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Di­dak­ti­sche Hin­wei­se

Das Thema Rech­nen mit Rest­klas­sen ist im vor­läu­fi­gen Bil­dungs­plan des Ver­tie­fungs­kur­ses ein Wahl­the­ma. Es emp­fiehlt sich, die­ses ei­ni­ge Stun­den zu be­han­deln. Er­fah­rungs­ge­mäß macht der Um­gang mit Zah­len den Schü­le­rin­nen und Schü­lern gro­ßen Spaß und es wer­den ei­ni­ge wich­ti­ge Grund­la­gen ge­legt, wie bei­spiels­wei­se die Be­grün­dung der Teil­bar­keits­re­geln. Das RSA-Ver­fah­ren trifft eben­falls in der Regel auf gro­ßes In­ter­es­se. Vom ko­gni­ti­ven An­spruch her sind die In­hal­te gut zu ver­ste­hen und auch schon zu Be­ginn der Jahr­gangs­stu­fe 1 mög­lich. Be­son­de­rer Vor­kennt­nis­se sind keine not­wen­dig.

Der vor­lie­gen­de Un­ter­richts­gang um­fasst vier Dop­pel­stun­den. Er star­tet mit der De­fi­ni­ti­on einer Rest­klas­se mo­du­lo n als Menge der gan­zen Zah­len, die beim Tei­len durch n den­sel­ben Rest las­sen. Diese De­fi­ni­ti­on ist für alle n ∈ IN mit n ≥ 2 sinn­voll. Für die Grund­vor­stel­lung einer Rest­klas­se kann man bei ge­ra­den bzw. un­ge­ra­den Zah­len oder bei der Uhr­zeit an­knüp­fen. So­bald die Klas­sen­bil­dung ver­stan­den ist, geht man zu den ka­no­ni­schen Re­prä­sen­tan­ten 0; 1; …; n-1 über. Dass man beim Rech­nen mit Rest­klas­sen vor der Aus­füh­rung der Ad­di­ti­on, Mul­ti­pli­ka­ti­on oder der Po­ten­zie­rung schon zu einer kon­gru­en­ten Zahl über­ge­hen kann, ist für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler über­ra­schend und er­freu­lich, da sich da­durch der Re­chen­auf­wand teil­wei­se er­heb­lich re­du­zie­ren lässt. Eine in­ter­es­san­te An­wen­dung stellt die Ka­len­der­rech­nung dar. Be­han­delt wird die Fra­ge­stel­lung, wel­cher Wo­chen­tag an einem be­stimm­ten Datum sein wird bzw. war.

Einen klei­nen Ein­blick in al­ge­brai­sche Struk­tu­ren be­kom­men die Schü­le­rin­nen und Schü­ler bei der The­ma­ti­sie­rung von Ad­di­ti­ons- und Mul­ti­pli­ka­ti­ons­ta­feln mo­du­lo n. Dies kann an­hand von in den Ta­bel­len auf­tre­ten­den Sym­me­tri­en be­spro­chen wer­den. An die­ser Stel­le könn­te man deut­lich ver­tie­fen und bei­spiels­wei­se die Frage der Exis­tenz eines mul­ti­pli­ka­ti­ven In­ver­sen sowie von mög­li­chen Null­tei­lern an­spre­chen.

Die aus der Un­ter­stu­fe be­kann­ten und noch viele wei­te­ren Teil­bar­keits­re­geln na­tür­li­cher Zah­len las­sen sich sehr ein­fach mit­hil­fe des Rech­nens mit Rest­klas­sen be­wei­sen. Im zu­ge­hö­ri­gen Ar­beits­blatt ist eine Aus­wahl dazu auf­ge­führt. Man kann auch hier ver­tie­fen und zum Bei­spiel eine Teil­bar­keits­re­gel für die Zahl 37 be­wei­sen. (Die 3-er Quer­sum­me muss durch 37 teil­bar sein.)

Zu­min­dest eine kurze The­ma­ti­sie­rung des RSA-Ver­fah­rens lohnt sich. Die­ses ist als Bei­spiel für ein asym­me­tri­sches Ver­schlüs­se­lungs­ver­fah­ren sehr lehr­reich und immer noch ak­tu­ell. Das vor­lie­gen­de Ar­beits­blatt lie­fert einen Ein­blick in das dem RSA-Ver­fah­ren zu­grun­de lie­gen­de Pro­ze­de­re. Die Be­stim­mung des pri­va­ten Schlüs­sels aus dem öf­fent­li­chen Schlüs­sel mit­hil­fe des Eu­kli­di­schen Al­go­rith­mus wird nicht er­klärt. Auch der Klei­ne Satz von Fer­mat wird nicht be­wie­sen. Hier be­steht eine Fülle von Ver­tie­fungs­mög­lich­kei­ten. Vor der Be­schäf­ti­gung mit dem RSA-Ver­fah­ren ist eine Ein­füh­rung in die Kryp­to­gra­phie sinn­voll, ins­be­son­de­re die Un­ter­schei­dung zwi­schen sym­me­tri­schen und asym­me­tri­schen Ver­schlüs­se­lungs­ver­fah­ren und der Be­deu­tung letz­te­rer im Zeit­al­ter der On­line-Käufe. Auch his­to­ri­sche As­pek­te, wie das Cäsar-Ver­fah­ren oder die Ver­schlüs­se­lungs­ma­schi­ne Enig­ma, sind loh­nend. Im In­ter­net fin­de­en sich eine Fülle gut auf­be­rei­te­ter In­for­ma­ti­on sowie Si­mu­la­tio­nen der Ver­fah­ren.

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Wei­ter zu Ein­füh­rung