Di­dak­ti­sche Hin­wei­se

Der vor­ge­stell­te Un­ter­richts­gang nimmt auf sie­ben Be­weis­me­tho­den Bezug. Bei- spie­le zu die­sen sie­ben Be­weis­me­tho­den für die Ple­nums­pha­se des Un­ter­richts fin­det man in der Datei 04 (deren Lö­sun­gen be­fin­den sich in der Datei 05). Auf eine die­ser Be­weis­me­tho­den, näm­lich das Be­wei­sen mit­hil­fe von Wahr­heits­wert­ta­bel­len, wird be­reits aus­führ­lich in der Un­ter­richts­ein­heit Aus­sa­gen­lo­gik ein­ge­gan­gen.

Die an­de­ren sechs Be­weis­me­tho­den sind:

1. Der di­rek­te Be­weis
2. Be­weis durch ein Ge­gen­bei­spiel
3. Be­weis durch Kon­tra­po­si­ti­on
4. Be­weis durch Wi­der­spruch
5. Be­weis durch voll­stän­di­ge Fall­un­ter­schei­dung
6. Be­weis durch voll­stän­di­ge In­duk­ti­on

Diese sechs Be­weis­tech­ni­ken wur­den im vor­ge­stell­ten Un­ter­richts­gang genau in die­ser Rei­hen­fol­ge un­ter­rich­tet. Dabei haben die Kon­tra­po­si­ti­on und die voll­stän­di­ge In­duk­ti­on be­son­de­res Ge­wicht, da diese bei­den Be­weis­me­tho­den auch ex­pli­zit in den Zer­ti­fi­kats­klau­su­ren ein­ge­for­dert wer­den.

Diese Vor­gangs­wei­se knüpft be­wusst an den Vor­kennt­nis­sen der Schü­le­rin­nen und Schü­ler aus dem Ma­the­ma­tik­un­ter­richt an. Aus dem Ma­the­ma­tik­un­ter­richt der Mit­tel­stu­fe ken­nen die Schü­le­rin­nen und Schü­ler den di­rek­ten Be­weis und den Be­weis durch ein Ge­gen­bei­spiel vor allem aus dem Be­reich der Geo­me­trie. Daher wurde mit­hil­fe des Übungs­blat­tes „Be­wei­se aus der Geo­me­trie der Mit­tel­stu­fe“ die Struk­tur (Vor­aus­set­zung, Be­haup­tung, Be­weis) eines Be­wei­ses wie­der­holt. Dabei wurde ins­be­son­de­re auf die „Wenn, dann – For­mu­lie­rung“ ein­ge­gan­gen (Übungs­blatt). Neben Bei­spie­len aus der Geo­me­trie bie­ten sich hier auch Be­wei­se aus dem Be­reich der Teil­bar­keits­leh­re an. Hier bie­tet sich auch die Ge­le­gen­heit auf die Dar­stel­lung ge­ra­der und un­ge­ra­der na­tür­li­cher Zah­len ein­zu­ge­hen. Für diese zwei Be­weis­me­tho­den wur­den drei Un­ter­richts­stun­den ein­ge­plant.

In den nächs­ten drei Un­ter­richts­stun­den stand das Thema „Kon­tra­po­si­ti­on eines Sat­zes“ und die Ab­gren­zung zum „Kehr­satz eines Sat­zes“ im Mit­tel­punkt. Zu­nächst wurde an ei­ni­gen Bei­spie­len auf­ge­zeigt, dass ein Kehr­satz nicht au­to­ma­tisch gilt, nur weil der da­zu­ge­hö­ri­ge Satz gilt. Hier bie­ten sich als Ge­gen­bei­spie­le ins­be­son­de­re Sätze aus der Teil­bar­keits­leh­re an. An­schlie­ßend wurde auf die Kon­tra­po­si­ti­on eines Sat­zes ein­ge­gan­gen. Zur Ein­füh­rung der Kon­tra­po­si­ti­on eig­net sich als Bei­spiel das Alibi, das alle Schü­le­rin­nen und Schü­ler aus Kri­mis ken­nen. Die Kon­tra­po­si­ti­on be­ruht auf der Äqui­va­lenz (A ⇒ B) ⇔ (¬ B ⇒ ¬ A). Daher soll­te man diese aus­sa­gen­lo­gi­sche Äqui­va­lenz im Un­ter­richts­gang Aus­sa­gen­lo­gik zuvor auch mit­hil­fe einer Wahr­heits­wert­ta­bel­le be­wei­sen.

Damit die Schü­le­rin­nen und Schü­ler si­cher zwi­schen der Kon­tra­po­si­ti­on und dem Kehr­satz eines Sat­zes un­ter­schei­den kön­nen, wurde dies mit­hil­fe eines Übungs­blat­tes the­ma­ti­siert. In die­sem Übungs­blatt geht es nur um die For­mu­lie­run­gen der Kon­tra­po­si­ti­on bzw. der Kehr­sät­ze und nicht um deren Be­weis. Als Bei­spie­le für Sätze, die man mit­hil­fe der Kon­tra­po­si­ti­on ein­fa­cher be­wei­sen kann, wur­den an­schlie­ßend Sätze aus der Geo­me­trie und der Teil­bar­keits­leh­re be­wie­sen.

