Exkurse

Exkurs: Einweg- und Falltürfunktionen

Diese (optionale) Stunde baut den systematisch grundlegenden Begriff der Einweg- und Falltürfunktionen in der Kryptographie anhand von außermathematischen Beispielen weiter aus. Hierbei sollte deutlich gemacht werden, dass diese Funktionen rar und entsprechend schwer zu finden sind. Das Konstruieren solcher Zusammenhänge stellt eine beachtliche Leistung dar und ist das Herz der Kryptographie. In diesem Zusammenhang bietet sich ein historischer Exkurs an, bei dem z.B. die Bemühungen und Erfolge der Mathematiker Diffie und Hellman in den 70er-Jahren des 20. Jahrhunderts genannt werden können, die auch den Grundstein zu den heutigen Public-Key-Verfahren legten.

Im Material finden Sie hierzu das Arbeitsblatt Einweg- und Falltürfunktionen

Bemerkung: Eine interessante Anregung zu einer weiteren Einwegfunktion unter Verwendung von Graphen findet sich bei: https://classic.csunplugged.org/wp-content/uploads/2014/12/unplugged-18-public_key_encryption_0.pdf (abgerufen 10.5.2020)

Exkurs: Neutrale und inverse Elemente

Zuerst bei der Verschlüsselung mittels Multiplikation aufgetaucht, wird uns das Problem der Bestimmung des Inversen auch im Zusammenhang mit dem RSA-Verfahren gegen Ende der Einheit wieder beschäftigen. Aus diesem Grund erscheint es sinnvoll, den an entscheidender Stelle immer wieder auftretenden Begriff der „Inversen“ etwas weiter auszuleuchten und die mathematischen Zusammenhänge systematisch darzustellen. In diesem Zusammenhang ist dann natürlich auch die Erwähnung des „neutralen Elements“ zwingend. Die Inhalte dieses Blocks sind optional und gehen über den Bildungsplan hinaus.

Das Arbeitsblatt Neutrale und inverse Elemente stellt zunächst die Begriffe des inversen und des neutralen Elements vor und definiert diese. Es wird thematisiert, dass diese abhängig von der jeweiligen der Verknüpfung sind und eine sinnvolle Bearbeitung nur mit dieser im Zusammenhang vorgenommen werden kann. Als Beispiel dient die Menge ganzen Zahlen mit der Verknüpfungen „Multiplikation“. Die Tatsache, dass ein Inverses überhaupt nicht existieren muss bzw. dass es möglicherweise ein inverses Element gibt, das jedoch nicht in der betrachteten Zahlenmenge liegt, werden angesprochen. Der Begriff der Abgeschlossenheit könnte hier ebenfalls aufgegriffen werden, wird in diesem Unterrichtsgang aber nicht weiter vertieft.

Die Bearbeitung der Verknüpfung „Addition“ wird als Übungsaufgabe vorgenommen.

Einige Detailprobleme stellen sich hier in der Formulierung der Zusammenhänge, die im Unterricht unbedingt geklärt und abgegrenzt werden müssen:

• Das neutrale Element, wird standardmäßig mit $e$ bezeichnet. Dies doppelt sich hier mit einem anderen in der Kryptographie zentralen Begriff, nämlich dem der Verschlüsselungszahl ($e$ für „encryption“). Aus diesem Grund wird hier die Bezeichnung $a$ für das neutrale Element gewählt.
• Das zu einer Zahl $a$ inverse Element $a^{-1}$ erzeugt bei den SuS die vertraute Vorstellung des Kehrwerts. Dass in dieser Formulierung viel mehr steckt, weil der Begriff des Kehrwerts evtl. in manchen Zusammenhängen gar nicht sinnvoll ist, sollte klar werden. Aus diesem Grund wird hier die Bezeichnung $b$ für das inverse Element gewählt.

Als Beispiel, dass sich die Begriffe inverses und neutrales Element nicht nur in Zahlenmengen manifestieren, wird neutrales und inverses Element bei Potenzfunktionen unter der Verknüpfung „Verkettung“ bestimmt. Obwohl der Unterrichtsinhalt „Verkettung“ erst in der Kursstufe besprochen wird, ergibt sich hier ein für die SuS gut zu verstehendes, jedoch anspruchsvolles Betätigungsfeld, das durchaus binnendifferenzierend eingesetzt werden kann.

Der hier vorgenommene Einblick kann aus Zeitgründen nur ein begrenzter Exkurs sein. Wie oben schon angesprochen, wird auf die Frage der Abgeschlossenheit nicht weiter eingegangen. Jedoch auch auf weitere, durchaus interessante Problematiken und lohnende Betätigungsfelder wie das Problem der links- und rechtsseitigen Verknüpfungen wird ebenfalls nicht eingegangen.

An dieser Stelle bieten sich weitere mögliche Felder zu mathematischem Tun; sei es in Form weiterer Exkurse im Unterricht oder auch z.B. als lohnende GFS-Themen. Ein Beispiel hierfür wäre der Themenkreis „Umkehrfunktionen“, der sich organisch aus Aufgabe 4 ergeben kann.

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