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Beweis über Flächenvergleich

Vier kongruente rechtwinklige Dreiecke werden so angeordnet, dass sie ein Quadrat „mit Loch“ bilden.

TIPP:
Für den Flächeninhalt des Quadrats (samt „Loch“) lassen sich zwei unterschiedliche Terme aufstellen.

Beweis über Flächenvergleich

Mithilfe der nebenstehenden Figur kann der Beweis zum Satz des Pythagoras geführt werden.
Die roten Dreiecke sind kongruent und rechtwinklig.

TIPP: Im Verlauf des Beweises wird die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes benötigt:

Beweis mit Hilfe des Satzes von Thales

Nutze als Voraussetzung den Höhensatz:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks flächengleich zu dem Rechteck aus den beiden zugehörigen Hypotenusenabschnitten:

.

Ein rechtwinkliges Dreieck wird gemäß nebenstehender Abbildung in einen Halbkreis mit Radius c eingepasst.

Beweis mit Hilfe der Ähnlichkeit

Ein rechtwinkliges Dreieck lässt sich durch seine Höhe in zwei Teildreiecke zerlegen, die zueinander und zum Ausgangsdreieck ähnlich sind.

TIPP:

• Begründet die Ähnlichkeit der Dreiecke ABC, CAH und BCH.
• Durch Aufstellen entsprechender Seitenverhältnisse können die Kathetensätze beweisen werden.
  Kathetensätze:
  b² = c×q
  a² = c×p