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Indirekte Beweise

In der sechsten Stunde stehen Übungen zum Beweisen durch Beweis der Kontraposition an, die in der erweiterten Variante durch Übungen zu Widerspruchsbeweisen ergänzt werden können.
Als Überschrift des Arbeitsblattes wurde daher "Indirekte Beweise" gewählt. Falls Ihnen das für Ihre Lerngruppe zu weit gehen sollte, können Sie die Überschrift anpassen und die Aufgaben 4, 5 und 6 überspringen oder nur zur Differenzierung individuell einsetzen.

Der Stundenschwerpunkt sollte auf dem Beweis der Umkehrung des Satzes des Thales liegen, der in Aufgabe 1 ("Thales & Co: Implikation oder Äquivalenz?") angeboten wird. Eine ausführliche Dokumentation verschiedener Beweisvarianten des Kehrsatzes des Satzes des Thales findet man im Hintergrundmaterial der Klasse 8¹. Dort wurde der Kehrsatz bereits auf direktem Weg bewiesen, woran man nun bei der Behandlung des Beweises durch Kontraposition anknüpfen kann. Falls ausreichend Zeit vorhanden ist, könnte man vorab auch eine der anderen Beweisvarianten wiederholen und dabei z.B. die zentrische Streckung oder den Umkreismittelpunkt einbinden, um durch den Vergleich den Vorteil des Beweises der Kontraposition herauszuarbeiten. Eine weitere lohnenswerte Vertiefung wäre die Wiederholung des Umfangswinkelsatzes aus Klasse 9 als Verallgemeinerung des Satzes des Thales.

Die unterrichtliche Umsetzung kann flexibel angepasst werden, denkbar wäre z.B.:

Freie Beweisführung ohne Tipps
Freier Beweis, mit vorherigem Hinweis zur Fallunterscheidung (wie vorgesehen)
Gemeinsame Erarbeitung eines Falles, Beweis des anderen als Anschlussauftrag
Differenzierte Hilfe durch Info-Karten (z.B. mit Teilpassagen der Musterlösung, ggf. auch in Form eines Beweispuzzles für Fall 1, auf dessen Basis dann Fall 2 bearbeitet werden kann)
Keine Visualisierungen vorgeben und diese ggf. selbst finden lassen
…

Unterscheidung zwischen Implikation und Äquivalenz

Nachdem die Umkehrung im d)-Teil durch Kontraposition bewiesen wurde, sollte die Gelegenheit noch genutzt werden, um im e)-Teil auf die die Unterscheidung zwischen einer Implikation und Äquivalenz einzugehen du auch deren sprachliche Formulierung zu besprechen.

Aufgabe 2 ("Teilbarkeit durch 3") und Aufgabe 3 ("Vollständig gekürzt?") bieten zwei weitere Übungsbeweise, bei denen ebenfalls sorgfältig zwischen Voraussetzung und Behauptung sowie Umkehrung und Kontraposition unterschieden werden muss. Bei der Behandlung von Aufgabe 2 könnte zusätzlich auf das Beweisprinzip der vollständigen Fallunterscheidung hingewiesen werden, das bei den weiteren Aufgaben in einigen Beweisen eingeht. Man könnte es auch als Beweisverfahren bezeichnen, das oft in Kombination mit anderen Beweisverfahren genutzt wird.

Auf der zweiten Seite kann mit Aufgabe 4 ("Irrationalität von ") ein Klassiker der Widerspruchsbeweise aus Klasse 8 wiederholt werden, um das Beweisprinzip an einem bekannten, aber wohl in Vergessenheit geratenen Beispiel zu aktivieren. Der dabei eingebundene Beweisschritt zur gleichen Parität von n² und n wurde in der vorangegangenen Stunde vorbereitend bewiesen².

Vertiefung zu den Widerspruchsbeweisen: "Satz von Euklid"

Zur Vorbereitung des Klassikers schlechthin unter den Widerspruchsbeweisen kann zunächst die Beweisübung in Aufgabe 5 ("Kleinster echter Teiler") genutzt werden, in der durch Fallunterscheidung und Widerspruch bewiesen wird, dass der kleinste von 1 verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl stets eine Primzahl ist. Dieser Beweis wird den SuS mit vorstrukturierten Beweisschritten vorgelegt, so dass die zu ergänzenden Begründungen im Mittelpunkt stehen.

Dann bietet es sich an, einleitend die Frage nach der Anzahl der Primzahlen aufzuwerfen und untersuchen zu lassen. Zwischen 1 und 10 sind mit 2, 3, 5, 7 stattliche 40% der Zahlen prim, zwischen 1 und 100 sind es dagegen nur noch 25%. Nach ersten Untersuchungen könnte den SuS die folgende Übersicht³ präsentiert werden:

Natürliche Zahlen	1−10	1−100	1−1000	1−10.000	1−100.000	1−1.000.000
Primzahlanteil in %	40	25	16,8	12,3	9,6	7,8

Die Antwort auf die naheliegende Frage, ob die Primzahlen irgendwann ganz aufhören, dürfte bekannt sein, trotzdem könnte man hier folgendes einfache Argument anführen: "Je größer eine natürliche Zahl ist, desto mehr kleinere Zahlen gibt es, die alle Teiler dieser Zahl sein könnten."

