Ex­per­ten­grup­pen

Be­weis über Flä­chen­ver­gleich

Vier kon­gru­en­te recht­wink­li­ge Drei­ecke wer­den so an­ge­ord­net, dass sie ein Qua­drat „mit Loch“ bil­den.

TIPP:
Für den Flä­chen­in­halt des Qua­drats (samt „Loch“) las­sen sich zwei un­ter­schied­li­che Terme auf­stel­len.

Be­weis über Flä­chen­ver­gleich

Mit­hil­fe der ne­ben­ste­hen­den Figur kann der Be­weis zum Satz des Py­tha­go­ras ge­führt wer­den.
Die roten Drei­ecke sind kon­gru­ent und recht­wink­lig.

TIPP: Im Ver­lauf des Be­wei­ses wird die For­mel für den Flä­chen­in­halt eines Tra­pe­zes be­nö­tigt:

Be­weis mit Hilfe des Sat­zes von Tha­les

Nutze als Vor­aus­set­zung den Hö­hen­satz:

In einem recht­wink­li­gen Drei­eck ist das Qua­drat über der Höhe des Drei­ecks flä­chengleich zu dem Recht­eck aus den bei­den zu­ge­hö­ri­gen Hy­po­te­nu­sen­ab­schnit­ten:

.

Ein recht­wink­li­ges Drei­eck wird gemäß ne­ben­ste­hen­der Ab­bil­dung in einen Halb­kreis mit Ra­di­us c ein­ge­passt.

Be­weis mit Hilfe der Ähn­lich­keit

Ein recht­wink­li­ges Drei­eck lässt sich durch seine Höhe in zwei Teil­d­rei­ecke zer­le­gen, die zu­ein­an­der und zum Aus­gangs­drei­eck ähn­lich sind.

TIPP:

• Be­grün­det die Ähn­lich­keit der Drei­ecke ABC, CAH und BCH.
• Durch Auf­stel­len ent­spre­chen­der Sei­ten­ver­hält­nis­se kön­nen die Ka­the­ten­sät­ze be­wei­sen wer­den.
  Ka­the­ten­sät­ze:
  b² = c×q
  a² = c×p