Unterrichtsverlauf

Aussagenlogik und Graphen

Die Einheit zur Aussagenlogik in Klasse 10 schließt nahtlos an die vorangegangene Einheit in Klasse 9 an. Einige der „alten“ Arbeitsmaterialien könnten ergänzend auch in Klasse 10 genutzt werden, wie z.B. die digitalen Übungsapplets oder einzelne Arbeitsblätter. In Klasse 10 findet nun aber eine behutsame Akzentverschiebung hin zur verstärkten Nutzung der Rechengesetze statt. Der fachliche Hintergrund der Booleschen Algebra wurde bei den Materialien der Klasse 9 bereits ausführlich dargestellt, so dass hierzu keine weiteren Erläuterungen erforderlich sind. Hinweise zur Vernetzung der Informatik- und Mathematik-Themen wurden bei der Beschreibung des Unterrichtsganges eingebunden.

Bei der Konzeption der Materialien für Klasse 10 wurde an einigen Stellen auf Zusammenhänge aus Klasse 9 zurückgegriffen, die fortgeführt und erweitert werden, um sie im Sinne des Spiralprinzips auf einer höheren kognitiven Ebene zu wiederholen und zu vertiefen. Deutlich wird dies beispielsweise an den De Morganschen Regeln, die in Klasse 9 intuitiv genutzt wurden und in Klasse 10 nun formal bewiesen und in Anwendungen zur Äquivalenzumformung aussage-logischer Terme eingesetzt werden.

In der ersten Stunde wird zunächst Bekanntes wiederholt, um das Vorwissen zu aktivieren und den Beweis von Tautologien mithilfe von Wahrheitswerttabellen in Erinnerung zu rufen. In diesem Zusammenhang ist auch wieder die sinnvolle Unterscheidung zwischen Bijunktion und Äquivalenz bzw. zwischen Subjunktion und Implikation ein wichtiger Aspekt. Der Begriff der Subjunktion ist im Bildungsplan als aktive Fachvokabel kursiv gekennzeichnet, weshalb es sinnvoll erscheint, ihn von der Implikation (als allgemeingültige Subjunktion) zu unterscheiden. Konsequenterweise wurde daher in Klasse 9 auch zur Unterscheidung zwischen Bijunktion und Äquivalenz geraten, die aber ebenfalls nicht zwingend erforderlich ist. Das vorliegende Material wurde gemäß dieser Empfehlung gestaltet. Bei noch nicht bewiesenen Aussagen (Vermutungen, z.B. in der Kopfzeile einer Wahrheitstafel) wird von einer Subjunktionbzw. Bijunktiongesprochen, wogegen bewiesene Tautologien (z.B. in der unteren "Ergebnis"-Zeile einer Tafel dann als Implikationbzw. Äquivalenzmit den entsprechenden Doppelpfeilen bezeichnet werden. Sie entscheiden dabei wieder vor Ort für Ihre Gruppe, wie konsequent diese Unterscheidung umgesetzt und eingefordert werden soll.

Ein erster Schwerpunkt liegt in den Stunden 2 und 3 auf dem Beweis und ersten Anwendungen der De Morganschen Regeln. Hierbei wird empfohlen, gleichzeitig einen Überblick zu weiteren Gesetzen der Aussagenlogik zu vermitteln und das Dualitätsprinzip ausgehend von den De Morganschen Regeln einzubinden. Auf diesem Fundament kann dann der zweite Abschnitt der Einheit in den Stunden 4 bis 6 mit dem Schwerpunkt auf dem Beweisverfahren durch Kontraposition altersgemäß erarbeitet werden. Auch hier wird empfohlen, das Beweisverfahren durch Kontraposition von dem durch Kontradiktion abzugrenzen, um durch die frühzeitige Gegenüberstellung möglichen Fehlvorstellungen entgegen zu wirken. Ob und bis zu welcher Tiefe dies für Ihre Klasse letztlich sinnvoll ist, entscheiden sie vor Ort. Das Material ist so strukturiert, dass sie in einem Kernprogramm auch darauf verzichten können. Dann müssen Sie lediglich ab Stunde 6 darauf achten, keine (zu schwierigen) Widerspruchsbeweise auszuwählen.

Die Stunden 7 und 8 sind als offene "zahlentheoretische Spielwiese des Beweisens" gedacht, auf der Sie sich abschließend mit ihrer Klasse umsehen und eigene Schwerpunkte setzen sollten.

Unterrichtsgang

Auf den folgenden Seiten werden Konzeption und Umsetzung des Unterrichtsgangs aus didaktischer und organisatorischer Sicht in chronologischer Reihenfolge erläutert. Die Einheit kann zunächst gedanklich in drei Abschnitte unterteilt werden.

Im ersten Block werden Grundlagen wiederholt, die De Morganschen Regeln bewiesen und ihre Anwendung dargestellt. Dieser Abschnitt behandelt sozusagen das aussagenlogische Fundament. Auf Basis der Wahrheitstafeln werden zusammengesetzte Verknüpfungen untersucht und allgemeingültige Aussagen als Tautologien bzw. Rechengesetze identifiziert. Eine Vertiefung ist hier in beliebigem Umfang möglich, indem z.B. die Rechengesetze der Aussagenlogik im Überblick betrachtet und weitere Tautologien erforscht werden.

Der zweite Block dient dem Verständnis des Beweisverfahrens durch Kontraposition und ermöglicht erste Übungen in diesem Bereich. Stunde 4 kann als Gelenkstelle gesehen werden, die auf Basis der zuvor behandelten Rechengesetze einen vertieften Blick auf die Eigenschaften der Subjunktion ermöglicht. Hier werden die aussagenlogischen Grundlagen behandelt, bevor in den Stunden 5 und 6 das Beweisverfahren durch Kontraposition an vorstrukturierten Beispielen erarbeitet und geübt wird. Als Vertiefung wird empfohlen, den Beweis durch Konstraposition vom Beweis durch Kontradiktion abzugrenzen. Daher besteht die Möglichkeit, beide indirekten Beweisverfahren und zusätzlich einige direkte Beweise einzubinden, um einen altersgemäßen Überblick zu verschiedenen Beweistechniken zu entwickeln.

Der dritte Abschnitt hält eine Auswahl an elementaren Beweisen aus dem Bereich der Zahlentheorie bereit, in denen verschiedene Eigenschaften mit Zahltermen beschrieben und begründet werden können. Die Auswahl ist hier völlig offen, so dass eigene Schwerpunkte gesetzt oder auch zusätzliche Stunden mit dem Material gestaltet werden können.

Prinzipiell gilt auch in dieser Einheit, dass es ein empfohlenes Minimalprogramm gibt, um dem Bildungsplan gerecht zu werden und darüber hinaus die Spielwiese für Vertiefungen genutzt werden kann, sofern Zeit und Interesse der SuS dies sinnvoll erscheinen lassen. Bei den folgenden Erläuterungen wird nun jeweils im Detail beschrieben, welche der Aufgaben für den Pflichtbereich konzipiert sind. Hier folgt abschließend ein erster Überblick mit optionalen Inhalten bzw. Aufgaben:

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