Orts­kur­ven er­for­schen

In der 3. Stun­de wird das Kon­zept der geo­me­tri­schen Orte in den Mit­tel­punkt ge­stellt.

Als über­grei­fen­de Idee für den Geo­me­trie­un­ter­richt der Se­kun­dar­stu­fen hat sie das Po­ten­zi­al, den SuS im Sinne Ori­en­tie­rung zu geben und die in ver­schie­de­nen Jahr­gangs­stu­fen er­ar­bei­te­ten geo­me­tri­schen Orte zu ver­net­zen. Die nach­fol­gen­de Über­sicht lie­fert einen guten Über­blick¹.

In Auf­ga­be 1 wird zu­nächst an das be­kann­te Vor­wis­sen zu Kreis, Par­al­le­len, Mit­tel­senk­rech­te, Win­kel­hal­bie­ren­de, In- und Um­kreis als geo­me­tri­sche Orte von Punk­ten mit be­stimm­ten Ei­gen­schaf­ten an­ge­knüpft. In einem ers­ten Auf­trag sol­len die SuS in Auf­ga­ben­teil a)-f) die ver­schie­de­nen geo­me­tri­sche Orte le­dig­lich zeich­nen, e) und f) sind dabei als dif­fe­ren­zie­ren­de Zu­satz­auf­trä­ge ge­dacht, um un­ter­schied­li­che Be­ar­bei­tungs­ge­schwin­dig­kei­ten auf­zu­fan­gen. Nach der Prä­sen­ta­ti­on sol­len im zwei­ten Auf­trag dann g) - j) be­ar­bei­tet wer­den. Hier­bei wurde ein Git­ter hin­ter­legt, damit die SuS ein­zel­ne dis­kre­te Punk­te mit ein­fa­chen Ab­stands­über­le­gun­gen lo­ka­li­sie­ren kön­nen, bevor sie die ver­mu­te­ten Orts­kur­ven skiz­zie­ren. In den Auf­ga­ben wur­den nur Pa­ra­bel und El­lip­se ein­ge­bun­den, um es über­sicht­lich zu hal­ten. Dabei geht es le­dig­lich um qua­li­ta­ti­ve Skiz­zen, eine ge­naue­re Zeich­nung von Pa­ra­bel, Hy­per­bel und El­lip­se folgt in der zwei­ten Stun­den­hälf­te in Auf­ga­be 2.

Mög­li­cher Ex­kurs: "Laser-Zir­kel"

Nach Ver­gleich und Er­geb­nis­si­che­rung könn­te man in einem kurz ein­ge­scho­be­nen Leh­rer­vor­trag mit einem ro­tie­ren­den La­ser­poin­ter auf die Wand pro­ji­zier­te Schnitt­fi­gu­ren (El­lip­se, Pa­ra­bel, Hy­per­bel) vi­sua­li­sie­ren, um die Frage nach den geo­me­tri­schen Orten in der Ebene an­schau­lich zu mo­ti­vie­ren. Dies wäre mög­lich, falls Sie sich im Vor­feld hand­werk­lich be­tä­ti­gen oder in­ner­halb der Fach­schaft hilfs­be­rei­te Kol­le­gin­nen dafür ge­win­nen könn­ten. Falls Sie der Emp­feh­lung fol­gen und einen Ak­ku­schrau­ber zu einem mo­der­nen "Ke­gel­schnitt­zir­kel" um­rüs­ten möch­ten, bie­tet Ihnen die nach­fol­gen­de An­lei­tung dazu An­re­gun­gen.

Die Grenz­la­ge der Pa­ra­bel wird man hier­bei na­tür­lich nicht exakt tref­fen. Viel­mehr hat man die Ge­le­gen­heit, den flie­ßen­den Über­gang von El­lip­sen zu Hy­per­beln dy­na­misch zu vi­sua­li­sie­ren und die be­son­de­re Grenz­la­ge der Pa­ra­bel aktiv zu the­ma­ti­sie­ren. Beim Ein­satz bie­tet es sich an, zu­nächst nur ein­zel­ne Punk­te wie im Bild oben rechts zu pro­ji­zie­ren und den Ak­ku­schrau­ber lang­sam oder von Hand wei­ter­zu­dre­hen. Nach Ver­mu­tun­gen der SuS und ers­ten Skiz­zen in den Hef­ten bzw. an der Tafel kann man dann die voll­stän­di­gen Ke­gel­schnit­te pro­ji­zie­ren (ent­ge­gen den Bil­dern bitte mög­lichst in "senk­rech­ter" Lage, d.h. mit der Sym­me­trie­ach­se nach oben).

Er­gän­zend könn­te man zuvor ggf. noch wei­te­re Ro­ta­ti­ons­kör­per als geo­me­tri­sche Orte be­trach­ten, um auf den Dop­pel­ke­gel hin­zu­ar­bei­ten, der den Ke­gel­schnit­ten zu­grun­de liegt:

"Stel­le dir die geo­me­tri­schen Orte vor und be­schrei­be sie mög­lichst an­schau­lich":

• ein Recht­eck ro­tiert um seine län­ge­re Achse → "hoher" Zy­lin­der
• ein recht­wink­li­ges Drei­eck ro­tiert um eine sei­ner Ka­the­ten → Kegel
• die Ge­ra­de g: y=x ro­tiert um die x-Achse → lie­gen­der Dop­pel­ke­gel mit Öff­nungs­wei­te 90°
• zwei Ge­ra­den schnei­den sich in S, wobei eine um die an­de­re ro­tiert→ Dop­pel­ke­gel mit Spit­ze S
• die Ge­ra­de g: y=x ro­tiert um die y.​Achse → senk­rech­ter Dop­pel­ke­gel mit Öff­nungs­win­kel 90°

