Kontraposition und Umkehrung

In der vierten Stunde wird die Kontraposition einer Subjunktion eingeführt und die logische Gleichwertigkeit der beiden Verknüpfungen nachgewiesen. Um Verwechslungen vorzubeugen wird wird die Kontraposition einer Aussage von Anfang an klar von deren Umkehrung abgegrenzt. Formulierungsübungen runden die Stunde ab.

In Aufgabe 1 ("Subjunktionen") wird zunächst Bekanntes zusammengefasst, indem die Äquivalenz einer Subjunktion a → b zur Disjunktion ¬ a ∨ b und zur negierten Konjunktion ¬ (a ∨ ¬ b) nachgewiesen wird. Die SuS wiederholen, dass sich jede Subjunktion zu einer Disjunktion oder negierten Konjunktion umformen lässt. Die unterschiedlichen Sichtweisen können die SuS im b)-Teil beim Ausfüllen der Venn-Diagramme enaktiv-visuell erleben, bevor im c)-Teil die Zusammenhänge mit der Definition der Subjunktion auf sprachlicher Ebene reflektiert werden. Abschließend folgt im d)-Teil ein symbolisch-formaler Beweis der Äquivalenz mithilfe der De Morganschen Regeln.

Aufgabe 2 ("Kontraposition und Umkehrung") sieht die Einführung der Kontraposition und die gleichzeitige Abgrenzung zur Umkehrung vor. Die Kontraposition wird im b)-Teil auf Basis der bewiesenen Äquivalenz zur Subjunktion am Beispiel zweier Aussagen inhaltlich gedeutet.

Mit Aufgabe 3a) ("Überblick") kann nun die Zusammenfassung der verschiedenen Darstellungsformen einer Subjunktion erfolgen. Der b)-Teil hält eine klassische Umkehraufgabe bereit und könnte damit der Differenzierung dienen, da hier bereits erste formale Umformungen gefunden und begründet werden müssen.

Damit ist die theoretische Basis gelegt und es folgen zum Abschluss der Stunde noch Übungen zum Aufstellen und Formulieren der Kontraposition und der Umkehrung einer Aussage. Sowohl in Aufgabe 4 ("Aus der Geometrie") als auch Aufgabe 5 ("Aus der Zahlentheorie") werden einfache und bekannte Aussagen behutsam untersucht. Dabei muss sorgfältig zwischen Voraussetzung und Behauptung einer Aussage unterschieden werden. Die Klarheit der formalen Termdarstellung unterstützt dabei die sprachliche Formulierung der Kontraposition und der Umkehrung. Beide Aufgaben eignen sich auch als Hausaufgabe.

In Aufgabe 6 ("Tea Time") und Aufgabe 7 ("Earl Grey") werden die Zusammenhänge in fiktiven "alltagsnahen" kleinen Dialogen sprachlich vertieft, indem logisch äquivalente Paraphrasierungen analysiert und aufgestellt werden müssen. Aufgabe 6 eignet sich dabei auch als Stundeneinstieg, während Aufgabe 7 bereits für die Überleitung auf die Analyse von Beweisstrukturen konzipiert wurde. Für die Begriffsbildung zu Beweistechniken ist es günstig, wenn eine behutsame inhaltliche Erweiterung folgt, die von einfachen Elementaraussagen wie bei Aufgabe 6 zu verknüpften Aussagen überleitet, wie sie bei "echten" Beweisen auftreten. Dazu wurde bei Aufgabe 7 in der Aussage (m ∨ z) → ¬ t die Voraussetzung (m ∨ z) als Disjunktion und die Behauptung ¬ t als Negation formuliert. Die SuS nähern sich so behutsam komplexeren zusammengesetzten Aussagen und werden für die nachfolgende logische Analyse von Beweisstrukturen sensibilisiert. Man könnte Aufgabe 7 auch als Hausaufgabe aufgeben, da man nach ihrer Besprechung direkt zur Analyse von Beweisen überleiten kann.

Aufgabe 8 ("Harry & Ron") hält zur Vertiefung noch ein schönes Logik-Rätsel bereit. Der didaktische Kern dieses Rätsels wurde in anderem Kontext bereits im Zusatzangebot der Klasse 9 als Ausblick eingebunden¹. Es handelt sich um eine anspruchsvolle Zusammenfassung, die gleichzeitig weitere Anknüpfungspunkte zur Vertiefung bietet und ggf. auch in den Auftrag münden könnte, eigene Logikrätsel zur Subjunktion, Kontraposition und ihren Deutungen zu erfinden - sicherlich ein reizvoller Zusatzauftrag für interessierte SuS.

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¹ Vgl. Aufgabe 3: "Gewonnen?" des Arbeitsblattes " zu 7) Vermischte Übungen" aus Klasse 9.

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