Beweisverfahren
Das Ziel der fünften Stunde ist es, exemplarisch vier grundlegende Beweistechniken vorzustellen und gegeneinander abzugrenzen:
- Beweis durch Gegenbeispiel (Widerlegung einer Behauptung)
- Direkter Beweis
- Indirekter Beweis durch Kontraposition
- Indirekter Beweis durch Kontradiktion / Widerspruch
Dabei fordert der Bildungsplan zunächst nur, dass die SuS das Beweisverfahren durch Kontraposition erläutern können, explizit heißt es in 3.3.2.2., Kompetenz (2): Die SuS können "die Äquivalenz einer Subjunktion zu ihrer Kontraposition mithilfe einer Wahrheitswerttabelle begründen und mit ihrer Hilfe das Prinzip des Beweisverfahrens durch Kontraposition erläutern (z.B. an der Umkehrung des Satzes des Thales)."
Das Beweisverfahren durch Kontraposition ist kein eigenständiges Beweisverfahren. Eine zu beweisende Subjunktion wird dabei in ihre logisch äquivalente Kontraposition überführt, die dann mit einem der üblichen Beweisverfahren bewiesen wird. Daher sollte man eher vom "Beweis durch Beweis der Kontraposition" statt vom "Beweis durch Kontraposition" sprechen. Da die zweite Formulierung weit verbreitet ist, wurden im Material beide Varianten eingebunden.
In dieser Stunde geht man über den Bildungsplan hinaus, wenn man das Beweisverfahren durch Kontraposition zusätzlich von anderen Verfahren abgrenzt. Der Bildungsplan wird bereits erfüllt, wenn man nur Aufgabe 3 und und in der Folgestunde die Umkehrung des Satzes des Thales oder einen anderen Satz exemplarisch durch Kontraposition beweisen lässt. Ob man daher wie vorgeschlagen die Gelegenheit zur Gegenüberstellung der Beweisverfahren nutzen kann, hängt von der Lerngruppe und der zur Verfügung stehenden Zeit ab und muss individuell entschieden werden.
Die Gründe, die für einen (kleinen) Exkurs zu Beweisverfahren sprechen, liegen indes aus didaktischer Sicht auf der Hand: Um das Beweisverfahren durch Kontraposition erläutern zu können, müssen es die SuS durchdrungen haben. Dabei ist es hilfreich, Kontraposition und Kontradiktion voneinander abzugrenzen, um naheliegenden Verwechslungen vorzubeugen.
Um die SuS nicht zu überfordern, sollte man die ersten Beweise gemeinsam im Plenum erarbeiten. Dazu wurden die vier ausgewählten Beweise als Lückentexte vorstrukturiert, die in einer Gruppen- oder Partnerarbeitsphase analysiert und ergänzt werden können. Außerdem sind die Beweise hinsichtlich ihres Anforderungsniveaus gestuft. Beweisen ist ein anspruchsvolles Thema, bei dem man kaum landesweit einheitliches Material vorgeben kann. Daher sollten Sie die für Ihre Klasse nötigen Anpassungen direkt in der odt-Datei vornehmen, indem Sie Hinweise löschen oder weitere ergänzen.
Die methodische Umsetzung ist flexibel möglich, eine Gruppenarbeit mit Staffelpräsentation oder Mischformen aus Schüler- und Lehrervortrag wären denkbar. In stärkeren Lerngruppen könnte das Material auch für ein Gruppenpuzzle eingesetzt werden, bei dem die weiteren Aufgaben dann als "Puffermaterial" für schnelle Gruppen genutzt werden könnten.
Es folgen kurze Erläuterungen zu den einzelnen Aufgaben:
Aufgabe 1 ("Rechteck = Quadrat?") dient als "Warm-Up" und wird keine Probleme bereiten. Hier soll an einem einfachen Beispiel zunächst die logische Analyse betont und das Prinzip der Beschreibung mit einem aussagelogischen Term in der Randspalte eingeführt werden.
Aufgabe 2 ("Teiler einer Differenz") hält einen inhaltlich einfachen direkten Beweis bereit, bei dem die Schwierigkeit eher in der eventuell ungewohnten formalen Darstellung der Teilbarkeit liegen wird. Daher sollte man sich hier ggf. Zeit nehmen, um Fragen zu klären, zumal einige der folgenden Beweise zur Teilbarkeit darauf aufbauen. Der hier bewiesene Zusammenhang wird übrigens in Aufgabe 4 beim Beweis durch Widerspruch in der Argumentation verwendet.
Auf Seite 2 wurde zunächst ein kurzer Informationstext eingebunden, der natürlich auch im Unterrichtsgespräch entwickelt und an der Tafel dokumentiert werden könnte. Dieser einleitende Überblick soll die Transparenz beim weiteren Vorgehen erhöhen.
Aufgabe 3 ("Gerade Quadratzahl") verwendet nun erstmals das im Mittelpunkt stehende Beweisverfahren durch Kontraposition an einem oft zitierten und wegen seiner Klarheit auch gut geeigneten Beispiel zur Teilbarkeit einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl. Auch dieser Zusammenhang wird im weiteren Verlauf aufgegriffen.
In Aufgabe 4 ("Teilerfremde Zahlen I") wurde mit der Teilerfremdheit benachbarter natürlicher Zahlen eine grundlegende Eigenschaft ausgewählt, an der das Beweisverfahren durch Widerspruch übersichtlich dargestellt werden kann und die bei den weiteren Übungen in den Stunden 7 und 8 ebenfalls mehrfach aufgegriffen wird.
Mit Aufgabe 5 ("Teilerfremde Zahlen II") kann der bereits in Aufgabe 4 durch Widerspruch bewiesene Satz zum direkten Vergleich erneut durch Kontraposition bewiesen werden. Um ein Gefühl für Beweistechniken zu entwickeln könnten dann beide Verfahren hinsichtlich ihrer Effizienz verglichen werden. Hier ist der Beweis durch Widerspruch eleganter, nutzt aber auch den in Aufgabe 2 bewiesenen Sachverhalt als ausgelagerten Argumentationsschritt. Oft werden nötige Argumentationsschritte vorab ausgelagert und als Lemma (Hilfssatz) bezeichnet. Bei der Analyse könnten solche weitergehenden Aspekte eingebunden werden.
Aufgabe 6 ("Teiler einer Summe"), Aufgabe 7 ("Anzahl von Teilern") und Aufgabe 8 ("Logik im Quadrat") stellen Übungsaufgaben bereit, die sich auch als Hausaufgabe eignen.
Mögliche Vertiefung zum Beweis durch Kontradiktion
In Aufgabe 9 (Logik des Widerspruchs") können zunächst die den Widerspruchsbeweisen zugrundeliegenden Äquivalenzen und mit einer Wahrheitstafel bewiesen werden. Im b)-Teil ist als vertiefende Übung zusätzlich der Nachweis mit Rechengesetzen der Aussagenlogik vorgesehen, der als überschaubare Übung gute SuS sicher nicht überfordern wird. In den Musterlösungen wurden außerdem noch Anmerkungen zu der Namensgebung eingebunden.
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