Die nächs­ten drei Un­ter­richts­stun­den wur­den für den Be­weis durch Wi­der­spruch be­nö­tigt. Als Ein­stieg dien­te der klas­si­sche Be­weis, dass √2 keine ra­tio­na­le Zahl ist. An­schlie­ßend wurde auf die aus­sa­gen­lo­gi­sche Grund­la­ge des Wi­der­spruch­be­wei­ses (A ⇒ B) ⇔ ¬( ¬B ∧ A) ein­ge­gan­gen. Daher soll­te man auch diese Äqui­va­lenz zuvor im Un­ter­richts­gang Aus­sa­gen­lo­gik mit­hil­fe einer Wahr­heits­wert­ta­bel­le be­wei­sen. Da­nach wur­den im Ple­num fol­gen­de drei Sätze mit­hil­fe eines Wi­der­spruchs­be­wei­ses be­wie­sen: Der Kehr­satz des Stu­fen­win­kel­sat­zes, ein Satz über Prim­zahl­dril­lin­ge und der klas­si­sche Be­weis, dass es un­end­lich viele Prim­zah­len gibt.

In den fol­gen­den drei Un­ter­richts­stun­den wurde das Be­wei­sen durch eine voll­stän­di­ge Fall­un­ter­schei­dung the­ma­ti­siert. Als Ein­stiegs­bei­spiel wurde mit­hil­fe eines Ar­beits­blat­tes der Satz vom Um­fangs­win­kel be­wie­sen. Dabei wur­den die Fälle 1 und 2 im Ple­num be­spro­chen, den Fall 3 be­ar­bei­te­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in Ein­zel- oder Part­ner­ar­beit im Un­ter­richt. Als zwei­tes Bei­spiel wurde im Ple­num ein Satz zur Teil­bar­keit von Sum­men be­wie­sen. Er lau­tet:“Aus fünf be­lie­bi­gen na­tür­li­chen Zah­len kann man immer drei Zah­len so aus­wäh­len, dass deren Summe durch 3 teil­bar ist.“ Um die­sen Satz zu ver­an­schau­li­chen, wur­den die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ge­be­ten mehr­fach fünf na­tür­li­che Zah­len zu nen­nen (z.B. durch Ver­wen­dung des Zu­falls­ge­ne­ra­tors des WTR). Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler waren sehr ver­blüfft, dass ihr Leh­rer sehr schnell immer drei pas­sen­de Zah­len aus­wäh­len konn­te. Die­ses Bei­spiel ist zudem her­vor­ra­gend dafür ge­eig­net, die Schü­le­rin­nen und Schü­ler mit der Mo­du­lo- Schreib­wei­se be­kannt zu ma­chen. Als drit­tes Bei­spiel wurde eine Be­trags­un­glei­chung be­wie­sen. An die­ser Stel­le kann man das Auf­lö­sen von Be­trä­gen mit­hil­fe von Fall­un­ter­schei­dun­gen üben.

Die letz­ten sechs Un­ter­richts­stun­den wur­den haupt­säch­lich für den in­halt­li­chen Schwer­punkt der „voll­stän­di­ge In­duk­ti­on“ ver­wen­det. Dabei wurde zu­nächst das Be­wei­s­prin­zip mit­hil­fe einer Reihe von „Do­mi­no­stei­nen“ de­mons­triert. An­schlie­ßend wurde im Ple­num ein Bei­spiel mit einer Sum­men­for­mel ge­wählt, um die Be­weis­struk­tur in drei Schrit­ten ein­zu­füh­ren. Da­nach wurde im Ple­num zu jedem der wei­te­ren vier Be­rei­chen (Teil­bar­keit, Un­glei­chung, hö­he­re Ab­lei­tun­gen und Geo­me­trie) je­weils ein Bei­spiel ge­mein­sam be­ar­bei­tet. Im wei­te­ren Ver­lauf be­ar­bei­te­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ei­gen­stän­dig Auf­ga­ben von einem Übungs­blatt zur voll­stän­di­gen In­duk­ti­on. Dazu lagen die Lö­sun­gen im Klas­sen­raum zur Selbst­kon­trol­le aus. Dabei stell­te sich her­aus, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ins­be­son­de­re bei den Un­glei­chun­gen mit den dort vor­ge­nom­me­nen Ab­schät­zun­gen Pro­ble­me hat­ten.

Als Ab­schluss des The­men­be­reichs Be­wei­sen er­hiel­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler das Übungs­blatt „Übun­gen zum Be­wei­sen“. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler wur­den zu­nächst auf­ge­for­dert bei allen 10 Sät­zen kurz zu über­le­gen, wel­che der sie­ben Be­weis­me­tho­den wohl ge­eig­net wäre, den je­wei­li­gen Satz zu be­wei­sen. Nach einer kur­zen Be­spre­chung der Schü­ler­vor­schlä­ge im Ple­num, wurde den Schü­le­rin­nen und Schü­lern emp­foh­len, die­ses Übungs­blatt zur Vor­be­rei­tung auf die nächs­te Klau­sur zu nut­zen. Um diese Vor­be­rei­tung zu un­ter­stüt­zen, wurde den Schü­le­rin­nen und Schü­lern zum Ab­schluss aus­führ­li­che Lö­sun­gen zu die­sem Übungs­blatt aus­ge­teilt.

Di­dak­ti­sche Hin­wei­se: Her­un­ter­la­den [docx][17 KB]

Di­dak­ti­sche Hin­wei­se: Her­un­ter­la­den [pdf][183 KB]

Wei­ter zu Prä­sen­ta­ti­on: Be­weis­tech­ni­ken