Über­ra­schen­de Prim­zah­len

In der ab­schlie­ßen­den ach­ten Stun­de be­steht die Mög­lich­keit, ei­ni­ge in­ter­es­san­te zah­len-theo­re­ti­sche Zu­sam­men­hän­ge rund um die Prim­zah­len zu ent­de­cken und be­wei­sen zu las­sen.

Als Ein­stieg wird aus­drück­lich Auf­ga­be 1 ("Be­nach­bar­te Qua­drat­zah­len") emp­foh­len, da sich bei der Dar­stel­lung der un­ge­ra­den Zah­len als Dif­fe­renz zwei­er be­nach­bar­ter Qua­drat­zah­len aus di­dak­ti­scher Sicht wert­vol­le Syn­er­gie­ef­fek­te nut­zen las­sen. Ei­ner­seits ist auch hier ein sehr an­schau­li­cher Zu­gang auf ver­schie­de­nen Dar­stel­lungs­ebe­nen mög­lich, an­de­rer­seits han­delt es sich um einen wich­ti­gen zah­len­theo­re­ti­schen Zu­sam­men­hang, auf des­sen Grund­la­ge die Dar­stel­lung der un­ge­ra­den Zah­len in der Form­mit­ver­tieft durch­drun­gen wer­den kann.

Dar­über hin­aus kön­nen hier men­gen­theo­re­ti­sche Vor­stel­lun­gen (u.a. zur Teil­men­gen­re­la­ti­on) ver­mit­telt und kon­kret die Prim­zah­len als Teil­men­ge der un­ge­ra­den Zah­len cha­rak­te­ri­siert wer­den. Beim Be­weis lässt sich damit auch un­ter­schwel­lig das "Prin­zip der Ge­ne­ra­li­sie­rung" ver­deut­li­chen, nach dem es ein­fa­cher sein kann, einen all­ge­mei­ne­ren Satz (hier über die un­ge­ra­den Zah­len) zu be­wei­sen, um damit gleich­zei­tig den schwie­ri­ger zu be­wei­sen­den Spe­zi­al­fall (hier für die Teil­men­ge der Prim­zah­len) ab­zu­han­deln. Nicht zu­letzt könn­te im An­schluss als op­tio­na­le Ver­tie­fung der rote Faden der fi­gu­rier­ten Zah­len auf­ge­grif­fen wer­den, um im An­schluss an die Gauß­sche Sum­men­for­mel zu den Drei­ecks­zah­len nun auch die Sum­men­for­mel für die ers­ten n Drei­ecks­zah­len und wei­ter für die ers­ten n Qua­drat­zah­len zu ent­wi­ckeln (vgl. [Pos], Ein­heit 82, a.a.O.).

Damit wäre be­reits das Ziel einer reich­hal­ti­gen, run­den Stun­de er­reicht, in der bei Be­darf auch noch Auf­ga­be 2 oder Auf­ga­be 3 zur Dif­fe­ren­zie­rung ge­nutzt wer­den könn­ten. Beide Auf­ga­ben eig­nen sich aber auch als An­schluss­auf­trä­ge für Haus­auf­ga­ben oder Ein­zel­vor­trä­ge.

Auf­ga­be 2 ("Ein­deu­tig­keit der Dar­stel­lung") er­mög­licht den Be­weis der ver­tie­fen­den Ein­sicht, dass die für alle un­ge­ra­den Zah­len mög­li­che Dar­stel­lung als Dif­fe­renz zwei­er Qua­drat­zah­len für die Teil­men­ge der Prim­zah­len sogar ein­deu­tig ist. Ein­lei­tend könn­te man die Ein­deu­tig­keit der Dif­fe­renz­dar­stel­lung zu­nächst auf nu­me­ri­scher Ebene für die ers­ten un­ge­ra­den Zah­len un­ter­su­chen las­sen. Man würde so z.B. ent­de­cken, dass $11=6^2-5^2$ und $13=7^2-6^2$ ein­deu­tig dar­stell­bar sind, wäh­rend die Nicht-Prim­zahl $15$ wegen $15=8^2-7^2$ und $15=5\cdot 3=(4+1)\cdot (4-1)=4^2-1^2=16-1$ nicht ein­deu­tig als Dif­fe­renz zwei­er Qua­drat­zah­len dar­stell­bar ist, bevor der Satz mit einem schö­nen di­rek­ten Be­weis be­stä­tigt wird. Beim Be­weis wer­den die drit­te bi­no­mi­sche For­mel und die De­fi­ni­ti­on der Prim­zah­len ele­gant kom­bi­niert, um ein LGS zwei­er Be­din­gun­gen auf­zu­stel­len, aus dem durch Rech­nung (z.B. mit dem Ein­set­zungs­ver­fah­ren) die Ein­deu­tig­keit ge­fol­gert wer­den kann, eine schö­ne Übung zur Ver­net­zung ma­the­ma­ti­scher Ba­sis­kom­pe­ten­zen.

