Ke­gel­schnit­te - Ein­füh­rung

In der ers­ten Stun­de sol­len die Schü­le­rin­nen und Schü­ler (SuS) zu­nächst eine räum­li­che Vor­stel­lung zu den Ke­gel­schnit­ten und deren Klas­si­fi­ka­ti­on ent­wi­ckeln, indem sie diese als Schnitt­fi­gu­ren von Dop­pel­ke­gel und Ebene en­ak­tiv ent­de­cken und er­for­schen kön­nen. Im Rah­men eines Sta­ti­ons­be­triebs wer­den dabei je nach Klas­sen­grö­ße 5 bis 6 Sta­tio­nen an­ge­bo­ten, wobei Sta­tio­nen in grö­ße­ren Lern­grup­pen auch dop­pelt vor­han­den sein könn­ten. Die SuS er­kun­den in Klein­grup­pen ver­schie­de­ne ein­fa­che Sze­na­ri­en und be­schrei­ben je­weils die reale Re­prä­sen­ta­ti­on der Schnitt­ebe­ne und des Ke­gels kurz mit ihren Wor­ten. Dabei geht es nicht um Voll­stän­dig­keit oder Ex­akt­heit, son­dern um den Auf­bau einer dy­na­mi­schen Vor­stel­lung, die durch die be­tei­lig­ten Dreh­be­we­gun­gen mo­ti­viert wird und letzt­lich zur Un­ter­schei­dung der Ke­gel­schnit­te in Ab­hän­gig­keit der Dreh­win­kel führt. De­tails sind im Er­war­tungs­ho­ri­zont an­ge­ge­ben.

Nach dem of­fe­nen Sta­ti­ons­be­trieb bie­tet sich dann Auf­ga­be 2 zur Zu­sam­men­füh­rung und Er­geb­nis­si­che­rung an. Die ver­schie­de­nen Ke­gel­schnit­te wer­den dabei in Ab­hän­gig­keit der be­tei­lig­ten Nei­gungs­win­kel klas­si­fi­ziert. Zur Dif­fe­ren­zie­rung kann bei Auf­ga­be 2c) auch der zu­ge­hö­ri­ge halbe Öff­nungs­win­kel des Ke­gels the­ma­ti­siert wer­den, der über­li­cher­wei­se zur Un­ter­schei­dung her­an­ge­zo­gen wird.

Op­tio­na­ler Ex­kurs zur Ver­tie­fung – Ob­jek­te im 3D-Ko­or­di­na­ten­sys­tem

Die Auf­ga­ben 3 und 4 sind als Ver­tie­fungs­an­ge­bot ge­dacht. Sie kön­nen ent­we­der als Ein­zel­auf­trä­ge für in­ter­es­sier­te SuS oder als Ex­kurs für die ge­sam­te Lern­grup­pe ge­nutzt wer­den. Mit Auf­ga­be 3 könn­te man in einer hin­füh­ren­den Un­ter­richts­pha­se mit Geo­Ge­bra al­ge­brai­sche Be­schrei­bun­gen von Kegel und Ebene er­ar­bei­ten und dabei den Satz des Py­tha­go­ras räum­lich in­ter­pre­tie­ren. Eine Er­ar­bei­tungs­ab­fol­ge er­gibt sich dabei di­rekt aus den Teil­auf­ga­ben a) und b). Mit dem App­let M10­geo01_N­r3_­Py­tha­go­ras_im_Ke­gel.ggb¹ kann die räum­li­che In­ter­pre­ta­ti­on in Teil b) zu­sätz­lich vi­su­ell un­ter­stützt wer­den:

Wie im Bild zu sehen ist, kön­nen mit dem App­let ein­zel­ne Schich­ten des Ke­gels als Krei­se vi­sua­li­siert wer­den, deren Spu­ren ein­ge­zeich­net wer­den, wenn man den Schie­be­reg­ler z ("Höhe h") be­wegt. Der Zu­sam­men­hang aus dem a)-Teil wird nun dy­na­misch in­ter­pre­tiert. Da die Man­tel­li­ni­en des Ke­gels einen Stei­gungs­win­kel von 45° zur Grund­riss­ebe­ne be­sit­zen, ent­spricht die Höhe z der Schnitt­ebe­ne auch dem Ra­di­us des Schnitt­krei­ses. Mit zu­neh­men­der Höhe z wächst daher auch der Ra­di­us des zu­ge­hö­ri­gen Schnitt­krei­ses. Bei kon­ti­nu­ier­li­cher Zu­nah­me von z er­gibt sich so Schicht für Schicht ein Kegel bzw. Dop­pel­ke­gel, wenn man den Vor­gang auch nach unten fort­setzt.

