Folgen und ihre Anwendungen

Wie eingangs schon erwähnt kann es sein, dass die Schülerinnen und Schüler bereits viele Kenntnisse, insbesondere im Umgang mit einer Tabellenkalkulation mitbringen. In diesem Fall lässt sich Teil 1 sicherlich auf einen Umfang von 9 bis 10 Stunden reduzieren. Dies käme dem zweiten Teil (Rollkurven) zugute, der viele spannende, aber auch zeitintensive Möglichkeiten zum entdeckenden Lernen bietet.

Stunde 1 – 4: Finanzrechnung

Die ersten vier Stunden sind inhaltlich durch zwei Schwerpunkte geprägt. Einerseits sollen die Schülerinnen und Schüler eine Tabellenkalkulationssoftware kennen- und geschickt anwenden lernen, andererseits werden Begrifflichkeiten zur Finanzrechnung eingeführt und thematisiert wie beispielsweise der effektive Jahreszins oder der EZB-Leitzins. Die vorliegenden Arbeitsblätter sind so gestaltet, dass auch Schülerinnen und Schüler ohne jegliche Vorkenntnisse in diesen Bereichen dem Unterricht folgen können. Wenn jedoch bereits entsprechende Vorkenntnisse vorhanden sind¹, so können die Arbeitsaufträge sicherlich gestrafft und somit Zeit für weitergehende Anwendungen gewonnen werden. Die inhaltliche Ausgestaltung der Arbeitsblätter knüpft an die bereits vorhandenen Kenntnisse zur Zinseszinsrechnung an. Sie greift diese auf und führt sie über das Niveau der Klassen 7 und 8 hinaus (z.B. durch monatliche Kreditraten bei jährlicher Verzinsung). Dabei wird der Schwerpunkt auf die Übertragung und Lösung von Aufgabenstellungen mithilfe einer Tabellenkalkulation gelegt. Das Lösen durch iterative Programmierung ist hierbei möglich, so wie es den Schülerinnen und Schülern eventuell aus IMP-Physik oder dem Mathematikunterricht bereits bekannt ist.

Der Unterrichtsgang ist so geplant, dass sich die Schülerinnen und Schüler nach einem kurzen Einstiegsimpuls (01a_fis_Finanzrechnung-Einstiegsimpuls) die immer komplexer gestalteten Aufgabenstellungen (01c_fis_Finanzrechnung) bearbeiten. Dabei setzen sie eine Tabellenkalkulationssoftware und dabei insbesondere das „automatische Ausfüllen“ ein. Welche Tabellenkalkulation eingesetzt wird, ist dabei prinzipiell dem Lehrer überlassen. Sowohl das Anwenden klassischer Programme wie Microsoft Excel oder LibreCalc, als auch umfassenderer Programme wie GeoGebra in der Tabellenansicht sind möglich. Eine Anleitung für den Einstieg und besonders häufig benötigter Funktionen in dieser Einheit findet man in der für LibreOffice mit Screenshots versehenen Übersicht 01b_fis_Tabellenkalkulation-Grundlagen.

Die Tabellenkalkulation von Geogebra hat sich aktuell noch als teilweise instabil gezeigt, wobei insbesondere das öfters benötigte „automatische Ausfüllen“ nicht immer die gewünschten Schritte durchführt bzw. von der Gebrauchsweise in „normalen“ Tabellenkalkulationen abweicht. Da im zweiten Teil dieser Einheit (parametrisierte Kurven) GeoGebra mit der Tabellenansicht zum Einsatz kommt, könnte man bereits hier mit GeoGebra zu beginnen, um die Software nicht wechseln zu müssen – aufgrund der benannten Probleme verwendet der vorliegende Unterrichtsgang jedoch LibreCalc.

Stunde 5 – 7: Mathematische Beschreibung von Folgen

Das Ziel dieser drei Stunden ist es, die bislang „intuitiv“ verwendeten Folgen auf ein mathematisches Fundament zu stellen. Ausgehend von der bekannten Aufgabenstellung „führe die Folge weiter“ werden explizite und rekursive Folgenvorschriften definiert, der Bezug zu Funktionen hergestellt und beides intensiv eingeübt (02_fis_Folgen_Einstieg). Sobald die Schülerinnen und Schüler diese Fachbegriffe beherrschen, werden die wichtigen Beispiele geometrische und arithmetische Folgen erarbeitet. Hier ist es wichtig, dass die Begriffe nicht nur „neu“ geübt, sondern auch im Kontext der vorangegangenen Stunden besprochen werden (vgl. Aufgabe 1 in 03_fis_Ari-Geo-Folge).

