Verblüffende Summen
Aufgabe 1 ("Drei gewinnt!") ermöglicht einen "weichen" Einstieg, bei dem man alle SuS mitnehmen kann, indem man schrittweise auf numerischer, ikonischer und symbolischer Ebene nachweist, dass jede beliebige natürliche Zahl als Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen darstellbar ist. Bei der Besprechung der Teilaufgabe a) könnte der im d)-Teil folgende Beweis bereits exemplarisch geführt werden, indem am Beispiel der Zahl 51 eine Beweisstrategie erarbeitet wird, die sich danach auf jedes Vielfache von 3 übertragen lässt1.
Wie zu sehen ist, wird der Zusammenhang im b)-Teil auf ikonischer Ebene einprägsam dargestellt, wobei durch "…" angedeutet wird, dass er für jedes beliebige Vielfache von 3 gilt. Eine im c)-Teil aufgestellte Vermutung soll dann im d)-Teil bewiesen werden. Dabei bleibt es den SuS überlassen, ob sie eine Subjunktion formulieren wie z.B. "Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie als Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen darstellbar", oder ob sie eine Bijunktion aufstellen wie z.B. "Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei aufeinanderfolgenden (natürlichen) Zahlen darstellen, wenn sie durch 3 teilbar ist.". In den Musterlösungen wurde die Formulierung als Bijunktion eingebunden, da man so bei der Besprechung erneut auf den Unterschied zwischen einer bewiesenen Implikation und Äquivalenz eingehen könnte. Erstmals wird hier auch eine Äquivalenz bewiesen, indem beide Richtungen in einer Argumentationskette nachgewiesen werden. Mit den SuS könnte reflektiert werden, dass dies nur möglich ist, wenn ausnahmslos Äquivalenzumformungen verwendet werden.
Nach diesem Einstieg kann nahtlos Aufgabe 3 ("Fünfersummen") angeschlossen werden, bei der die Kernidee des Beweises auf numerischer, ikonischer und symbolischer Ebene auf die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen übertragen werden kann. Dies bietet sich allerdings auch als Hausaufgabe an. Zur Vertiefung wäre auch die Ausweitung auf 7, 9, 11 oder mehr Zahlen denkbar, oder man geht gleich zu Aufgabe 7 ("Summe aufeinanderfolgender Zahlen") über, in der allgemein bewiesen wird, dass jede natürliche Zahl als Summe einer ungeraden Anzahl aufeinanderfolgender Zahlen dargestellt werden kann2.
Belässt man es wie vorgeschlagen zunächst bei Aufgabe 1, so könnte man im zweiten Teil der Stunde Aufgabe 2 ("Gaußsche Summenformel") behandeln, um die nützliche Berechnung der Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu wiederholen oder neu einzuführen. Aufgabe 2 könnte dabei auch in die interessante Welt der figurierten Zahlen einführen, die mit Einzelaufträgen und Vorträgen weiter erkundet werden könnte. Daher wurden in der Aufgabenstellung auch die Dreieckszahlen erwähnt und in den Musterlösungen dezente Hinweise zu figurierten Zahlen eingebunden. Anregungen hierzu findet man z. B. bei Alfred S. Posamentier in seiner Sammlung von 119 Unterrichtseinheiten zur Mathematik oder bei Heinz Klaus Strick seinem ersten Buch "Mathematik ist schön"3.
Die Aufgaben 4 bis 6 halten weitere Übungen bereit. In Aufgabe 4 ("Im Taubenschlag") könnte man das wichtige "Schubfachprinzip", auch bekannt als "Dirichlet-Prinzip" anschaulich und altersgemäß einführen, ohne von injektiven Abbildungen und ihren Eigenschaften Gebrauch zu machen. Dieses Prinzip leistet bei bestimmten Beweisen gute Dienste und kommt häufiger in Wettbewerbsaufgaben zur Anwendung. Der Beweis des Prinzips liefert gleichzeitig eine elegante Anwendung des Beweisverfahrens durch Widerspruch.
Aufgabe 5 ("Drei aus fünf")4 stellt eine zunächst vielleicht überraschende und schöne inhaltliche Erweiterung der Einstiegsaufgabe dar und greift beim Beweis auf eine Variation des Schubfachprinzips zurück. Hier wird bewiesen, dass man aus fünf beliebigen natürlichen Zahlen immer drei so auswählen kann, dass ihre Summe durch 3 teilbar ist.
Aufgabe 6 ("Summe von Quadraten") bietet zur Abwechslung einen direkten Beweis, bei dem elementare Algebra-Kenntnisse gefragt sind. Das sichere Übersetzen der Formulierungen in Zahlterme und die Anwendung der binomischen Formeln können hier geübt werden. Ggf. wird man in der Aufgabenstellung noch weitere Hinweise einbinden, falls die Aufgabe nicht wie hier intendiert als Zusatzauftrag für stärkere SuS eingesetzt werden soll.
Aufgabe 7 ("Summe aufeinanderfolgender Zahlen") ermöglicht wie bereits erwähnt eine Vertiefung der Teilbarkeitsaussagen zu Summen
aufeinanderfolgender Zahlen.
Der Beweis der Äquivalenz "Die Summe von k aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen lässt sich genau dann durch k teilen, wenn k eine ungerade Zahl
ist" leitet gleichzeitig zur nächsten Stunde über. Dort wird der Zusammenhang zwischen ungeraden Zahlen und Quadratzahlen als Aufhänger für einen
anschaulichen Einstieg ins reichhaltige Themenfeld der Primzahlen genutzt.
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1Vgl. [PADB], 2008, 3. Auflage, Kap. 1.2, S.11 ff
2Zur Vertiefung bieten sich hier auch Aufgaben aus zurückliegenden Mathematik-Wettbewerben an, z.B. [LWM], 2017, Projekt "Zahlensummen" im Zusatzmaterial
3[POS], UE 82: "Summenformeln für Figurationszahlen": [STR], Kap 2: "Muster aus bunten Steinen"
4Nach [MAE], Kap III: "Zahlentheoretische Probleme", Aufgabe 5, S. 42
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