Auf­ga­be 3 ("Knapp da­ne­ben") lie­fert die Grund­la­ge für die fol­gen­den Auf­ga­ben, indem die be­kann­te, aber bei ers­tem Kon­takt span­nen­de Ein­sicht be­wie­sen wird, dass die Prim­zah­len ab 3 immer um 1 neben den Viel­fa­chen von 4 und die Prim­zah­len ab 5 immer um 1 neben den Viel­fa­chen von 6 lie­gen. For­mal kann dies ele­gant durch die über­sicht­li­che­ren Term­dar­stel­lun­gen $p=4\cdot n\pm 1$ für $n\ge 3$ bzw. $p=6\cdot n\pm 1$ für $n\ge 5$ aus­ge­drückt wer­den.

Auf­ga­be 4 ("Prim­zah­len ers­ter und zwei­ter Art") knüpft di­rekt an die Dar­stel­lung $p=4\cdot n\pm 1$ aus Auf­ga­be 3 an und nutzt das Prin­zip der Auf­ga­ben­va­ria­ti­on, indem hier statt der Dar­stel­lung der un­ge­ra­den Zah­len als Dif­fe­renz von Qua­drat­zah­len (wie bei Auf­ga­be 1) die Dar­stel­lung als Summe von Qua­drat­zah­len un­ter­sucht wird. Dies führt zur Un­ter­schei­dung der Prim­zah­len "ers­ter und zwei­ter Art", wobei nur Prim­zah­len ers­ter Art die be­son­de­re Ei­gen­schaft haben, dass sie als Summe zwei­er Qua­drat­zah­len dar­stell­bar sind. Der Ein­stieg über zwei Zah­len­fol­gen er­mög­licht die Wie­der­ho­lung der Mo­du­lo-Schreib­wei­se und aus Sicht der Men­gen­leh­re die Ein­füh­rung des Be­griffs der Dis­junkt­heit auf Basis in­tui­ti­ver Vor­stel­lun­gen. Au­ßer­dem bie­tet die Auf­ga­be eine Übungs­mög­lich­keit für das Be­weis­ver­fah­ren der Kon­tra­po­si­ti­on.

Auf­ga­be 5 ("Prim­zahl­freie Fün­fer­se­ri­en") knüpft an den zwei­ten Teil von Auf­ga­be 3 an und bie­tet die Mög­lich­keit, die Un­ter­su­chung der Prim­zah­len auf deren Qua­dra­te aus­zu­wei­ten, um zu wei­te­ren zah­len­theo­re­ti­schen Ein­sich­ten zu ge­lan­gen. Durch Qua­drie­ren von $p=6\cdot n\pm 1$ ge­langt man mit einer klei­nen Übung zur Nut­zung der bi­no­mi­schen For­meln zu $p^2=36n^2\pm 12\cdot n+1$ und kann nach ein­fa­chen Teil­bar­keits­un­ter­su­chun­gen die Exis­tenz un­end­lich vie­ler Se­ri­en von fünf auf­ein­an­der­fol­gen­den Nicht-Prim­zah­len nach­wei­sen.

Auf­ga­be 6 ("Zehn Zif­fern") kann als Übungs­auf­ga­be ge­nutzt wer­den, um die Quer­sum­men­re­geln für die Teil­bar­keit durch 3 bzw. 9 und ggf. die Gauß­sche Sum­men­for­mel zu wie­der­ho­len, wäh­rend der b)-Teil eine Zu­satz­auf­ga­be zur Dif­fe­ren­zie­rung mit einem Be­weis durch Wi­der­spruch be­reit hält.

Mit Auf­ga­be 7 ("Vier­und­zwan­zig") ist eine wei­te­re Be­weis­übung ver­bun­den. Durch einen di­rek­ten Be­weis lässt sich hier die Er­kennt­nis ge­win­nen, dass die Qua­dra­te von Prim­zah­len immer um 1 grö­ßer sind als Viel­fa­che von 24, an­de­rer­seits kann man mit der Suche nach Ge­gen­spie­len für die Um­keh­rung auf­zei­gen, dass das Fin­den eines Ge­gen­bei­spiels manch­mal einen etwas län­ge­ren Atem be­nö­tigt. Daran könn­te sich die Un­ter­su­chung aus­ge­wähl­ter qua­dra­ti­scher Terme an­schlie­ßen, die auf der nächs­ten Seite kurz er­läu­tert wird.

Ab­schlie­ßend ließe sich mit Auf­ga­be 8 ("Qua­drat­zah­len ge­sucht") noch­mals eine schö­ne Ver­net­zung ver­schie­de­ner zah­len­theo­re­ti­scher Ein­sich­ten mo­ti­vie­ren. Die Auf­ga­be stammt aus dem Lan­des­wett­be­werb Ma­the­ma­tik Baden-Würt­tem­berg¹ und könn­te als Über­lei­tung zu einem ver­tie­fen­den Ex­kurs zur Be­hand­lung wei­te­rer Wett­be­werbs­auf­ga­ben die­nen. Dazu bie­tet sich bei­spiels­wei­se die sorg­fäl­tig auf­be­rei­te­te Auf­ga­ben­samm­lung an, die von der Auf­ga­ben­kom­mis­si­on an­läss­lich des 30-jäh­ri­gen Ju­bi­lä­ums des Wett­be­werbs er­stellt wurde².