Stunde 8 – 11: Folgen und Wachstum

Zum Abschluss des ersten Teils der Einheit „Funktionen im Sachkontext“ werden Wachstumprozesse durch Folgen beschrieben. Dabei liegt der Schwerpunkt auf den vom Bildungsplan unter 3.3.2.4 (2) explizit geforderten Wachstumsarten: Linear, exponentiell, beschränkt und logistisch. Der mathematische „Überbau“ besteht darin, dass die rekursive Beschreibung der Wachstumsfolgen stets durch die beiden Teile „vorheriger Bestand“ und „Änderungsrate“ erfolgt, also , wobei r(t) je nach Wachstumsart variiert².

Nach einer intuitiven Begriffsbildung als Gruppenarbeit (04a_fis_lin-exp-allg-Wachstum, Seite 1) wird diese mathematische Grundlage auf Seite 2 desselben ABs gelegt und auf die bereits bekannten arithmetischen und geometrischen Folgen (entsprechend dem linearen und dem geometrischen Wachstum) übertragen und in verschiedenen Sachkontexten geübt.

Das weitere Vorgehen sieht eine jeweils einzelne Einführung des beschränkten Wachstums und des logistischen Wachstums vor. Für den Einstieg in das beschränkte Wachstum wurde ein Würfelspiel verwendet, für das man pro Schülergruppe 120 Würfel benötigt (04b_fis_beschr-Wachstum-Var1). Falls diese Menge an Würfeln nicht zur Verfügung gestellt werden kann, kann das reale Experiment durch ein Gedankenexperiment ersetzt werden (04b_fis_beschr-Wachstum-Var2) – hierzu steht im übrigen auch eine Geogebra-Datei zur Verfügung (04-Würfelspiel.ggb). Mit deren Hilfe kann man das Spiel virtuell durchführen (durch Betätigen der Taste F9 werden die Zufallszahlen erneuert). Aus dem Würfelspiel sollen die Schülerinnen und Schüler zumindest eine Idee für die Abhängigkeit der Änderungsrate vom aktuellen Bestand (in Bezug auf eine Schranke) entwickeln. Dabei ist zu erwarten, dass es Schülergruppen geben wird, die die tatsächliche Lösung finden. Dementsprechend wird das Plenum im Anschluss an die Arbeitsphase die theoretischen Grundlagen und die Definition des beschränkten Wachstums erreichen, sodass dann nur noch vielfältig geübt werden muss. Dies kann und sollte auch unter Einbeziehung einer Tabellenkalkulation stattfinden. Dazu findet man zwei Aufgaben und eine experimentelle Gruppenarbeit auf dem Arbeitsblatt: 04c_fis_beschr-Wachstum-Zusatzanregungen. Diese sind als Auswahlmöglichkeiten oder auch Alternativen zu anderen Aufgaben im Unterricht angedacht.

In der letzten Erarbeitungsrunde wird noch die mathematisch komplizierteste unter den vier benannten Wachstumsarten betrachtet: Das logistische Wachstum. Dieses baut auf den Kenntnissen aus der Behandlung von exponentiellem und beschränktem Wachstum auf und sollte daher erst eingeführt werden, wenn diese beiden Wachstumsarten in der Klasse gut verstanden wurde. Auch unter dieser Voraussetzung ist das logistische Wachstum durch seine „Doppelabhängigkeit“³ einerseits vom Bestand, andererseits vom Sättigungsmanko⁴ „mathematisches Neuland“ für die Schülerinnen und Schüler, sodass der einführende Think-Pair-Share-Auftrag (04d_fis_log-Wachstum) eng geführt angelegt wurde. Vielfältige Aufgaben runden diesen Themenbereich ab⁵.

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¹Diese können wie eingangs erwähnt aus IMP-Physik Klasse 9/10 stammen, es ist aber auch denkbar dass Vorkenntnisse aus der Zinseszinsrechnung Mathematik Klasse 7/8 bestehen.

²Aufgrund der didaktischen Wahl dieser Struktur wurde in der Einheit darauf verzichtet, die Verbindung „beschränktes Wachstum ist exponentielles Wachstum des Sättigungsmankos“ abzubilden.

³Solche Doppelabhängigkeiten sind den Schülerinnen und Schülern bislang eher aus der Physik bekannt (z.B. Wärmeausdehnung).

⁴Das Sättigungsmanko wurde auf den Arbeitsblättern nicht als Fachbegriff eingeführt, sondern durch den intuitiver zu verstehenden Begriff „Abstand zur Schranke“ bezeichnet.

⁵Wenn noch Bedarf an weiteren Aufgaben besteht, so sei auf die Mathematikbücher für Klasse 9 und 10 des Bildungsplanes Mathematik von 2004 verwiesen. Hier wurden Wachstumsarten mit diskreter Mathematik behandelt.

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