Übersicht

Welche Beweistechniken kennen die SuS bisher aus dem Normalunterricht Mathematik?

Direkter Beweis, Beweis durch Gegenbeispiel

Struktur eines Beweises: A ⇒ B

Voraussetzung; Behauptung ; Beweis

Wenn …, dann … - Formulierung

Beispiele für direkte Beweise aus der Geometrie und der Teilbarkeitslehre

Übungsblatt:

Wenn …, dann…

Übungsblatt:

Weitere Beispiele für direkte Beweise:

n² gerade → n gerade usw.

Beispiele für Beweis durch Gegenbeispiel aus der Teilbarkeitslehre

Ist n² + n + 41 für alle n eine Primzahl?

Der Kehrsatz eines Satzes (B ⇒ A)

Ist der Kehrsatz ebenfalls gültig? (Beweismotivation durch Gegenbeispiele)

Kontraposition: (A ⇒ B) ⇔ (¬ B ⇒ ¬ A) (Hinweis: Aussagenlogik) Beispiel: „Alibi“

Übungen: Satz ; Kehrsatz ; Kontraposition

Übungsblatt:

Beispiele für Beweise durch Kontraposition:

n² ungerade → n ungerade

Stufenwinkel gleich groß → g || h

α = β → a = b

Wenn 5 ein Teiler von n² + 10 ist, dann ist 5 auch eine Teiler von n.

Beweis durch Widerspruch

Hinweis: Aussagenlogik (A ⇒ B) ⇔ ¬( ¬B ∧ A)

Beispiele: √2 ist keine rationale Zahl ; Kehrsatz des Stufenwinkelsatzes; Primzahldrillinge

Weiteres Beispiel zum Beweis durch Widerspruch: unendlich viele Primzahlen

Beweis durch vollständige Fallunterscheidung

Beispiel: Satz vom Umfangswinkel

Arbeitsblatt:

Weitere Beispiele zur vollständigen Fallunterscheidung: Teilbarkeit (auch Einführung der modulo Schreibweise);

Ungleichungen (|x-y|≤|x|+|y|)

Vollständige Induktion: Prinzip

Beispiele: Summen; Teilbarkeit; Ungleichungen (Abschätzungen)

Übungen zur vollständigen Induktion

Beispiele: auch mit höheren Ableitungen und aus der Geometrie

Übungsblatt:

Übungen zum Beweisen

Vermischte Aufgaben, bei denen sich die Schülerinnen und Schüler zunächst überlegen, welche Beweismethode(n) geeignet ist (sind).

Übungsblatt: