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Fol­gen und ihre An­wen­dun­gen

Wie ein­gangs schon er­wähnt kann es sein, dass die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­reits viele Kennt­nis­se, ins­be­son­de­re im Um­gang mit einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on mit­brin­gen. In die­sem Fall lässt sich Teil 1 si­cher­lich auf einen Um­fang von 9 bis 10 Stun­den re­du­zie­ren. Dies käme dem zwei­ten Teil (Roll­kur­ven) zu­gu­te, der viele span­nen­de, aber auch zeit­in­ten­si­ve Mög­lich­kei­ten zum ent­de­cken­den Ler­nen bie­tet.

Stun­de 1 – 4: Fi­nanz­rech­nung

Die ers­ten vier Stun­den sind in­halt­lich durch zwei Schwer­punk­te ge­prägt. Ei­ner­seits sol­len die Schü­le­rin­nen und Schü­ler eine Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­ons­soft­ware ken­nen- und ge­schickt an­wen­den ler­nen, an­de­rer­seits wer­den Be­griff­lich­kei­ten zur Fi­nanz­rech­nung ein­ge­führt und the­ma­ti­siert wie bei­spiels­wei­se der ef­fek­ti­ve Jah­res­zins oder der EZB-Leit­zins. Die vor­lie­gen­den Ar­beits­blät­ter sind so ge­stal­tet, dass auch Schü­le­rin­nen und Schü­ler ohne jeg­li­che Vor­kennt­nis­se in die­sen Be­rei­chen dem Un­ter­richt fol­gen kön­nen. Wenn je­doch be­reits ent­spre­chen­de Vor­kennt­nis­se vor­han­den sind1, so kön­nen die Ar­beits­auf­trä­ge si­cher­lich ge­strafft und somit Zeit für wei­ter­ge­hen­de An­wen­dun­gen ge­won­nen wer­den. Die in­halt­li­che Aus­ge­stal­tung der Ar­beits­blät­ter knüpft an die be­reits vor­han­de­nen Kennt­nis­se zur Zin­ses­zins­rech­nung an. Sie greift diese auf und führt sie über das Ni­veau der Klas­sen 7 und 8 hin­aus (z.B. durch mo­nat­li­che Kre­dit­ra­ten bei jähr­li­cher Ver­zin­sung). Dabei wird der Schwer­punkt auf die Über­tra­gung und Lö­sung von Auf­ga­ben­stel­lun­gen mit­hil­fe einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on ge­legt. Das Lösen durch ite­ra­ti­ve Pro­gram­mie­rung ist hier­bei mög­lich, so wie es den Schü­le­rin­nen und Schü­lern even­tu­ell aus IMP-Phy­sik oder dem Ma­the­ma­tik­un­ter­richt be­reits be­kannt ist.

Der Un­ter­richts­gang ist so ge­plant, dass sich die Schü­le­rin­nen und Schü­ler nach einem kur­zen Ein­stiegs­im­puls (01a_­fis_­Fi­nanz­rech­nung-Ein­stiegs­im­puls) die immer kom­ple­xer ge­stal­te­ten Auf­ga­ben­stel­lun­gen (01c_­fis_­Fi­nanz­rech­nung) be­ar­bei­ten. Dabei set­zen sie eine Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­ons­soft­ware und dabei ins­be­son­de­re das „au­to­ma­ti­sche Aus­fül­len“ ein. Wel­che Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on ein­ge­setzt wird, ist dabei prin­zi­pi­ell dem Leh­rer über­las­sen. So­wohl das An­wen­den klas­si­scher Pro­gram­me wie Mi­cro­soft Excel oder Li­bre­Calc, als auch um­fas­sen­de­rer Pro­gram­me wie Geo­Ge­bra in der Ta­bel­len­an­sicht sind mög­lich. Eine An­lei­tung für den Ein­stieg und be­son­ders häu­fig be­nö­tig­ter Funk­tio­nen in die­ser Ein­heit fin­det man in der für Li­bre­Of­fice mit Screen­shots ver­se­he­nen Über­sicht 01b_­fis_­Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on-Grund­la­gen.

Die Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on von Geo­ge­bra hat sich ak­tu­ell noch als teil­wei­se in­sta­bil ge­zeigt, wobei ins­be­son­de­re das öf­ters be­nö­tig­te „au­to­ma­ti­sche Aus­fül­len“ nicht immer die ge­wünsch­ten Schrit­te durch­führt bzw. von der Ge­brauchs­wei­se in „nor­ma­len“ Ta­bel­len­kal­ku­la­tio­nen ab­weicht. Da im zwei­ten Teil die­ser Ein­heit (pa­ra­me­tri­sier­te Kur­ven) Geo­Ge­bra mit der Ta­bel­len­an­sicht zum Ein­satz kommt, könn­te man be­reits hier mit Geo­Ge­bra zu be­gin­nen, um die Soft­ware nicht wech­seln zu müs­sen – auf­grund der be­nann­ten Pro­ble­me ver­wen­det der vor­lie­gen­de Un­ter­richts­gang je­doch Li­bre­Calc.

Stun­de 5 – 7: Ma­the­ma­ti­sche Be­schrei­bung von Fol­gen

Das Ziel die­ser drei Stun­den ist es, die bis­lang „in­tui­tiv“ ver­wen­de­ten Fol­gen auf ein ma­the­ma­ti­sches Fun­da­ment zu stel­len. Aus­ge­hend von der be­kann­ten Auf­ga­ben­stel­lung „führe die Folge wei­ter“ wer­den ex­pli­zi­te und re­kur­si­ve Fol­gen­vor­schrif­ten de­fi­niert, der Bezug zu Funk­tio­nen her­ge­stellt und bei­des in­ten­siv ein­ge­übt (02_­fis_­Fol­gen_Ein­stieg). So­bald die Schü­le­rin­nen und Schü­ler diese Fach­be­grif­fe be­herr­schen, wer­den die wich­ti­gen Bei­spie­le geo­me­tri­sche und arith­me­ti­sche Fol­gen er­ar­bei­tet. Hier ist es wich­tig, dass die Be­grif­fe nicht nur „neu“ geübt, son­dern auch im Kon­text der vor­an­ge­gan­ge­nen Stun­den be­spro­chen wer­den (vgl. Auf­ga­be 1 in 03_­fis_A­ri-Geo-Folge).

Stun­de 8 – 11: Fol­gen und Wachs­tum

Zum Ab­schluss des ers­ten Teils der Ein­heit „Funk­tio­nen im Sach­kon­text“ wer­den Wachs­tum­pro­zes­se durch Fol­gen be­schrie­ben. Dabei liegt der Schwer­punkt auf den vom Bil­dungs­plan unter 3.​3.​2.​4 (2) ex­pli­zit ge­for­der­ten Wachs­tums­ar­ten: Li­ne­ar, ex­po­nen­ti­ell, be­schränkt und lo­gis­tisch. Der ma­the­ma­ti­sche „Über­bau“ be­steht darin, dass die re­kur­si­ve Be­schrei­bung der Wachs­tums­fol­gen stets durch die bei­den Teile „vor­he­ri­ger Be­stand“ und „Än­de­rungs­ra­te“ er­folgt, also , wobei r(t) je nach Wachs­tums­art va­ri­iert2.

Nach einer in­tui­ti­ven Be­griffs­bil­dung als Grup­pen­ar­beit (04a_­fis_­lin-exp-allg-Wachs­tum, Seite 1) wird diese ma­the­ma­ti­sche Grund­la­ge auf Seite 2 des­sel­ben ABs ge­legt und auf die be­reits be­kann­ten arith­me­ti­schen und geo­me­tri­schen Fol­gen (ent­spre­chend dem li­nea­ren und dem geo­me­tri­schen Wachs­tum) über­tra­gen und in ver­schie­de­nen Sach­kon­tex­ten geübt.

Das wei­te­re Vor­ge­hen sieht eine je­weils ein­zel­ne Ein­füh­rung des be­schränk­ten Wachs­tums und des lo­gis­ti­schen Wachs­tums vor. Für den Ein­stieg in das be­schränk­te Wachs­tum wurde ein Wür­fel­spiel ver­wen­det, für das man pro Schü­ler­grup­pe 120 Wür­fel be­nö­tigt (04b_­fis_­be­schr-Wachs­tum-Var1). Falls diese Menge an Wür­feln nicht zur Ver­fü­gung ge­stellt wer­den kann, kann das reale Ex­pe­ri­ment durch ein Ge­dan­ken­ex­pe­ri­ment er­setzt wer­den (04b_­fis_­be­schr-Wachs­tum-Var2) – hier­zu steht im üb­ri­gen auch eine Geo­ge­bra-Datei zur Ver­fü­gung (04-Wür­fel­spiel.ggb). Mit deren Hilfe kann man das Spiel vir­tu­ell durch­füh­ren (durch Be­tä­ti­gen der Taste F9 wer­den die Zu­falls­zah­len er­neu­ert). Aus dem Wür­fel­spiel sol­len die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zu­min­dest eine Idee für die Ab­hän­gig­keit der Än­de­rungs­ra­te vom ak­tu­el­len Be­stand (in Bezug auf eine Schran­ke) ent­wi­ckeln. Dabei ist zu er­war­ten, dass es Schü­ler­grup­pen geben wird, die die tat­säch­li­che Lö­sung fin­den. Dem­entspre­chend wird das Ple­num im An­schluss an die Ar­beits­pha­se die theo­re­ti­schen Grund­la­gen und die De­fi­ni­ti­on des be­schränk­ten Wachs­tums er­rei­chen, so­dass dann nur noch viel­fäl­tig geübt wer­den muss. Dies kann und soll­te auch unter Ein­be­zie­hung einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on statt­fin­den. Dazu fin­det man zwei Auf­ga­ben und eine ex­pe­ri­men­tel­le Grup­pen­ar­beit auf dem Ar­beits­blatt: 04c_­fis_­be­schr-Wachs­tum-Zu­satz­an­re­gun­gen. Diese sind als Aus­wahl­mög­lich­kei­ten oder auch Al­ter­na­ti­ven zu an­de­ren Auf­ga­ben im Un­ter­richt an­ge­dacht.

In der letz­ten Er­ar­bei­tungs­run­de wird noch die ma­the­ma­tisch kom­pli­zier­tes­te unter den vier be­nann­ten Wachs­tums­ar­ten be­trach­tet: Das lo­gis­ti­sche Wachs­tum. Die­ses baut auf den Kennt­nis­sen aus der Be­hand­lung von ex­po­nen­ti­el­lem und be­schränk­tem Wachs­tum auf und soll­te daher erst ein­ge­führt wer­den, wenn diese bei­den Wachs­tums­ar­ten in der Klas­se gut ver­stan­den wurde. Auch unter die­ser Vor­aus­set­zung ist das lo­gis­ti­sche Wachs­tum durch seine „Dop­pel­ab­hän­gig­keit“3 ei­ner­seits vom Be­stand, an­de­rer­seits vom Sät­ti­gungs­man­ko4 „ma­the­ma­ti­sches Neu­land“ für die Schü­le­rin­nen und Schü­ler, so­dass der ein­füh­ren­de Think-Pair-Share-Auf­trag (04d_­fis_­log-Wachs­tum) eng ge­führt an­ge­legt wurde. Viel­fäl­ti­ge Auf­ga­ben run­den die­sen The­men­be­reich ab5.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][102 KB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][130 KB]

 

1Diese kön­nen wie ein­gangs er­wähnt aus IMP-Phy­sik Klas­se 9/10 stam­men, es ist aber auch denk­bar dass Vor­kennt­nis­se aus der Zin­ses­zins­rech­nung Ma­the­ma­tik Klas­se 7/8 be­ste­hen.

2Auf­grund der di­dak­ti­schen Wahl die­ser Struk­tur wurde in der Ein­heit dar­auf ver­zich­tet, die Ver­bin­dung „be­schränk­tes Wachs­tum ist ex­po­nen­ti­el­les Wachs­tum des Sät­ti­gungs­man­kos“ ab­zu­bil­den.

3Sol­che Dop­pel­ab­hän­gig­kei­ten sind den Schü­le­rin­nen und Schü­lern bis­lang eher aus der Phy­sik be­kannt (z.B. Wär­me­aus­deh­nung).

4Das Sät­ti­gungs­man­ko wurde auf den Ar­beits­blät­tern nicht als Fach­be­griff ein­ge­führt, son­dern durch den in­tui­ti­ver zu ver­ste­hen­den Be­griff „Ab­stand zur Schran­ke“ be­zeich­net.

5Wenn noch Be­darf an wei­te­ren Auf­ga­ben be­steht, so sei auf die Ma­the­ma­tik­bü­cher für Klas­se 9 und 10 des Bil­dungs­pla­nes Ma­the­ma­tik von 2004 ver­wie­sen. Hier wur­den Wachs­tums­ar­ten mit dis­kre­ter Ma­the­ma­tik be­han­delt.

 

Wei­ter zu Pa­ra­me­tri­sier­te Kur­ven