Parabeln

In der fünften Stunde der Einheit wird auf der Grundlage der Leitgeradenkonstruktion einer Parabel deren Gleichung (in Scheitelpunktslage) hergeleitet und damit die vernetzte Betrachtung von Geometrie und Algebra angeregt.

Aufgabe 1 dient der kognitiven Aktivierung, indem zunächst die Leitgeradendefinition einer Parabel bzw. allgemein eines Kegelschnitts wiederholt wird und anschließend eine klassische Umkehraufgabe gelöst werden muss, bei der die Abstandseigenschaften in den Blick genommen werden.

Die Leitgeradenkonstruktion in Aufgabe 2 kann nun entweder nach der Anleitung ausgeführt oder von SuS vorgestellt werden, die sich im Rahmen eines differenzierenden Zusatzauftrages vorab damit beschäftigt haben. Es werden zunächst diskrete Punkte der Parabel konstruiert, bevor dann die Parabel skizziert wird. Falls die vorgeschlagene Hausaufgabe gestellt wurde, bietet sich hier ihre Besprechung an, in den Lösungshinweisen zu Aufgabe 2 sind entsprechende Hinweise zur Hüllkurve eingebunden.

Aufgabe 3 verfolgt mehrere Ziele. Einerseits soll eine weitere Parabel bei veränderter Ausrichtung der Leitgerade konstruiert werden, um die Herleitung in Aufgabe 4 vorzubereiten, bei der die Parabelachse parallel zur x-Achse gewählt wurde. Andererseits wird die Aufmerksamkeit auch schon auf die Form der Parabel gelenkt bzw. auf den Einfluss des Abstandes von Brennpunkt und Leitgerade. Dabei wird letztlich der Kegelschnittparameter p als "halbe Öffnungsweite am Brennpunkt" eingeführt. Als Grundvorstellung sollte hier schon früh die Bedeutung von p als Maß für die Öffnung eines Kegelschnitts verankert werden.

Das Ziel der Stunde ist die Herleitung der Parabelgleichung in Aufgabe 4. Auf dem Arbeitsblatt wurde dazu eine Art algebraischer Lückentext vorgegeben, der sinnvoll ergänzt und dessen Umformungsschritte jeweils begründet werden müssen. Dazu wurde der Rahmen der in Klasse 9 eingeführten Zweispaltenbeweise aufgegriffen und in den Lösungshinweisen ein knapper Erwartungshorizont eingebunden. Bitte passen Sie die vorgegebenen Lücken den Bedürfnissen Ihrer Lerngruppe an und löschen oder ergänzen Sie ggf. weitere Stellen.
(Technischer Hinweis: Im textbasierten Formel-Editor von LibreOffice kann man die Tilde (~) als Abstandszeichen verwenden). Alternativ könnte bei Aufgabe 4 auch ein Schüler- oder Lehrervortrag erfolgen, je nachdem was für Ihre Gruppe geeigneter erscheint.

Aufgabe 5 verknüpft die neu erarbeitete Parabelgleichung mit der bereits bekannten Parabelgleichung $y=a{x}^2$ , wobei $a=\frac{1}{2p}$ gilt. Die Aufgabe ist so konzipiert, dass sie mit dem Wissen von Aufgabe 4 auch als Hausaufgabe bearbeitet werden könnte, indem das Vorgehen bei verändertem Koordinatensystem nochmals Zeile für Zeile durchgespielt wird. Der einfache Rollentausch von $x$ und $y$ sollte aus didaktischer Sicht hier nicht zu früh vorgegeben werden. Er könnte von einzelnen SuS im zur Reflexion anregenden c)-Teil am Ende entdeckt und in der Folgestunde gemeinsam besprochen werden. Aufgabe 5 kann natürlich auch als kleiner Extra-Vortrag von einzelnen SuS bearbeitet und vorgestellt werden.

Aufgabe 6 hält zwei schöne Umkehraufgaben zur Vertiefung der geometrischen Zusammenhänge bereit, die flexibel eingesetzt werden können. Überschaubare geometrische Probleme dieser Art können immer effektiv genutzt werden, um verschiedene heuristische Strategien zu reflektieren. Die Konstruktionen könnten z.B. auch von SuS mit einem DGS wie GeoGebra erstellt und dann bei schrittweiser Vorführung im Plenum kommentiert werden. GeoGebra bietet hierzu die Möglichkeit, dass die Konstruktion wie ein Film abgespielt werden kann.

Mögliche Vertiefung: Parabelzeichner.ggb

Wittmann empfiehlt im Bereich der Fadenkonstruktionen auf jeden Fall die klassische "Gärtnerkonstruktion" der Ellipse zu behandeln, da diese aufgrund ihrer einfachen Ausführung und qualitativ hochwertigen Ergebnisse viel zum Verständnis beitragen kann (vgl. [WITT], 2005).

Aufgabe 7 bietet Ihnen darüber hinaus die Möglichkeit, neben der bekannten Fadenkonstruktion der Ellipse (vgl. Stunde 8) vorab auch die Fadenkonstruktion der Parabel zu behandeln. Dabei stehen Ihnen hinsichtlich der Umsetzung viele Varianten offen. Falls Sie Zeit und Lust haben sollten, selbst etwas zu experimentieren und hier einen handlungsorientierten Zugang anzubieten, können Sie dazu die in der Materialdatei M10geo05_Parabeln.odt¹ bei im Anschluss an Aufgabe 7 eingebundene Anleitung nutzen.

Der Aufwand und Zeitbedarf zum Bau und Einsatz eines Parabelzeichners ist im Vergleich zur marginalen Nutzung in der Einheit relativ hoch. Die Beschäftigung mit historischen Zeichenwerkzeugen und ihrem mathematischen Hintergrund ist allerdings im Rahmen der Kegelschnittkonstruktionen besonders reichhaltig und könnte durchaus im Anschluss als Projektidee aufgegriffen werden, die in eine kleine Ausstellung oder langsam wachsende Sammlung historischer Zeichengeräte münden könnte².

Hier ist diese Aufgabe primär als Vertiefungsangebot gedacht, möglicherweise auch für einzelne interessierte SuS im Rahmen einer Facharbeit oder GFS. Unabhängig davon kann das Applet M10geo05_Nr7b_Parabelzeichner.ggb³ genutzt werden, um das Vorgehen dynamisch zu visualisieren und im Unterrichtsgespräch gemeinsam zu reflektieren oder das Funktionsprinzip im Rahmen eines Lehrer- oder Schülervortrags zu erläutern. In dieser Phase könnten die Zusammenhänge zur eingeführten Leitgeradenkonstruktion diskutiert und zur Abrundung wiederholt werden.

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [odt][4.8 MB]

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [pdf][2.3 MB]

¹Die Materialdatei zur 5. Stunde ist unter M03_geo/4_loesungen/ abrufbar.

²Anregungen zum Bau von historischen Zeichengeräten findet man u.a. in [SCHO],1659, oder auf der Website zu Frans van Schootens umfangreichen Werk unter http://www.fransvanschooten.nl/ . Auch Hans-Georg Weigand hat hierzu interessante Artikel verfasst (vgl. [WEIG1],1997 und [WEIG2],2005). Eine schuleigene Sammlung könnte vielseitig genutzt werden.

³Das Applet M10geo03_Nr7b_Parabelzeichner.ggb findet man unter M03_geo/3_vorlagen_tauschordner oderim GeoGebra-Book "IMP10 für SuS" unter https://www.geogebra.org/m/qqfbwvmr.

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