Dan­de­lin­sche Ku­geln – Nach­weis geo­me­tri­scher Orte

"Viel­leicht hat er [Dan­de­lin] ein­mal im Schein einer Kerze auf sei­nem Schreib­tisch den­el­lip­ti­schen Schat­ten einer da­ne­ben lie­gen­den Bil­li­ard­ku­gel be­trach­tet und sich ge­fragt, ob der­Auf­la­ge­punkt der Kugel nicht eine be­kann­te geo­me­tri­sche Ei­gen­schaft hat."¹

Die nach dem bel­gi­schen Ma­the­ma­ti­ker Ger­mi­nal Pier­re Dan­de­lin (1794-1847) be­nann­ten­Ku­geln ge­nie­ßen einen ge­wis­sen Kult­sta­tus, da auf ihren Ei­gen­schaf­ten ei­ni­ge sehr­an­schau­li­che und ein­präg­sa­me Be­wei­se be­ru­hen, die sich wegen ihrer Klar­heit und ih­res­äs­the­ti­schen Rei­zes für dif­fe­ren­zie­ren­de Zu­satz­auf­trä­ge in Klas­se 10 an­bie­ten.

Am Bei­spiel des Be­wei­ses der Kon­stanz der Ab­stands­sum­me einer El­lip­se, die der Brenn­punkt-De­fi­ni­ti­on zu­grun­de liegt, soll dies aus­ge­führt wer­den. Die Ku­geln sind hier im Quer­schnitt un­d­Schräg­bild zu sehen, mit dem über den QR-Code ver­knüpf­ten App­let² kön­nen Sie die Si­tua­ti­on­räum­lich er­kun­den:

Die Dan­del­ni­schen Ku­geln be­sit­zen die de­fi­nie­ren­de Ei­gen­schaft, dass sie den Dop­pel­ke­gel (in einem Kreis) und die Schnitt­ebe­ne (in einem Punkt) be­rüh­ren. Durch den El­lip­sen­punkt $P$ wurde die Man­tel­li­nie ein­ge­zeich­net, wel­che die bei­den Be­rühr­krei­se in den Punk­ten $K_1$ und $K_2$ schnei­det. Die Kon­stanz des Man­tel­li­ni­en­ab­schnitts $\overline{K_1{K}_2}$ lässt sich mit­hil­fe der Ani­ma­ti­on an­schau­lich mo­ti­vie­ren und mit der Dreh­sym­me­trie des Ke­gels be­grün­den. Weil die Tan­gen­ten­ab­schnit­te an eine Kugel von einem Punkt au­ßer­halb der Kugel gleich lang sind, gilt au­ßer­dem $\overline{P{B}_1}=\overline{P{K}_1}$ und $\overline{P{B}_2}=\overline{P{K}_2}.$ Damit gilt für jeden El­lip­sen­punkt $P:\overline{P{B}_1}+\overline{P{B}_1}=\overline{P{K}_1}+\overline{P{K}_2}=\overline{K_1{K}_2}=konst.$

Die Be­wei­se für Hy­per­bel oder Pa­ra­bel ver­lau­fen in der Grund­struk­tur ähn­lich und könn­ten als dif­fe­ren­zie­ren­de Zu­satz­auf­trä­ge be­gab­te SuS an­ge­mes­sen for­dern und för­dern. Sie sind bei­spiels­wei­se in den unten an­ge­ge­be­nen Quel­len aus­führ­lich dar­ge­stellt³.

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][5 MB]

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¹ zi­tiert nach [HALB], 2016, Kap. 7.5., S. 147.

² Die Be­zeich­nung "App­let" als Ab­kür­zung für "Ap­pli­ka­ti­on" scheint sich durch­zu­set­zen. Die­ses App­let wird unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​jfee­wf5p#​ma­te­ri­al/​thn­n­jy­yv von der Geo­Ge­bra-Seite auf­ge­ru­fen. Um den Um­gang mit sol­chen Mons­ter­links zu er­leich­tern, wur­den alle App­lets in zwei Geo­Ge­bra-Bü­chern zu­sam­men­ge­fasst, so dass letzt­end­lich nur zwei Links be­nö­tigt wer­den. Alle Da­tei­en ste­hen im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/3_vor­la­gen_­tausch­ord­ner bzw. 6_­Geo­Ge­bra-Er­ga­en­zung zur Ver­fü­gung.

³ Vgl. z.B. [SCHE2], 2007, Kap. VI.2, VI.3,VI.4 oder [HALB], 2016, Kap. 7.5., Satz 7.14, S. 147-149.

Wei­ter zu Grund­le­gen­de Ei­gen­schaf­ten