Dandelinsche Kugeln – Nachweis geometrischer Orte

"Vielleicht hat er [Dandelin] einmal im Schein einer Kerze auf seinem Schreibtisch denelliptischen Schatten einer daneben liegenden Billiardkugel betrachtet und sich gefragt, ob derAuflagepunkt der Kugel nicht eine bekannte geometrische Eigenschaft hat."¹

Die nach dem belgischen Mathematiker Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) benanntenKugeln genießen einen gewissen Kultstatus, da auf ihren Eigenschaften einige sehranschauliche und einprägsame Beweise beruhen, die sich wegen ihrer Klarheit und ihresästhetischen Reizes für differenzierende Zusatzaufträge in Klasse 10 anbieten.

Am Beispiel des Beweises der Konstanz der Abstandssumme einer Ellipse, die der Brennpunkt-Definition zugrunde liegt, soll dies ausgeführt werden. Die Kugeln sind hier im Querschnitt undSchrägbild zu sehen, mit dem über den QR-Code verknüpften Applet² können Sie die Situationräumlich erkunden:

Die Dandelnischen Kugeln besitzen die definierende Eigenschaft, dass sie den Doppelkegel (in einem Kreis) und die Schnittebene (in einem Punkt) berühren. Durch den Ellipsenpunkt $P$ wurde die Mantellinie eingezeichnet, welche die beiden Berührkreise in den Punkten $K_1$ und $K_2$ schneidet. Die Konstanz des Mantellinienabschnitts $\overline{K_1{K}_2}$ lässt sich mithilfe der Animation anschaulich motivieren und mit der Drehsymmetrie des Kegels begründen. Weil die Tangentenabschnitte an eine Kugel von einem Punkt außerhalb der Kugel gleich lang sind, gilt außerdem $\overline{P{B}_1}=\overline{P{K}_1}$ und $\overline{P{B}_2}=\overline{P{K}_2}.$ Damit gilt für jeden Ellipsenpunkt $P:\overline{P{B}_1}+\overline{P{B}_1}=\overline{P{K}_1}+\overline{P{K}_2}=\overline{K_1{K}_2}=konst.$

Die Beweise für Hyperbel oder Parabel verlaufen in der Grundstruktur ähnlich und könnten als differenzierende Zusatzaufträge begabte SuS angemessen fordern und fördern. Sie sind beispielsweise in den unten angegebenen Quellen ausführlich dargestellt³.

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [odt][5 MB]

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [pdf][2.3 MB]

¹ zitiert nach [HALB], 2016, Kap. 7.5., S. 147.

² Die Bezeichnung "Applet" als Abkürzung für "Applikation" scheint sich durchzusetzen. Dieses Applet wird unter https://www.geogebra.org/m/jfeewf5p#material/thnnjyyv von der GeoGebra-Seite aufgerufen. Um den Umgang mit solchen Monsterlinks zu erleichtern, wurden alle Applets in zwei GeoGebra-Büchern zusammengefasst, so dass letztendlich nur zwei Links benötigt werden. Alle Dateien stehen im Materialpaket unter M03_geo/3_vorlagen_tauschordner bzw. 6_GeoGebra-Ergaenzung zur Verfügung.

³ Vgl. z.B. [SCHE2], 2007, Kap. VI.2, VI.3,VI.4 oder [HALB], 2016, Kap. 7.5., Satz 7.14, S. 147-149.

Weiter zu Grundlegende Eigenschaften