NAND, NOR & De Morgan
In der dritten Stunde der Einheit sollen Anwendungen der De Morganschen Regeln aufgezeigt werden. Dabei stehen zunächst die Basisgatter NAND und NOR im Mittelpunkt, da auf Basis der De Morganschen Regeln bekanntlich alle Logikschaltungen mit nur einem der beiden Gattertypen realisiert werden können. Der mathematische Hintergund kann in den Aufgaben 1-3 erarbeitet werden, während in den Aufgaben 4 und 5 eine weitere alltagsnahe Anwendung der Regeln im Kontext der aus Klasse 9 bekannten Ampelschaltungen thematisiert werden kann.
Aufgabe 1 ("Praktische Negationen") dient zunächst der Einführung (bzw. Wiederholung) der NAND und NOR-Junktoren. Auch in Klasse 10 müssen diese beiden Junktoren nicht zwingend behandelt werden, es wird aber wegen der großen Bedeutung von NAND und NOR-Gattern empfohlen, diese Gelegenheit zur Vernetzung mit dem Informatikunterricht zu nutzen. Die Bearbeitung von Aufgabe 1 dürfte zügig erfolgen und kann durch den Bezug zu Venn-Diagrammen und Hinweisen zu verschiedenen Schreibweisen abgerundet werden. Mit den zusätzlichen Informationen wird die aus didaktischer Sicht günstigere Schreibweise der Negation als Überstreichung eingeführt, auf deren Basis die Umformungen in Aufgabe 2 übersichtlicher dargestellt werden können.
In Aufgabe 2 ("NAND & NOR") wurden die Umformungsschritte zur Rückführung auf den NAND-Junktor vorgegeben, um diese sicherlich noch unbekannte Vorgehensweise ganzheitlich und effizient einführen zu können. Im a)-Teil sollen die SuS dann die Umformungsschritte analysieren und das Vorgehen beschreiben. Gleichzeitig sollten die Schritte mithilfe der Rechengesetze begründet werden, was als differenzierender Zusatzauftrag gedacht ist, der bei der Präsentation mit allen besprochen und gesichert werden kann. Die Nummern beziehen sich dabei auf das Infoblatt "Rechengesetze der Aussagenlogik" der letzten Stunde.
Um die diaktischen Vorteile der Negationsschreibweise mit Überstrich nutzen zu können, wurde diese in der Mengenalgebra weit verbreitete Schreibweise ins Spiel gebracht. Sie wird auch bei den IMP- Materialien für Informatik eingesetzt und es schadet sicher nicht, die SuS mit der Realität der Koexistenz von Schreibweisen vertraut zu machen. Hier war die Hauptmotivation die Visualisierung der Wirkung der De Morganschen Regeln. Mit dem Auftrennen ("Aufbrechen") des Negationsstriches wird die Umwandlung einer negierten Konjunktion in eine Disjunktion oder umgekehrt sehr eindrücklich transportiert. Zum Abgleich mit der bisher gewohnten Schreibweise kann auf Aufgabe 3 ("In gewohnter Weise") zurückgegriffen werden, in der die Zusammenhänge in der bekannten Notation dokumentiert sind.
Die drei nötigen Umformungsschritte könnten auch in anderer Reihenfolge ablaufen, was den Unterricht sicher nicht vereinfacht. Daher wurde in den Aufgaben 2 und 3 der Weg gewählt, eine Vorgehensweise vorzugeben, die bei allen vier Umformungsrichtungen greift und diese analysieren zu lassen. In der Besprechung könnten bei Nachfragen der SuS ggf. auch andere Reihenfolgen aufgegriffen werden, die dann aber möglichst übersichtlich dargestellt werden sollten, um Verwirrungen vorzubeugen. So könnte man z.B. bei der Rückführung der Konjunktion auf den NOR-Junktor auch folgendermaßen vorgehen:
| 1. a ∧ b ⇔ ¬ ¬ (a ∧ b) | Doppelte Negation (10) |
| 2. a ∧ b ⇔ ¬(¬ a ∨ ¬ b) | De Morgansche Regel (11‘) |
| 3. a ∧ b ⇔ ¬ [ ¬ (a ∨ a) ∨ ¬ (b ∨ b)] | Idempotenzgesetz (9) |
Optionale Vertiefung: Exkurs zum Sheffer-Pfeil
Die Vorteile eines eigenen Junktor-Symbols für die NAND- bzw- NOR-Operation wurden am Beispiel des Sheffer-Pfeils und seines Analogons, dem "Peirce-Pfeil"1, in den Musterlösungen erläutert und sind lediglich als vertiefender Hinweis für einzelne SuS gedacht. Weitergehende Informationen zu den NAND und NOR-Gattern findet man z.B. bei Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/NAND-Gatter bzw. https://de.wikipedia.org/wiki/NOR-Gatter (letzter Abruf bei beiden Links am 5.4.20). Dort findet man u.a. die Darstellung der gängigsten Verknüpfungen mit jeweils nur einem Gattertyp.
Anwendung: Ampelschaltungen
Aufgabe 4 ("Sichere Kreuzung") und Aufgabe 5 ("Kreuzung gesucht") bieten die Möglichkeit, eine andere alltagsnahe Anwendung der De Morganschen Regeln bei der Vereinfachung von Schaltungsgleichungen in den Blick zu nehmen. Dies kann ergänzend oder auch als Alternative zu den Aufgaben 1-3 erfolgen. Der vereinfachte aber überzeugende Kontext eignet sich auch perfekt dazu, die symbolischen Darstellungsformen der Schaltungsterme sprachlich zu deuten und "mit Leben zu füllen". Hinweise dazu sind in den Musterlösungen zu Aufgabe 5 eingebunden. Zur Vertiefung können Sie hier natürlich auch die bereits in Klasse 9 empfohlene Lernplattform "LogicTraffic" von Ruedi Arnold einsetzen2.
Unterrichtsverlauf: Herunterladen [odt][320 KB]
Unterrichtsverlauf: Herunterladen [pdf][215 KB]
1 In der Literatur taucht der Begriff "Peirce-Pfeil" nicht auf, man spricht meist von der Peirce-Funktion.
2 Ruedi Arnold: "LogicTraffic", https://www.swisseduc.ch/informatik/infotraffic/ (letzter Abruf: 5.4.2020)
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