Didaktische Hinweise
Der vorgestellte Unterrichtsgang „Linienintegrale“ wurde in der Klassenstufe 12 in vier Doppelstunden unterrichtet. Die Anregung Linienintegrale zu behandeln kam von einem Schüler, der im Zuge der Unterrichtseinheit „Integrationstechniken“ im Unterricht die Frage stellte, was denn eigentlich Linienintegrale wären. Er war einen Tag pro Woche zum Frühstudium (Jura) an der Universität und hatte dort den Begriff auf- geschnappt.
n der Fachliteratur werden Linienintegrale auch Kurvenintegrale oder Wegintegrale
genannt. Man unterscheidet Linienintegrale 1.Art und Linienintegrale 2.Art.
Bei Linienintegralen 1.Art wird über ein Skalarfeld integriert, bei Linienintegralen 2.Art
über ein Vektorfeld. In dieser Unterrichtseinheit wurden nur Linienintegrale über zwei-dimensionale Skalarfelder f mit 
betrachtet.
Die Kurve längs der integriert wird, heißt auch Integrationsweg und kurz Weg (
). Der Ausdruck 
heißt Wegelement oder Längenelement. Im Spezialfall 
ergibt das Linienintegral die Länge L des Weges entlang der Kurve. Es gibt zwei prinzipielle Möglichkeiten Linienintegrale über zu berechnen.
Man ersetzt im Funktionsterm die Variable y durch den Term und erhält
somit das Integral 
.
Man kann aber auch die beiden
Variablen x und y parametrisieren und erhält z.B. mit 
und 
und dem Wegelement 
das Integral 
..
In der ersten Doppelstunde wurden zunächst einige Beispiele für Funktionen mit zwei
Variablen und deren Veranschaulichung im dreidimensionalen Raum betrachtet.
Dazu gehörte auch eine „modifizierte“ Ebenengleichung (
), die die
Schülerinnen und Schüler aus der analytischen Geometrie kennen. Danach wurde
den Schülerinnen und Schülern mithilfe eines Papierstreifens ein Linienintegral veranschaulicht. An diesem Streifen war an einer Seite mit einer Schere ein Profil geschnitten worden. Der Streifen kann als Kurve gebogen werden und stellt somit einen
Schnitt durch den Raum unter dem Graphen von f mit dar.
Im Zusammenhang mit den Linienintegralen (Spezialfall ) sollte man
natürlich auch die Länge eines Kurvenstückes thematisieren, um die Rolle des
Wegelements besser verstehen zu können. Zudem lernen die Schülerinnen und
Schüler dadurch, quasi nebenbei, wie man die Länge eines Kurvenstückes berechnet. Als Einstieg in die Berechnung der Länge eines Kurvenstückes sollten die
Schülerinnen und Schüler zunächst in Partnerarbeit die Länge eines Parabelbogens
näherungsweise bestimmen (siehe auch Arbeitsblatt Datei 11). Dabei näherten alle
Tandems den Kurvenverlauf mithilfe mehrere Sekanten an und berechneten die
Summe deren Länge.
Anschließend wurde im Plenum die Formel zur der Länge L eines Kurvenstückes
hergeleitet (
). Dann wurde am Ende der Doppelstunde damit begonnen im konkreten Beispiel die Länge des Parabelbogens zu berechnen.
Das auftretende Integral 
können die Schülerinnen und Schüler jedoch
auch nach Behandlung der Integrationstechniken nicht alleine berechnen.
In der zweiten Doppelstunde wurde die Berechnung des Integrals fortgeführt (siehe auch Datei 04). Um dieses Integral mittels Substitution zu lösen, benötigt man die hyperbolischen Funktionen. Somit besteht hier eine gute Gelegenheit
den Schülerinnen und Schülern die hyperbolischen Funktionen vorzustellen. Im Plenum wurden die Funktionen sinh (x) und cosh (x) definiert und deren Ableitungen von den Schülerinnen und Schülern eigenständig berechnet. Anschließend
wurde noch der wichtige Zusammenhang 
thematisiert. Wegen der späteren Anpassung der Integralgrenzen wurden auch noch die Umkehrfunktionen 
und 
kurz angesprochen.
Am Ende der Doppelstunde wurde das Linienintegral definiert und ein erstes Beispiel mit vier verschiedenen Wegen im Plenum vorgestellt und das Integral für den Weg 1 berechnet (siehe auch Datei 05). Damit den Schülerinnen und Schüler die Abhängigkeit von der Wahl des Weges be- wusst wird, sollte man für eine Funktion f verschiedene Wege zwischen zwei festen Punkten in der x-y- Ebene wählen.
In der dritten Doppelstunde wurden die Integrale längs der Wege 2, 3 und 4 berech- net. Dabei wurde auch die Möglichkeit der Parametrisierung des Weges eingeführt (siehe auch Datei 05).
In der vierten Doppelstunde bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler Aufgaben eines Aufgabenblattes zu Linienintegralen (Datei 11). Die Lösungen dieser Aufgaben (Datei 21) lagen im Klassenraum zur Selbstkontrolle aus.
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