Rechenregeln in mod: Addition, Multiplikation und Potenzierung

Zunächst lernen die SuS exemplarisch die grundlegenden Rechengesetze der modularen Addition kennen. Hierbei wird der Unterschied Kongruenz – Gleichheit explizit thematisiert, z.B.:

$a mod c + b mod c \equiv (a + b) mod c \Leftrightarrow (a mod c + b mod c) mod c = (a + b) mod c$ .

Im Arbeitsblatt Modulares Addieren wird der Beweis zur Rechenregel in Form einer Aufgabe angesprochen. Beweise in diesem Teilthema gehen inhaltlich über den Bildungsplan hinaus; dieser fordert verbindlich lediglich die Anwendung und Verifizierung der Gesetze im Rahmen expliziter Zahlenbeispiele (BP-Item 3.3.2.1 (1)).

Der Beweis bietet jedoch wertvolle binnendifferenzierende und methodische Aspekte. Er kann z.B. mit der Methode der wachsenden Gruppe und/oder gestuften Hilfen bearbeitet werden. Ein Vorschlag für gestufte Hilfen befindet sich im Anschluss an das Arbeitsblatt.

Die modulare Multiplikation wird vom Ablauf her gleich wie die Addition behandelt (Arbeitsblatt Modulares Multiplizieren). Zum Beweis der Regel gilt das bei der Addition Gesagte. Für eine Bearbeitung spricht zudem, dass der Beweis prinzipiell dem Vorgehen des Beweises bei der Addition folgt, hier jedoch im Detail andere Umformungen mit Hilfe des Distributivgesetzes vorgenommen werden müssen. Nach Durchdringung des Additionsbeweises können die SuS hier ein Erfolgserlebnis erfahren.

Um die benötigten Rechenregeln zu komplettieren, wird im Arbeitsblatt Potenzieren (Version CASIO) bzw. Potenzieren (Version TI) zunächst diese Rechenregel nach bekannter Weise motiviert. Hierzu existieren zwei Kopiervorlagen; eine für die Verwendung des TI 30-X Pro Multiview, eine für den CASIO fx-87 DE X Classwiz.

Der (ebenfalls optionale) Beweis der Regel ist lohnend, weil die SuS hier leicht Erfolg haben können, obwohl sie sich von den bisherigen Beweisen lösen müssen: er weicht von den Vorgehensweisen, die bei Addition und Multiplikation zum Ziel führten, ab und stützt sich auf einfache Umformungen, bei denen lediglich auf die Definition der Potenz und die Multiplikationsregel zurückgegriffen wird. Zudem ist er sehr kurz.

Zu zeigen:

$a^{b} mod c = {(a mod c)}^{b} mod c$

Beweis:

$a^{b} mod c = (a \cdot \dots \cdot a) mod c = (a mod c \cdot \dots \cdot a mod c) mod c = {(a mod c)}^{b} mod c$ ∎

Daraufhin erfahren die SuS die Probleme beim Bestimmen großer Potenzen: Nach einer kurzen Sensibilisierungsphase, in der die SuS die schnell erreichten Grenzen des WTR erleben, wird ein effizientes Verfahren zur Berechnung von $a^{b} mod n$ bei großen $a$ und $b$ hergeleitet.

Bemerkung:

Genausogut wäre es möglich, das Thema $a^{b} mod n$ hier auszulassen und bei der Besprechung des RSA-Verfahrens die Problematik zu entdecken und zu lösen. Dann jedoch wäre nach der Einführung von RSA ein recht großer Block Theorie und Übung notwendig, bevor die SuS in der Lage wären, auch explizit zu verschlüsseln. Eine Platzierung dieses Themas an der hier vorgeschlagenen Stelle ermöglicht es, die Einheit insgesamt mit einer Chiffrier- und Dechiffrier-Phase abzuschließen. Eine erinnernde Bemerkung an das zeitlich etwas zurückliegende Thema befindet sich im Arbeitsblatt.

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Weiter zu Verschlüsseln mittels modularer Multiplikation