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Hüll­kur­ven und Leit­krei­se

In der op­tio­na­len ach­ten Stun­de be­steht die Mög­lich­keit, die SuS im Com­pu­ter­raum mo­ti­vie­ren­de Hüll­kur­ven von El­lip­sen und Hy­per­beln zeich­nen zu las­sen und da­nach die Leit­kreis-Kon­struk­ti­on als Er­gän­zung zur Leit­ge­ra­den-Kon­struk­ti­on ken­nen zu ler­nen. Dar­aus er­gibt sich als Ver­tie­fung zu den bis­he­ri­gen Orts­li­ni­en-Def­in­tio­nen von El­lip­sen und Hy­per­beln die Leit­kreis-De­fi­ni­ti­on als drit­te Orts­kur­ven­va­ri­an­te. Die Stun­de ist au­ßer­dem so an­ge­legt, dass die SuS alle Da­tei­en selbst er­stel­len und dabei gleich­zei­tig ihre Kom­pe­ten­zen im Um­gang mit Geo­Ge­bra er­wei­tern kön­nen. Vor­la­gen sind zu­nächst nicht vor­ge­se­hen, könn­ten aber bei Be­darf er­gän­zend zur Ver­fü­gung ge­stellt wer­den1.

Kegelschnitt

Mit der An­lei­tung in Auf­ga­be 1 kön­nen mit we­ni­gen Be­feh­len reiz­vol­le Hüll­kur­ven er­stellt wer­den. Zu­nächst liegt B in­ner­halb des Krei­ses und es ent­ste­hen Hüll­kur­ven von El­lip­sen. Die SuS va­ri­ie­ren dann die Lage des zwei­ten Brenn­punk­tes B‘ und ent­de­cken den ver­blüf­fend ein­fa­chen Zu­sam­men­hang zwi­schen den Hüll­kur­ven von El­lip­sen und Hy­per­beln. Idea­ler­wei­se konn­ten sich die SuS zuvor im Rah­men der vor­be­rei­ten­den Haus­auf­ga­be den Hüll­kur­ven schon en­ak­tiv nä­hern und brin­gen ihre ge­fal­te­ten und ge­zeich­ne­ten Hüll­kur­ven zu Be­ginn der Stun­de mit. Beim Ver­gleich von Auf­ga­be 8 kann dann schon vor Be­ar­bei­tung von Auf­ga­be 1 der geo­me­tri­sche Zu­sam­men­hang be­spro­chen und ge­klärt wer­den, dass die ge­fal­te­ten Mit­tel­senk­rech­ten Tan­gen­ten an die Ke­gel­schnit­te sind.

Auf die­ser Basis kann dann in Auf­ga­be 2 die Leit­kreis-Kon­struk­ti­on in Geo­Ge­bra um­ge­setzt wer­den. Nach der Kon­struk­ti­on der El­lip­sen und Hy­per­beln als Orts­kur­ven kann im vor­for­mu­lier­ten b)-Teil die zu­grun­de­lie­gen­de Leit­kreis­de­fi­ni­ti­on ef­fi­zi­ent ge­si­chert wer­den.

Im c) und d)-Teil kann die Brü­cke zu den be­reits aus Stun­de 7 be­kann­ten Orts­li­ni­en­de­fi­ni­tio­nen mit­hil­fe der kon­stan­ten Ab­stands­sum­me (bzw. -dif­fe­renz) ge­schla­gen wer­den. Hier be­steht nun auch die Mög­lich­keit, diese geo­me­trisch be­grün­den zu las­sen.

Mög­li­che Ver­tie­fun­gen: "Re­fle­xi­on mit Re­fle­xio­nen"

Auf­ga­be 3 nimmt die Re­fle­xi­ons­ei­gen­schaf­ten aller drei nicht-zer­fal­len­den Ke­gel­schnit­te in den Blick, die nun mit Sym­me­tri­en be­grün­det wer­den kön­nen. Die­ser op­tio­na­le Ex­kurs er­öff­net gleich­zei­tig die Mög­lich­keit einer re­flek­tie­ren­den Ge­gen­über­stel­lung von Leit­ge­ra­den- und Leit­kreis­kon­struk­ti­on im Kon­text der phy­si­ka­li­schen Re­fle­xi­ons­ei­gen­schaf­ten und könn­te so zur Ab­run­dung der Ein­heit ver­wen­det wer­den. Dabei wer­den gleich­zei­tig geo­me­tri­sche In­hal­te mit An­wen­dun­gen ver­zahnt und wei­te­re An­knüp­fungs­punk­te auf­ge­zeigt, die bei spä­te­ren Ge­le­gen­hei­ten auf­ge­grif­fen wer­den könn­ten.

Kegelschnitt

Auf­ga­be 4 er­mög­licht ab­schlie­ßend die Er­stel­lung einer ein­fa­chen Si­mu­la­ti­on zu Flüs­ter­ge­wöl­ben und kann fle­xi­bel ein­ge­setzt wer­den. Wem die­ser Kon­text nicht zu­sagt, könn­te ggf. auch aus dem Be­reich der Me­di­zin­tech­nik das Funk­ti­ons­prin­zip eines Nie­ren­stein­zer­trüm­me­res zu­grun­de legen und eine ggf. leicht mo­di­fi­zier­te Si­mu­la­ti­on er­stel­len. Ge­gen­über der in Auf­ga­be 4 ein­ge­bun­de­nen An­lei­tung wurde das im Geo­Ge­bra-Buch der SuS hin­ter­leg­te App­let noch um die nicht aus der El­lip­se aus­tre­ten­den Strah­len und die Schalt­flä­chen zur Steue­rung der Ani­ma­ti­on er­wei­tert2. Die tech­ni­sche Um­set­zung wurde zu­sätz­lich im Er­war­tungs­ho­ri­zont do­ku­men­tiert. Um Re­sul­ta­te wie oben zu er­hal­ten, muss man noch die Ei­gen­schaf­ten des Punk­tes P an­pas­sen. Unter "Al­ge­bra" soll­te man die Schritt­wei­te und Ge­schwin­dig­keit der Ani­ma­ti­on er­hö­hen (z.B. 0.8 und 4).

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4.8 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2.3 MB]

 

1Mus­ter­lö­sungs­da­tei­en fin­den Sie im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/3_vor­la­gen_­tausch­ord­ner. Sie wur­den als App­lets auf­be­rei­tet und kön­nen auf der Geo­Ge­bra-Seite im Buch "IMP10 für SuS" unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​qqfbwvmr ab­ge­ru­fen wer­den.

2Die Datei fin­det man im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/3_vor­la­gen_­tausch­ord­ner oder kann sie di­rekt im Geo­Ge­bra-Buch IMP10 für SuS unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​qqfbwvmr auf­ru­fen.

 

Wei­ter zu Pa­ra­me­ter­dar­stel­lung von Kur­ven