauptung

Satz des Pythagoras:

Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Erstellt eine (beschriftete) Skizze, formuliert Voraussetzung und Behauptung mathematisch-formal.

Es gibt über 400 verschiedene Beweisführungen zum Satz des Pythagoras. Vier davon sollt ihr in Expertengruppen führen.

2) Experteneinteilung

3) Arbeit in den Expertengruppen

4) Präsentation im Plenum

Erläutert euren Beweis. Die anderen Experten achten kritisch darauf, ob Beweislücken vorliegen.

5) Rückkehr in die Stammgruppen

Auf der Rückseite findet ihr einen Beweis zum Satz des Pythagoras, den Albert Einstein geführt hat:

• Erläutert euch gegenseitig den ersten Beweisschritt.
• Formuliert analog zum ersten Schritt den zweiten Beweisschritt.
• Formt im dritten Beweisschritt die Gleichung so um, dass sich der Satz des Pythagoras ergibt.

Beweis nach Albert Einstein

Albert Einstein zerlegte das rechtwinklige Dreieck entlang der Höhe, die orthogonal zur Hypotenuse ist, in zwei Teildreiecke. Er nutzte die Ähnlichkeit dieser Teildreiecke zum Ausgangsdreieck, um über die Flächeninhalte der Teildreiecke (A_I und A_II) und
des Ausgangsdreiecks A_ges die Formel
a² + b² = c² algebraisch herzuleiten.

Beweis:

 1) Ähnlichkeit der Dreiecke   und  
 δ = γ = 90° (1)

 α + γ₁ + 90° = 180° (Winkelsumme im Dreieck)

 α + β + 90° = 180° (Winkelsumme im Dreieck)

   β = γ₁  (2)

 (1), (2)     ist ähnlich zu    (Ähnlichkeitssatz ww)

 2) Ähnlichkeit der Dreiecke   und

 3) Summe der Flächeninhalte der Teildreiecke = Flächeninhalt des Ausgangsdreiecks

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