Auf die­ser Basis kann dann die Er­stel­lung einer Ba­sis­ver­si­on des App­lets mit­hil­fe der An­lei­tung bei Auf­ga­be 4 in Part­ner- oder Ein­zel­ar­beit er­fol­gen. Die Datei lässt sich auf­grund ihrer ein­fa­chen Struk­tur auch di­rekt in der 3D-App von Geo­Ge­bra mit einem Smart­pho­ne er­stel­len.

An­mer­kun­gen zur Wahl, Kon­zep­ti­on und Rea­li­sie­rung der Sta­tio­nen

Zur Um­set­zung des ein­füh­ren­den Sta­tio­nen­be­triebs kön­nen Sie sich Ihre Sta­tio­nen aus dem nach­fol­gend be­schrie­be­nen An­ge­bot zu­sam­men­stel­len. Dabei wer­den die Sta­tio­nen 1-6 (bzw. 1-5) als Ba­sis­sta­tio­nen vor­ge­schla­gen, die durch wei­te­re Sta­tio­nen er­setzt oder er­gänzt wer­den kön­nen, in Ab­hän­gig­keit des je­weils mög­li­chen Auf­wands und der Ge­ge­ben­hei­ten vor Ort.

Wei­te­ren Ideen sind na­tür­lich keine Gren­zen ge­setzt. Aus den nach­fol­gen­den Ma­te­ria­li­en könn­ten Sie bei­spiels­wei­se ver­schie­de­ne Fa­den­kon­struk­tio­nen (vgl. 5. und 7. Stun­de) oder Hüll­kur­ven­kon­struk­tio­nen (vgl. Stun­de 8) ein­bin­den oder his­to­ri­sche Zei­chen­ge­rä­te bauen². Viel­leicht haben Sie auch an Ihrer Schu­le El­lip­sen­zir­kel oder Ex­po­na­te zu den be­kann­ten Re­fle­xi­ons­ei­gen­schaf­ten von Pa­ra­beln, El­lip­sen oder Hy­per­beln, die Sie ein­bin­den kön­nen.

Bei einer "nor­ma­len" 45-mi­nü­ti­gen Stun­de soll­te der Sta­ti­ons­be­trieb mit ca. 25 min nicht zu lange aus­ge­dehnt wer­den. An jeder Sta­ti­on soll­ten ca. 5 min aus­rei­chen, um nach einem ers­ten Zu­gang die Be­ob­ach­tun­gen und Er­geb­nis­se zu no­tie­ren, damit für die Er­geb­nis­si­che­rung am Ende aus­rei­chend Zeit bleibt. Bei einer Dop­pel­stun­de und aus­rei­chend Zeit in der Ge­samt­pla­nung könn­te man auch die reiz­vol­le räum­li­che In­ter­pre­ta­ti­on des Sat­zes des Py­tha­go­ras rea­li­sie­ren. Dabei könn­ten Sie auch auf die von An­selm Lam­bert ver­öf­fent­lich­ten An­re­gun­gen zur Va­ria­ti­on und dy­na­mi­schen In­ter­pre­ta­ti­on des be­rühm­ten Sat­zes zu­rück­grei­fen³.

Ab­schlie­ßend fol­gen tech­nisch-or­ga­ni­sa­to­ri­sche In­for­ma­tio­nen zu den ein­zel­nen Sta­tio­nen.

Sta­tio­nen 1-3: "Licht- und Schat­ten­spie­le"

