Di­dak­ti­sche Hin­wei­se

Für die Aus­sa­gen­lo­gik sind in die­sem Vor­schlag ca. 4-5 Dop­pel­stun­den vor­ge­se­hen. Im Zen­trum ste­hen die üb­li­chen Junk­to­ren sowie die Ar­beit mit Wahr­heits­wert­ta­feln (auch Wahr­heits­ta­feln oder Wahr­heits­ta­bel­len ge­nannt). Au­ßer­dem wer­den aus­sa­gen­lo­gi­sche Ge­set­ze be­han­delt.

Als Ein­stieg bie­tet sich, an­hand ge­eig­ne­ter Bei­spie­le, eine Dis­kus­si­on über die Nicht-Ein­deu­tig­keit der na­tür­li­chen Spra­che an. Auch die un­ter­schied­li­che Be­deu­tung des oder (ein­schlie­ßend bzw. nicht-ein­schlie­ßend) ist hier mög­lich. An­schlie­ßend wird der Be­griff der Aus­sa­ge in der Logik an­hand der bei­den Kri­te­ri­en aus­ge­schlos­se­nes Drit­tes und aus­ge­schlos­se­ner Wi­der­spruch prä­zi­siert. Die Un­ter­schei­dung zwi­schen einer Aus­sa­ge­form und einer Aus­sa­ge stellt hier eine mög­li­che Ver­tie­fung dar mit Bezug zu den Quan­to­ren und zur Prä­di­ka­ten­lo­gik. Einen wei­te­ren mög­li­chen Ein­stieg bie­ten Lo­gik­rät­sel. Diese sind für die SuS mo­ti­vie­rend und er­mög­li­chen einen Bezug von Aus­sa­gen in der na­tür­li­chen Spra­che zu den Junk­to­ren der Aus­sa­gen­lo­gik.

Im Un­ter­richts­gang wird zu­nächst die Ne­ga­ti­on als ein ein­stel­li­ger Junk­tor ein­ge­führt und dabei das Sche­ma der Wahr­heits­wert­ta­fel er­läu­tert. Hier­bei kann von der Ver­nei­nung in der na­tür­li­chen Spra­che aus­ge­gan­gen wer­den. Wenn man möch­te, kann man auch die dop­pel­te – oder sogar drei­fa­che – Ver­nei­nung in der Um­gangs­spra­che, in Dia­lek­ten und in an­de­ren Spra­chen an­spre­chen. Die For­mu­lie­rung von ne­gier­ten Aus­sa­gen in der na­tür­li­chen Spra­che fällt vie­len SuS durch­aus nicht so ein­fach, wie sie viel­leicht zu­nächst den­ken. Hier kann auch be­reits die Ne­ga­ti­on einer Kon­junk­ti­on bzw. einer Dis­junk­ti­on im Rah­men der na­tür­li­chen Spra­che dis­ku­tiert wer­den, bevor dies dann for­mal bei den De Mor­gan’schen Ge­set­zen be­han­delt wird.

Im An­schluss daran wer­den die Kon­junk­ti­on und die Dis­junk­ti­on als zwei­stel­li­ge Junk­to­ren vor­ge­stellt. Auch hier kann man von und und oder in der na­tür­li­chen Spra­che aus­ge­hen. Dabei muss bei der Dis­junk­ti­on der Un­ter­schied zwi­schen ein­schlie­ßen­dem und nicht-ein­schlie­ßen­dem oder dis­ku­tiert wer­den. Mit den nun drei vor­han­de­nen Junk­to­ren (¬, ∧, ∨) kön­nen Wahr­heits­wert­ta­feln zu viel­fäl­ti­gen zu­sam­men­ge­setz­ten Aus­sa­gen er­stellt wer­den. Ins­be­son­de­re kön­nen dabei aus­sa­gen­lo­gi­sche Ge­set­ze wie die Kom­mu­ta­tiv-, As­so­zia­tiv- und Dis­tri­bu­tiv­ge­set­ze der Logik sowie die De Mor­gan’schen Ge­set­ze mit­hil­fe von Wahr­heits­wert­ta­feln be­wie­sen wer­den. In die­sem Zu­sam­men­hang wird der Be­griff lo­gisch äqui­va­lent über über­ein­stim­men­de Wahr­heits­wert­ta­feln de­fi­niert.

Schließ­lich wer­den die zwei­wer­ti­gen Junk­to­ren Im­pli­ka­ti­on und Äqui­va­lenz ein­ge­führt. Dabei kann an das Vor­wis­sen der SuS zu „Wenn … dann“ und „Genau dann … wenn“ aus dem nor­ma­len Ma­the­ma­tik­un­ter­richt an­ge­knüpft wer­den. Al­ler­dings muss bei der Im­pli­ka­ti­on A → B der Fall, dass A den Wahr­heits­wert f hat, be­son­ders be­spro­chen wer­den („ex falso quod­li­bet“). Dies bie­tet An­lass für in­ter­es­san­te lo­gi­sche Dis­kus­sio­nen. In Über­ein­stim­mung mit dem (vor­läu­fi­gen) Bil­dungs­plan des Ver­tie­fungs­kur­ses ist hier von Im­pli­ka­ti­on und Äqui­va­lenz die Rede, die Be­grif­fe Sub­junk­ti­on und Bi­junk­ti­on müs­sen nicht ein­ge­führt wer­den und ins­be­son­de­re müs­sen Metaspra­che und Ob­jekt­spra­che und damit auch der Un­ter­schied zwi­schen Sub­junk­ti­on und Im­pli­ka­ti­on nicht the­ma­ti­siert wer­den. Hier be­steht eben­falls eine Mög­lich­keit zur Ver­tie­fung.

Schließ­lich er­folgt die De­fi­ni­ti­on einer Tau­to­lo­gie und einer Kon­tra­dik­ti­on. Diese Be­grif­fe sind vom Bil­dungs­plan zwar nicht vor­ge­schrie­ben, je­doch so grund­le­gend für die Logik, dass ihre The­ma­ti­sie­rung emp­feh­lens­wert ist. Mit­hil­fe der Wahr­heits­wert­ta­feln wer­den Aus­sa­gen dar­auf­hin über­prüft, ob sie eine Tau­to­lo­gie bzw. Kon­tra­dik­ti­on sind. Des Wei­te­ren wird eine Über­sicht aller aus­sa­gen­lo­gi­schen Ge­set­ze zu­sam­men­ge­stellt.

Als Ab­schluss der Un­ter­richts­ein­heit bie­tet sich eine Be­hand­lung des Shef­fer’schen Strichs (NAND) an. Mit die­sem zwei­wer­ti­gen Junk­tor al­lein kön­nen alle fünf üb­li­chen Junk­to­ren aus­ge­drückt wer­den. Der Shef­fer’sche Strich bil­det ein funk­tio­nal voll­stän­di­ges Junk­to­ren­sys­tem der Aus­sa­gen­lo­gik.

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Wei­ter zu Prä­sen­ta­ti­on: Aus­sa­gen­lo­gik