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Di­dak­ti­sche Hin­wei­se

Für das Thema Mar­kov-Ket­ten sind in die­sem Vor­schlag etwa vier Dop­pel­stun­den vor­ge­se­hen. Im Zen­trum ste­hen War­te­zei­ten bis zum Auf­tre­ten eines Tref­fers, Dop­pel­tref­fers bzw. eines be­stimm­ten Mus­ters bei einer Folge un­ab­hän­gi­ger Ber­noul­li-Ver­su­che.

Die Ar­beits­blät­ter sind so kon­zi­piert, dass sich die SuS die In­hal­te weit­ge­hend selb­stän­dig er­ar­bei­ten kön­nen. Auch aus­führ­li­che Lö­sungs­blät­ter ste­hen zur Ver­fü­gung. Dies dürf­te ins­be­son­de­re für jahr­gangs­über­grei­fen­de Kurse in­ter­es­sant sein. Jedes Ar­beits­blatt be­steht aus einem Er­ar­bei­tungs- und einem Auf­ga­ben­teil. An­statt den Er­ar­bei­tungs­teil die SuS al­lei­ne be­ar­bei­ten zu las­sen, kön­nen diese In­hal­te na­tür­lich auch im Un­ter­richts­ge­spräch oder mit einer an­de­ren Me­tho­de be­han­delt wer­den.

Als Ein­stieg bie­tet sich die Frage nach dem War­ten auf die erste Sechs beim Wür­feln an (vgl. Mensch-är­ge­re-dich-nicht). Dies führt zur De­fi­ni­ti­on einer geo­me­trisch ver­teil­ten Zu­falls­grö­ße. Neu für die SuS ist, dass diese Zu­falls­grö­ße (ab­zähl­bar-)un­end­lich viele Werte an­neh­men kann. Somit tre­ten un­end­li­che Rei­hen auf, zu­nächst beim Nach­weis, dass es sich um eine Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung han­delt, dann ins­be­son­de­re bei der Be­stim­mung des Er­war­tungs­werts. In­so­fern emp­fiehlt es sich, diese Un­ter­richts­ein­heit erst zu be­han­deln, nach­dem die SuS mit Rei­hen etwas ver­traut sind. Vor allem die geo­me­tri­sche Reihe wird an meh­re­ren Stel­len zu­grun­de ge­legt. Wir ver­wei­sen hier auf un­se­re Ma­te­ria­li­en zum Thema Tay­lor- Rei­hen.

In der zwei­ten Dop­pel­stun­de wer­den an­hand des War­tens auf den ers­ten Dop­pel­tref­fer Mar­kov-Ket­ten ein­ge­führt und an­hand von Bei­spie­len geübt. Wich­tig sind hier­bei die Zu­stands­gra­phen, mit denen sich Mar­kov-Ket­ten ver­an­schau­li­chen las­sen. Sie wer­den im Fol­gen­den im Zu­sam­men­hang mit dem be­ding­ten Er­war­tungs­wert be­nutzt. Die­ser wird an­knüp­fend an die den SuS aus dem Ma­the­ma­tik­un­ter­richt der Klas­se 9 be­kann­te be­ding­te Wahr­schein­lich­keit the­ma­ti­siert. Wich­tig ist hier­bei – wie auch beim Er­war­tungs­wert selbst – die In­ter­pre­ta­ti­on die­ses Werts, um eine Grund­vor­stel­lung zu be­kom­men. Da der be­ding­te Er­war­tungs­wert ein wich­ti­ger Be­griff und zu­sam­men mit der For­mel vom to­ta­len Er­war­tungs­wert ein nütz­li­ches Mit­tel ist, um („nor­ma­le“) Er­war­tungs­wer­te zu be­stim­men, wer­den ver­schie­de­ne Bei­spie­le be­trach­tet. Der Un­ter­richts­gang ver­lässt hier zeit­wei­se den engen Bezug zum War­ten auf Mus­ter in einer Folge un­ab­hän­gi­ger Ber­noul­li-Ver­su­che.

In der drit­ten Dop­pel­stun­de wird die For­mel vom to­ta­len Er­war­tungs­wert her­ge­lei­tet. Zu­nächst wird die For­mel von der to­ta­len Wahr­schein­lich­keit an einem Bei­spiel ein­ge­führt und dann all­ge­mein be­wie­sen. Ob­wohl diese einen grund­le­gen­den sto­chas­ti­schen Zu­sam­men­hang be­schreibt, wird sie den meis­ten SuS ver­mut­lich un­be­kannt sein. Die For­mel von der to­ta­len Wahr­schein­lich­keit an die­ser Stel­le zu the­ma­ti­sie­re­nist je­doch aus meh­re­ren Grün­den emp­feh­lens­wert. Ers­tens ist sie bei vie­len Fra­ge­stel­lun­gen hilf­reich, um die Wahr­schein­lich­keit eines Er­eig­nis­ses zu be­stim­men, indem man es in Teil­er­eig­nis­se zer­legt, deren Wahr­schein­lich­kei­ten ein­fa­cher be­stimmt wer­den kön­nen. In­so­fern lie­fert sie al­lein schon einen Bei­trag zur sto­chas­ti­schen Bil­dung. Zwei­tens sind die Struk­tur der For­mel vom to­ta­len Er­war­tungs­wert und das Vor­ge­hen bei ihrer An­wen­dung ein­fa­cher zu ver­ste­hen, wenn man die Ent­spre­chun­gen bei der For­mel von der to­ta­len Wahr­schein­lich­keit be­reits ken­nen­ge­lernt hat. Drit­tens gibt es einen lehr­rei­chen Zu­sam­men­hang mit den Baum­dia­gram­men (vgl. Auf­ga­be 2).