"Das Faszinierende am Beweis von Satz 2 [Satz des Euklid] ist, dass er genial einfach ist und zugleich exemplarisch sehr gut die Stärken mathematischer Argumentation aufzeigt. Selbst im gegenwärtigen Computerzeitalter können wir nämlich diesen Satz durch noch so systematisches Ausprobieren mit den leistungsstärksten Computern nicht beweisen. Wir können so zwar im Laufe der Zeit – nach unseren bisherigen Erfahrungen – vermutlich eine größere Primzahl finden, wir können aber so nicht begründen, dass es keine größte Primzahl gibt."⁴

In Aufgabe 6 ("Satz von Euklid") kann dann der zeitlos schöne Satz bewiesen werden, dazu wurde wie bei Aufgabe 5 ein vorstrukturierter Beweis eingebunden.

Anmerkung

Den Beweis gibt es in zahlreichen Varianten. U.a. könnte man hier auch die didaktisch stark reduzierte Variante nach⁵ einsetzen, die für 8-Klässler gedacht ist und im Anschluss an die Lösungen zu Aufgabe 6 eingebunden wurde:

Beweis: Satz des Euklid

Da 2 eine Primzahl ist, gibt es mindestens eine Primzahl. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen $p_{1},\dots,p_{n}$ mit $n\geq 1$ . Dann betrachten wir die ganze Zahl $m:=p_{1}\cdot p_{2}\cdot\dots\cdot p_{n}+1$ .

Da 2 eine Primzahl ist, ist $m\geq 1$ und besitzt somit mindestens einen Primteiler. Da $m$ nach Konstruktion nicht durch $p_{1},\dots,p_{n}$ teilbar ist, muss es außer $p_{1},\dots,p_{n}$ noch weitere Primzahlen geben, im Widerspruch zur Annahme. Also gibt es unendlich viele Primzahlen. □

Hier wird die Existenz des Primteilers nicht bewiesen, sondern "intuitiv" angenommen. Die Formulierung "nach Konstruktion" reduziert die Argumentation ebenso, da nicht hinterfragt wird, warum $m$ nicht durch eine der endlich vielen Primzahlen $p_{1},\dots,p_{n}$ teilbar ist. Schließlich wird am Ende bereits von weiteren Primzahlen im Plural gesprochen, obwohl vorher nur von mindestens einer weiteren Primzahl die Rede war.

Und dennoch ist der Kern der genial einfachen Argumentation erkennbar, eben didaktisch reduziert. Eventuell könnte man diese Formulierung den SuS vor oder nach dem Beweis geben, um offene Fragen formulieren zu lassen, die dann mit einem ausführlicheren Beweis beantwortet werden könnten.

Aufgabe 7 ("Gerade Einerziffer") hält abschließend eine weitere kleine Beweisübung zur Kontraposition⁶ bereit, die u.a. für die Vorbereitung auf weitere typische Wettbewerbsaufgaben genutzt werden könnte, bei denen Zahldarstellungen im Zehnersystem eine Rolle spielen.

Bei der Konzeption der abschließenden Stunden der Einheit wurden neben geeigneten einführenden Aufgaben auch diverse Wettbewerbsaufgaben zu Zahlensummen und Primzahlen eingebunden.

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [odt][320 KB]

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [pdf][215 KB]

¹ Klasse 8, Stunde 3 "Satz des Thales - Beweis des Kehrsatzes", in Datei "01_geo_hintergrund.odt", im Materialpaket der Klasse 8 unter M03_geo/1_hintergrund

² Aufgabe 3 ("Gerade Quadratzahl"), AB Beweisverfahren, in der Datei M10aug05_Beweisverfahren.odt

³ nach [PAD], 2008, Kap. III, 2 Primzahlen – Anzahl, S.37 ff

⁴[PAD], a.a.O., S. 38

⁵[LOE], Kap. 2 "Von der Idee zum Beweis", S. 10 ff.

⁶[GLO], Kap 2 Beweismethoden, Aufgabe 2.7, S. 27

Weiter zu Verblüffende Summen

In­di­rek­te Be­wei­se

Un­ter­schei­dung zwi­schen Im­pli­ka­ti­on und Äqui­va­lenz

Ver­tie­fung zu den Wi­der­spruchs­be­wei­sen: "Satz von Eu­klid"

An­mer­kung

Be­weis: Satz des Eu­klid

Indirekte Beweise

Unterscheidung zwischen Implikation und Äquivalenz

Vertiefung zu den Widerspruchsbeweisen: "Satz von Euklid"

Anmerkung

Beweis: Satz des Euklid