Erste Pra­xis­tests haben ge­zeigt, dass es trotz der ein­drucks­vol­len Vi­sua­li­sie­rung nicht allen SuS so­fort ge­lingt, sich die Si­tua­ti­on räum­lich vor­zu­stel­len. Da man nur die Schnitt­fi­gu­ren an der Wand, nicht aber den er­zeu­gen­den La­ser­ke­gel sieht, ist hier eine zu­sätz­li­che Vi­sua­li­sie­rung hilf­reich. Falls zur Sicht­bar­ma­chung keine Ne­ben­l­ma­schi­ne zur Ver­fü­gung steht, wird die Ver­an­schau­li­chung des Dop­pel­ke­gels mit­hil­fe der Datei M10­geo03_­Ge­kipp­ter_Ke­gel.ggb² emp­foh­len. Im Ge­gen­satz zum in Stun­de 1 ein­ge­setz­ten App­let "Ke­gel­schnit­te" ist hier nicht die Schnitt­ebe­ne, son­dern der Dop­pel­ke­gel dreh­bar, so dass die ver­schie­de­nen Ke­gel­schnit­te wie beim ech­ten Ex­pe­ri­ment an der vir­tu­el­len Wand ent­ste­hen. Falls der La­ser­zir­kel nicht ver­wen­det wird, kann die­ses App­let trotz­dem bei der Vor­be­rei­tung von Auf­ga­be 2 un­ter­stüt­zend ein­ge­setzt wer­den.

In Auf­ga­be 2 sol­len die SuS dann ein­zel­ne Punk­te von Pa­ra­bel, El­lip­se und Hy­per­bel in ein vor­ge­ge­be­nes Ras­ter­bild ein­zeich­nen³. Aus di­dak­ti­scher Sicht re­du­ziert man bei die­sem Zu­gang durch die Dis­kre­ti­sie­rung (Vor­ga­be ganz­zah­li­ger Ab­stän­de mit­hil­fe von Ras­ter­li­ni­en) zu­nächst die Kom­ple­xi­tät. Durch das Be­trach­ten ein­zel­ner aus­ge­wähl­ter Ras­ter­punk­te wer­den dabei die im Fokus ste­hen­den Ab­stand­sei­gen­schaf­ten deut­li­cher be­tont als es bei der zu­sam­men­hän­gen­den Orts­kur­ve der Fall wäre. Au­ßer­dem wird der Vor­teil ge­nutzt, dass man durch die zu­grun­de­lie­gen­de all­ge­mei­ne Leit­ge­ra­den­de­fi­ni­ti­on der Ke­gel­schnit­te gleich einen ge­mein­sa­men Zu­gang zu El­lip­se, Pa­ra­bel und Hy­per­bel rea­li­sie­ren und gleich­zei­tig die nu­me­ri­sche Ex­zen­tri­zi­tät ε als Streck­fak­tor ein­füh­ren kann: Bei einem Ke­gel­schnitt ist jeder Punkt vom Brenn­punkt ε-mal so weit ent­fernt wie von der Leit­ge­ra­de.

Die Be­ar­bei­tung er­folgt dabei zu­nächst im a)-Teil für die Pa­ra­bel, dann folgt im b)-Teil die Zeich­nung der leich­te­ren Hy­per­bel, bevor im c)-Teil durch Ein­zeich­nen der Punk­te einer El­lip­se deren span­nen­der Ent­ste­hens­pro­zess quasi "in Zeit­lu­pe" nach­voll­zo­gen wird. Dabei kön­nen die SuS den we­sent­li­chen Un­ter­schied er­ken­nen, dass eine El­lip­se als ge­schlos­se­ne Kurve im End­li­chen liegt, wäh­rend Äste von Pa­ra­beln und Hy­per­beln immer ins Un­end­li­che rei­chen.

Mit Auf­ga­be 2 ist das Stun­den­ziel er­reicht. Die Grund­la­gen, für die in der Fol­ge­stun­de mög­li­che Leit­ge­ra­den­kon­struk­ti­on im Schul­hof, ste­hen zur Ver­fü­gung.

Auf­ga­be 3 bie­tet die Ge­le­gen­heit, Hö­hen­li­ni­en als geo­me­tri­sche Orte zu cha­rak­te­ri­sie­ren. Das App­let M10­geo03_Ho­ehen­li­ni­en­_al­s_Orts­kur­ven.ggb⁴ kann bei Be­darf zur dy­na­mi­schen Vi­sua­li­sie­rung ein­ge­setzt wer­den. Hier wurde üb­ri­gens die Glei­chung einer Tri­sek­trix ein­ge­bun­den, einer in­ter­es­san­ten Kurve, mit der sich wie ihr Name an­deu­tet u.a. auch die Drei­tei­lung eines Win­kels rea­li­sie­ren lässt. Die Auf­ga­be eig­net sich auch als Haus­auf­ga­be.

Auf­ga­be 4 ist eben­falls op­tio­nal und sieht eine ver­tief­te Aus­ein­an­der­set­zung mit dem Kon­zept der Ras­ter­bil­der und dem Be­griff der nu­me­ri­schen Ex­zen­tri­zi­tät vor. Diese Auf­ga­be könn­te eben­falls als Haus­auf­ga­be ein­ge­setzt wer­den, wenn man zuvor den Un­ter­schied zu Auf­ga­be 2 her­aus­ar­bei­tet. Falls man die Auf­ga­be im An­schluss an Auf­ga­be 2 im Un­ter­richt be­ar­bei­ten las­sen möch­te, wäre eine Si­che­rung zur Un­ter­schei­dung der Ke­gel­schnitts­ar­ten mit dem ab­schlie­ßen­den Merk­satz mög­lich.