Mög­li­che Ver­tie­fun­gen

"Fas­zi­nie­ren­de Terme" – Jagd nach Ge­gen­bei­spie­len

Qua­dra­ti­sche Fol­gen lie­fern lange Rei­hen auf­ein­an­der­fol­gen­der Prim­zah­len. So könn­te bei­spiels­wei­se die Zah­len­fol­ge auf Basis der pro­vo­kan­ten Aus­sa­ge
"ist für jede na­tür­li­che Zahl n eine Prim­zahl" un­ter­sucht wer­den. Erst für n=41 fin­det man das erste Ge­gen­bei­spiel 1681=41², das man frei­lich mit einem "schar­fen Blick" auch so­fort er­ken­nen kann. Die ers­ten 10 Ein­set­zun­gen könn­ten dabei als Übung zur Wie­der­ho­lung der klei­ne­ren Qua­drat- und Prim­zah­len durch­aus von Hand bzw. "im Kopf" be­rech­net wer­den. Dann soll­ten aber eine Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on und ggf. Prim­zahl­ta­bel­len ver­wen­det wer­den, um die Jagd nicht zu sehr in die Länge zu zie­hen. Al­ter­na­tiv könn­te auch der mo­di­fi­zier­te Term be­trach­tet wer­den. Er lie­fert die glei­chen Zah­len ein Fol­gen­glied frü­her, da bzw. gilt, wie beim Ver­gleich zu sehen ist. Viel­leicht möch­ten man­che Ihrer SuS an­schlie­ßend noch den Term un­ter­su­chen? Wer es aber gerne kom­pak­ter und mit his­to­ri­schen Bezug mag, dem sei Eu­lers Qua­drat­term ans Herz ge­legt, mit dem man für die ers­ten Ein­set­zun­gen von 0 bis 15 die 16 Prim­zah­len 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 und 257 er­hält.

ULAM-Spi­ra­le

Eu­lers Term könn­te auch zur ULAM-Spi­ra­le über­lei­ten, einem nach wie vor nicht voll­stän­dig er­klär­ba­ren Phä­no­men, bei dem auch qua­dra­ti­sche Terme eine Rolle spie­len³. Man könn­te im An­schluss an den Aus­flug zu den qua­dra­ti­schen Fol­gen die Spi­ra­le ins Spiel brin­gen und ihren Be­ginn ex­em­pla­risch zeich­nen las­sen, bevor ein­schlä­gi­ge Sei­ten im In­ter­net ge­nutzt wer­den⁴. Qua­dra­ti­sche Terme wie z.B. a_n=n²+n+41 (s.o.) er­zeu­gen wie oben ge­se­hen Prim­zah­len, die in der Spi­ra­le dann auf Dia­go­na­len er­schei­nen. Beim erst­ge­nann­ten App­let wer­den u.a. zu jeder Prim­zahl aus­ge­wähl­te er­zeu­gen­de qua­dra­ti­sche Terme ein­ge­blen­det. Be­wei­se zu Fa­kul­tä­ten und Prim­zah­len

Man könn­te die Fa­kul­tät ein­füh­ren (oder wie­der­ho­len) und nach ein­fa­chen ein­lei­ten­den kom­bi­na­to­ri­schen Be­trach­tun­gen fol­gen­de Sätze be­wei­sen las­sen:

"Für jede na­tür­li­che Zahl n ist die Summe 1+2+...+n genau dann Tei­ler der Fa­kul­tät n!, wenn n+1 keine Prim­zahl ist."⁵

"Für $n\ge 3$ liegt zwi­schen $n$ und $n!$ stets min­des­tens eine Prim­zahl."⁶

 

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Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][215 KB]

 

¹LWM Baden-Würt­tem­berg, 2008/09, Runde 1, Auf­ga­be 5 (Be­weis­va­ri­an­ten sind aus­ge­ar­bei­tet)

²[LWM], 2017

³Vgl. https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Ulam-​Spi­ra­le (letz­ter Auf­ruf: 9.4.2020) oder http://​www.​num​bers​pira​l.​com/​index.​html (letz­ter Auf­ruf (9.4.2020)

⁴z.B. von Dario Al­pern: https://​www.​al­per­tron.​com.​ar/​ULAM.​HTM (letz­ter Auf­ruf: 9.4.2020)

⁵Vgl. z.B. LWM Baden-Würt­tem­berg, 2003/04, Runde 1, Auf­ga­be 6

⁶Vgl. z.B. [PAD], Kap. III.5 "Prim­zahl­z­wil­lin­ge und Prim­zahl­lü­cken, Satz 5, S. 49

 

Wei­ter zu Aus­blick – An­knüp­fungs­punk­te