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Re­chen­re­geln in mod: Ad­di­ti­on, Mul­ti­pli­ka­ti­on und Po­ten­zie­rung

 

Re­chen­re­geln in mod: Ad­di­ti­on, Mul­ti­pli­ka­ti­on und Po­ten­zie­rung

Zu­nächst ler­nen die SuS ex­em­pla­risch die grund­le­gen­den Re­chen­ge­set­ze der mo­du­la­ren Ad­di­ti­on ken­nen. Hier­bei wird der Un­ter­schied Kon­gru­enz – Gleich­heit ex­pli­zit the­ma­ti­siert, z.B.:

a   mod   c + b   mod   c ( a + b )   mod   c ( a   mod   c + b   mod   c )   mod   c = ( a + b )   mod   c  .

Im Ar­beits­blatt Mo­du­la­res Ad­die­ren wird der Be­weis zur Re­chen­re­gel in Form einer Auf­ga­be an­ge­spro­chen. Be­wei­se in die­sem Teil­the­ma gehen in­halt­lich über den Bil­dungs­plan hin­aus; die­ser for­dert ver­bind­lich le­dig­lich die An­wen­dung und Ve­ri­fi­zie­rung der Ge­set­ze im Rah­men ex­pli­zi­ter Zah­len­bei­spie­le (BP-Item 3.​3.​2.​1 (1)).

Der Be­weis bie­tet je­doch wert­vol­le bin­nen­dif­fe­ren­zie­ren­de und me­tho­di­sche As­pek­te. Er kann z.B. mit der Me­tho­de der wach­sen­den Grup­pe und/oder ge­stuf­ten Hil­fen be­ar­bei­tet wer­den. Ein Vor­schlag für ge­stuf­te Hil­fen be­fin­det sich im An­schluss an das Ar­beits­blatt.

Die mo­du­la­re Mul­ti­pli­ka­ti­on wird vom Ab­lauf her gleich wie die Ad­di­ti­on be­han­delt (Ar­beits­blatt Mo­du­la­res Mul­ti­pli­zie­ren). Zum Be­weis der Regel gilt das bei der Ad­di­ti­on Ge­sag­te. Für eine Be­ar­bei­tung spricht zudem, dass der Be­weis prin­zi­pi­ell dem Vor­ge­hen des Be­wei­ses bei der Ad­di­ti­on folgt, hier je­doch im De­tail an­de­re Um­for­mun­gen mit Hilfe des Dis­tri­bu­tiv­ge­set­zes vor­ge­nom­men wer­den müs­sen. Nach Durch­drin­gung des Ad­di­ti­ons­be­wei­ses kön­nen die SuS hier ein Er­folgs­er­leb­nis er­fah­ren.

Um die be­nö­tig­ten Re­chen­re­geln zu kom­plet­tie­ren, wird im Ar­beits­blatt Po­ten­zie­ren (Ver­si­on CASIO) bzw. Po­ten­zie­ren (Ver­si­on TI) zu­nächst diese Re­chen­re­gel nach be­kann­ter Weise mo­ti­viert. Hier­zu exis­tie­ren zwei Ko­pier­vor­la­gen; eine für die Ver­wen­dung des TI 30-X Pro Mul­ti­view, eine für den CASIO fx-87 DE X Class­wiz.

Der (eben­falls op­tio­na­le) Be­weis der Regel ist loh­nend, weil die SuS hier leicht Er­folg haben kön­nen, ob­wohl sie sich von den bis­he­ri­gen Be­wei­sen lösen müs­sen: er weicht von den Vor­ge­hens­wei­sen, die bei Ad­di­ti­on und Mul­ti­pli­ka­ti­on zum Ziel führ­ten, ab und stützt sich auf ein­fa­che Um­for­mun­gen, bei denen le­dig­lich auf die De­fi­ni­ti­on der Po­tenz und die Mul­ti­pli­ka­ti­ons­re­gel zu­rück­ge­grif­fen wird. Zudem ist er sehr kurz.

Zu zei­gen:

a b  mod  c = ( a  mod  c ) b  mod  c

Be­weis:

a b  mod  c = ( a · · a )  mod  c = ( a  mod  c · · a  mod  c )  mod  c = ( a  mod  c ) b  mod  c   ∎

Dar­auf­hin er­fah­ren die SuS die Pro­ble­me beim Be­stim­men gro­ßer Po­ten­zen: Nach einer kur­zen Sen­si­bi­li­sie­rungs­pha­se, in der die SuS die schnell er­reich­ten Gren­zen des WTR er­le­ben, wird ein ef­fi­zi­en­tes Ver­fah­ren zur Be­rech­nung von a b  mod  n bei gro­ßen a und b her­ge­lei­tet.

Be­mer­kung:

Ge­nau­so­gut wäre es mög­lich, das Thema a b  mod  n hier aus­zu­las­sen und bei der Be­spre­chung des RSA-Ver­fah­rens die Pro­ble­ma­tik zu ent­de­cken und zu lösen. Dann je­doch wäre nach der Ein­füh­rung von RSA ein recht gro­ßer Block Theo­rie und Übung not­wen­dig, bevor die SuS in der Lage wären, auch ex­pli­zit zu ver­schlüs­seln. Eine Plat­zie­rung die­ses The­mas an der hier vor­ge­schla­ge­nen Stel­le er­mög­licht es, die Ein­heit ins­ge­samt mit einer Chif­frier- und De­chif­frier-Phase ab­zu­schlie­ßen. Eine er­in­nern­de Be­mer­kung an das zeit­lich etwas zu­rück­lie­gen­de Thema be­fin­det sich im Ar­beits­blatt.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][244 KB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][615 KB]

 

Wei­ter zu Ver­schlüs­seln mit­tels mo­du­la­rer Mul­ti­pli­ka­ti­on