Man muss sich ge­eig­ne­te Lam­pen be­sor­gen und selbst im Vor­feld etwas Zeit zum Ex­pe­ri­men­tie­ren in­ves­tie­ren. Für Sta­ti­on 1 eig­nen klei­ne runde LED-Lämp­chen wie auf dem Bild (links) deut­lich bes­ser als Tee­lich­ter. Die Licht­quel­le ist bei den LED-Lämp­chen zwar nicht genau in der Mitte des Zy­lin­ders, dafür ist der Licht­schein hel­ler als bei einem Tee­licht. Bei einem Tee­licht kommt man zwar ohne Bat­te­ri­en aus, hat dafür aber ein grö­ße­res Si­cher­heits­ri­si­ko und stark schwan­ken­de Hel­lig­keit. Für Sta­ti­on 2 eig­net sich eine nor­ma­le Ta­schen­lam­pe oder eine LED-Hand­lam­pe (rechts im Bild) aus dem Bau­markt. Für Sta­ti­on 3 ei­ge­nen sich Ta­schen­lam­pen mit einem ring­för­mi­gen Plas­tik­ab­schluss. Für die Fotos wurde ein klei­nes Lämp­chen aus dem 1€-Laden ver­wen­det, das ei­gent­lich als LED-Lam­pen­kor­ken eine Fla­sche be­leuch­ten soll­te.

Als Zy­lin­der für Sta­ti­on 1 bie­ten sich die In­nen­rol­len von Toi­let­ten­pa­pier an, die man ggf. noch außen be­ma­len oder mit Ton­pa­pier be­kle­ben kann. Für den kreis­för­mi­gen Schat­ten­spen­der bei Sta­ti­on 2 kann man nor­ma­len Kar­ton oder wie in den Bil­dern Bier­de­ckel ein­set­zen. Wenn SuS in Klein­grup­pen ex­pe­ri­men­tie­ren, kann die Papp­schei­be in Ko­ope­ra­ti­on ge­hal­ten wer­den und die Fi­xie­rung mit einem Holz­spies o.ä. ist nicht nötig.

Sta­ti­on 4 und 7: "Was­ser­spie­le"

Sta­ti­on 4 ("Trich­ter im Was­ser") lässt sich ein­fach be­reit­stel­len. Man be­nö­tigt le­dig­lich Was­ser in einem aus­rei­chend tie­fen Gefäß und einen ge­wöhn­li­chen Zy­lin­der aus Me­tall oder Plas­tik.

Sta­ti­on 7 ("Was­ser im Trich­ter") ist nicht so ne­ben­bei zu rea­li­sie­ren und bleibt daher wahr­schein­lich den in­ter­es­sier­ten Hand­wer­ke­rin­nen und Hand­wer­ken vor­be­hal­ten. Aus die­sem Grund wurde sie nicht auf den bei­den ers­ten Sei­ten ein­ge­bun­den, son­dern erst bei den op­tio­na­len Sta­tio­nen auf der drit­ten Zu­satz­sei­te. Sie bie­tet al­ler­dings das in­ten­si­ve­re "Ke­gel­schnit­t­er­leb­nis" und aus di­dak­ti­scher Sicht reich­hal­ti­ge­re An­knüp­fungs­punk­te, da man den ver­schlos­se­nen Trich­ter im Raum vor sich dre­hen kann. So lässt sich bei­spiels­wei­se die Sym­me­trie der Ke­gel­schnit­te zur Ke­gelach­se leich­ter ent­de­cken. Vor allem kann aber die be­son­de­re Grenz­la­ge der Pa­ra­bel ein­drucks­vol­ler er­lebt wer­den, ins­be­son­de­re wenn man sie als rote Grenz­li­nie auf dem äu­ße­ren Trich­ter­rand mar­kiert.

Für die Her­stel­lung be­nö­tigt man neben einem Plas­tikt­rich­ter (ca. 3-6€, je nach Men­ge­nab­nah­me) trans­pa­ren­tes Si­li­kon (für den was­ser­dich­ten Ab­schluss) und eine Plas­tik­schei­be, die man z.B. aus Plas­tik­de­ckeln von Auf­be­wah­rungs­bo­xen schnei­den kann, die auch ein­zeln ohne Box er­hält­lich sind. Al­ter­na­tiv kann man auch trans­pa­ren­te "Tief­zieh­fo­li­en" ver­wen­den, die sich mit der Sche­re schnei­den las­sen. Falls man die sta­bi­le­ren Plas­tik­schei­ben ver­wen­det, muss man ent­we­der "heiß schnei­den" oder mit einer klei­nen Säge (hier ein Mul­ti­funk­ti­ons­werk­zeug) wie im Bild einen Kreis aus­sä­gen. Nach dem Glät­ten der Schnitt­kan­te hat es sich be­währt, den Trich­ter­rand zu­nächst mit reich­lich Si­li­kon auf der Plas­tik­schei­be zu ver­kle­ben.