In den Be­weis der For­mel vom to­ta­len Er­war­tungs­wert flie­ßen eine Reihe von Vor­kennt­nis­sen ein und es kommt auf die ex­ak­te Schreib­wei­se der Sum­men und der je­wei­li­gen In­di­zes an. Es emp­fiehlt sich des­halb, die­sen im Un­ter­richts­ge­spräch zu füh­ren.

Schließ­lich wer­den die Zu­stands­gra­phen und die For­mel für den to­ta­len Er­war­tungs­wert be­nutzt, um Er­war­tungs­wer­te für War­te­zei­ten auf be­stimm­te Mus­ter in einer Folge un­ab­hän­gi­ger Ber­noul­li-Ver­su­che zu be­stim­men. Damit wird an die Leit­fra­ge aus den ers­ten bei­den Dop­pel­stun­den an­ge­knüpft. Zu­nächst wird der Er­war­tungs­wert der Zu­falls­grö­ße be­stimmt, die die An­zahl der Ver­su­che bis zum ers­ten Dop­pel­tref­fer zählt. Es schließt sich der Er­war­tungs­wert beim War­ten auf den ers­ten Tri­pel­tref­fer an. In den Auf­ga­ben wer­den dann wei­te­re Mus­ter be­trach­tet.

Auf den ers­ten Blick ver­blüf­fend ist das Er­geb­nis, dass beim wie­der­hol­ten Wer­fen einer Münze der Er­war­tungs­wert beim War­ten auf Zahl-Wap­pen vier, beim War­ten auf Zahl-Zahl je­doch sechs be­trägt, ob­wohl die Er­geb­nis­se Zahl und Wap­pen gleich­wahr­schein­lich sind.

Wir spre­chen von War­te­zei­ten bei einer Folge un­ab­hän­gi­ger Ber­noul­li-Ver­su­che, meis­tens wird hier der Be­griff Ber­noul­li-Kette ver­wen­det. Al­ler­dings as­so­zi­ie­ren SuS bei einer Ber­noul­li-Kette eine feste Länge, hier wird je­doch nach Auf­tre­ten des ge­wünsch­ten Mus­ters ab­ge­bro­chen, d.h. die Länge der Kette ist bei jeder Durch­füh­rung un­ter­schied­lich. Al­ter­na­tiv könn­te man Ber­noul­li-Ket­ten mit ab­zähl­bar-un­end­li­cher Länge be­trach­ten. Bei­des ist u.E. für die SuS nicht hilf­reich. Des­halb wird der Be­griff Ber­noul­li-Kette weit­ge­hend ver­mie­den. Au­ßer­dem ist das Bild einer Kette an sich nicht sug­ges­tiv. Da Glie­der einer Kette in­ein­an­der­grei­fen, könn­te es da­hin­ge­hend (fehl-)in­ter­pre­tiert wer­den, dass die ein­zel­nen Ber­noul­li-Ver­su­che von­ein­an­der ab­hän­gig seien.

Grund­la­ge für die Er­stel­lung der Ar­beits­blät­ter waren Ma­te­ria­li­en von Herrn Prof. Dr. Nor­bert Henze (KIT Karls­ru­he), ihm dan­ken wir auch herz­lich für die fach­li­che Be­ra­tung. Seine Ma­te­ria­li­en sind sehr gut für eine Ein­ar­bei­tung in die fach­wis­sen­schaft­li­chen Hin­ter- grün­de des The­mas ge­eig­net. In sei­nem Buch Sto­chas­tik für Ein­stei­ger. Eine Ein­füh­rung in die fas­zi­nie­ren­de Welt des Zu­falls, in­zwi­schen in der 12. Auf­la­ge bei Sprin­ger Spek­trum er­schie- nen, fin­den sich Grund­la­gen zu den The­men geo­me­tri­sche Ver­tei­lung, be­ding­te Wahr­schein- lich­kei­ten, be­ding­te Er­war­tungs­wer­te und War­ten auf Mus­ter bei Ber­noul­li-Ver­su­chen. In sei­nem Ar­ti­kel Mus­ter in Ber­noul­li-Ket­ten, er­schie­nen in der Zeit­schrift Sto­chas­tik in der Schu­le im Jahr 2000 (Heft 21, Sei­ten 2 bis 20), wird das War­ten auf Mus­ter mit­hil­fe von Mar- kov-Ket­ten be­schrie­ben und die zu­ge­hö­ri­gen Er­war­tungs­wer­te wer­den unter an­de­rem mit- hilfe be­ding­ter Er­war­tungs­wer­te und der For­mel vom to­ta­len Er­war­tungs­wert be­stimmt. Au- ßer­dem wer­den noch wei­te­re Mus­ter be­trach­tet.

Für die fach­li­chen Ein­ar­bei­tung in die The­men der Un­ter­richts­ein­heit ist auch der YouTube- Kanal von Herrn Henze sehr emp­feh­lens­wert. Dort fin­den sich viele Vi­de­os zu sto­chas­ti­schen The­men, für hier be­son­ders re­le­vant sind:

 

Di­dak­ti­sche Hin­wei­se: Her­un­ter­la­den [pdf][183 KB]

 

Wei­ter zu Geo­me­tri­sche Ver­tei­lung