Der Trich­ter muss dabei ent­we­der von oben aus­rei­chend be­schwert oder in einem Schraub­stock ein­ge­spannt wer­den und die Ver­kle­bung soll­te "über Nacht" trock­nen, bevor (zuvor ab­ge­koch­tes und ab­ge­kühl­tes) Was­ser ein­ge­füllt und der Trich­ter dann mit Si­li­kon was­ser­dicht ver­schlos­sen wird. Mit der Was­ser­men­ge soll­te man vorab ex­pe­ri­men­tie­ren, um die ge­wünsch­te Wir­kung zu er­zie­len. Al­ter­na­tiv kann man den Trich­ter wie im Bild auch mit einem ko­ni­schen Kor­ken bzw. Gum­mi­ver­schluss ver­schlie­ßen. So ist der Trich­ter zwar nicht auf Dauer was­ser­dicht, kann aber je­der­zeit neu be­füllt bzw. ent­leert wer­den.

Sta­ti­on 5: Vir­tu­el­le Schnit­te

Diese Sta­ti­on er­for­dert einen PC oder ein Ta­blet. Das App­let M10­geo01_A_Ke­gel­schnit­te.ggb kann ent­we­der über die Geo­Ge­bra-Web­site im be­glei­ten­den Geo­Ge­bra-Book der Ein­heit auf­ge­ru­fen oder vorab auf­ge­spielt wer­den, falls Geo­Ge­bra auf dem End­ge­rät in­stal­liert ist.

Das App­let knüpft an die ver­schie­de­nen Zu­gän­ge an und stellt z.B. im An­schluss an die Was­ser­spie­le eine vir­tu­el­le "For­schungs­um­ge­bung" zur Ver­fü­gung, in wel­cher die Schü­le­rin­nen und Schü­ler die Nei­gung der Schnitt­ebe­ne va­ri­ie­ren und die Si­tua­ti­on aus ver­schie­de­nen räum­li­chen Per­spek­ti­ven be­trach­ten kön­nen. Der je­weils ent­ste­hen­de Ke­gel­schnitt wird hier be­reits nach Typ un­ter­schied­lich ge­färbt, um den Zu­gang zu er­leich­tern. Wenn man dies nicht möch­te, kann man die dy­na­mi­sche Farb­ge­bung des Ke­gel­schnitts lö­schen (unter Ei­gen­schaf­ten, im Re­gis­ter "Er­wei­tert") oder al­ter­na­tiv eine zwei­te nicht ein­ge­färb­te Kurve er­stel­len und mit einem Kon­troll­käst­chen die Aus­wahl­mög­lich­keit zwi­schen den Kur­ven rea­li­sie­ren.

Sta­ti­on 6: Ge­schnit­te­ne Kegel

Diese Sta­ti­on er­mög­licht den SuS einen be­son­de­ren en­ak­ti­ven Zu­gang, da sie selbst ei­ge­ne Kegelschnit­te durch­füh­ren kön­nen. Auf­wand und Kos­ten blei­ben bei früh­zei­ti­ger Be­stel­lung in grö­ße­ren Ein­hei­ten über­schau­bar. Klei­ne­re Sty­ro­por­ke­gel (z.B. h=12cm,. r=2,5cm) sind be­reits für ca. 50-60ct pro Stück er­hält­lich, grö­ße­re Kegel (h=25cm) kos­ten da­ge­gen ca. 3-4€. Wei­ter ist es zu emp­feh­len, dass die Schu­le einen Heiß­draht­schnei­der ("Sty­ro­por­schnei­der") an­schafft, der einen ge­spann­ten er­wärm­ba­ren Draht be­sitzt und glat­te Schnit­te er­mög­licht.

An vie­len Schu­len dürf­te ein sol­ches Gerät auch be­reits vor­han­den sein. Ent­schei­det man sich hier für ein hö­her­wer­ti­ges Gerät, sind auch schrä­ge Schnit­te mög­lich. Bei güns­ti­ge­ren Heiß­schnei­dern ist eine zu­sätz­li­che Füh­rungs­schie­ne zu emp­feh­len. Eine ge­ra­de Schnitt­füh­rung des Sty­ro­por­schnei­ders ist bei lan­gen Schnit­ten ohne Füh­rungs­leis­te sonst nur schwer rea­li­sier­bar. Die rechts ab­ge­bil­de­te Füh­rungs­leis­te be­steht aus einem Rund­holz­stab (14mm), der lot­recht in einem Holz­brett ver­leimt wurde. Am Holz­stab kann man den Sty­ro­por­schnei­der ent­lang füh­ren und einen auf dem Holz­brett ste­hen­den und von Hand fi­xier­ten Sty­ro­por­ke­gel gut schnei­den. Dabei las­sen sich auch "schrä­ge" Schnit­te rea­li­sie­ren, wenn man den Kegel auf dem Brett ent­spre­chend seit­lich neigt. Wenn SuS gut im Team ar­bei­ten, kann eine Füh­rungs­leis­te auch von Hand fi­xiert wer­den, eine Un­ter­kon­struk­ti­on wie im Bild wäre dann nicht er­for­der­lich.

Sta­ti­on 8: Ku­geln im Trich­ter

Die ab­ge­bil­de­ten Trich­ter sind als "Fang- oder Ge­schick­lich­keits­spie­le" er­hält­lich. Der klei­ne­re Trich­ter hat eine Ge­samt­län­ge von un­ge­fähr 18cm und kos­tet ca. 2,50 € pro Stück. Die "Jumbo"-Ver­si­on hat eine Ge­samt­län­ge von ca. 32cm und kos­tet ca. 5€ pro Stück. Auf­wen­di­ger ist die Suche nach ge­eig­ne­ten pas­sen­den Ku­geln. Hier soll­te man ver­schie­de­ne Bälle tes­ten, um fün­dig zu wer­den.

Hat man zwei ge­eig­ne­te Bälle ge­fun­den, so muss man nur noch eine pas­sen­de Papp-El­lip­se her­stel­len. Dazu kann man die große und klei­ne Hal­bach­se nä­he­rungs­wei­se mes­sen (oder be­rech­nen) und mit einem DGS die zu­ge­hö­ri­ge El­lip­se samt Brenn­punk­ten zeich­nen (mit den Schie­be­reg­lern a und b als Hal­bach­sen). Sta­ti­on 8 be­rei­tet den Ein­satz des App­lets bei Sta­ti­on 9 vor, das man auch di­rekt ein­set­zen könn­te, falls der Auf­wand für Sta­ti­on 8 zu groß er­scheint.

Sta­ti­on 9: Dan­de­lin­sche Ku­geln

Wie bei Sta­ti­on 5 wird ein PC, Ta­blet oder ein Smart­pho­ne be­nö­tigt. Auch hier kann das App­let M10­geo01_B_D­an­de­lin­sche_Ku­geln.ggb ent­we­der über die Geo­Ge­bra-Web­site im be­glei­ten­den Geo­Ge­bra-Book der Ein­heit auf­ge­ru­fen oder vorab auf­ge­spielt wer­den, falls Geo­Ge­bra auf dem End­ge­rät in­stal­liert ist. Das App­let er­mög­licht Ent­de­ckun­gen im Um­feld der Dan­de­lin­schen Ku­geln. Mög­li­che Be­ob­ach­tungs­auf­trä­ge wur­den auf dem Ar­beits­blatt for­mu­liert und samt Er­war­tungs­ho­ri­zont be­schrie­ben. Die ent­ste­hen­den Ke­gel­schnit­te wur­den auch hier un­ter­schied­lich ge­färbt, um den Zu­gang zu er­leich­tern. Wenn man dies nicht möch­te, kann man auch die dy­na­mi­sche Farb­ge­bung des Ke­gel­schnitts lö­schen oder eine zu­sätz­li­che un­ge­färb­te Kurve ein­bin­den.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4.8 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2.3 MB]

 

¹ Das App­let fin­det man im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/6_­Geo­Ge­bra-Er­ga­en­zung oder kann es auf der Geo­Ge­bra-Seite im Buch "IMP10 für Lehr­kräf­te" unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​jfee­wf5p ab­ru­fen.

² An­re­gun­gen hier­zu fin­den Sie z.B. bei der Be­schrei­bung der 5. Stun­de in den Er­läu­te­run­gen zu Auf­ga­be 7, wo der Bau eines Pa­ra­bel­zeich­ners er­läu­tert wird.

³ An­selm Lam­bert: "Eine Glei­chung – viele Bil­der", in ma­the­ma­tik­leh­ren 216, Ok­to­ber 2019, S.40-42.

 

Wei­ter zu Re­fle­xi­on bei Pa­ra­beln