Reflexion bei Parabeln

Die 2. Stunde folgt einem Unterrichtsvorschlag von Dörte Haftendorn¹ und bietet außerhalb des Pflichtbereichs die Möglichkeit, die Leitgeraden-Definition einer Parabel sinnstiftend zu motivieren. Ausgehend von den Reflexionseigenschaften einer Parabel können Ihre SuS die Leitgerade und damit die Ortsliniendefintion einer Parabel mithilfe einer Simulation entdecken. Außerdem werden die geometrischen Grundlagen der Leitgeraden-Konstruktion in Stunde 4 vorentlastet, so dass mit dieser Stunde ein insgesamt "weicherer" Einstieg in die Einheit möglich ist. Die Stunde kann entweder im Computerraum oder mit digitalen Endgeräten im Klassenzimmer umgesetzt werden.

In Aufgabe 1a) werden zunächst Anwendungen vorgestellt, bevor die Reflexionseigenschaften der Parabel entdeckt und in einem Merksatz gesichert werden. Dabei wurden zwei Paraboloide und ein parabolischer Zylinder eingebunden, damit die didaktische Reduktion vom dreidimensionalen Paraboloid über den dreidimensionalen parabolischen Zylinder auf eine zweidimensionale Parabel als Querschnitt des Zylinders intuitiv nachvollzogen werden kann. Die Reflexionseigenschaften sollen nur für den zweidimensionalen Fall mit dem Applet M10geo02_Nr1_Parabeln_erkunden.ggb² nachvollzogen werden. Falls man die Möglichkeit hat, die Reflexion an einem parabolischen Spiegel im Experiment zu zeigen oder als Schülerexperiment anzubieten, wäre das ein eindrucksvoller Zugang. In Hinblick auf eine niederschwellige und zeiteffiziente Umsetzung wurde hier der Weg über die virtuelle Simulation gewählt. Aufgabe 1b) kann begleitend differenzierend eingesetzt werden, so dass die drei Anwendungen im Anschluss an die Sicherung von einzelnen SuS erklärt werden können.

Mit Aufgabe 2 wird das Prinzip des kürzesten Weges an dem bekannten "Feuerwehr-Beispiel" wiederholt, um die Begründungsbasis für die Leitgeradenkonstruktion vorzubereiten. Dazu können die SuS die Datei M10geo02_Nr2_Kuerzester_Weg.ggb nutzen, um die passende Wasserentnahmestelle W durch Probieren zu finden und anschließend deren geometrische Konstruktion zu aktivieren. Das zugrundliegende Fermatsche Prinzip wurde in Klasse 8 in der Physikeinheit "Optik und Bilderfassung" (vgl. IMP-Bildungsplan 3.1.3.1) ausführlich behandelt. Die SuS sollten hier die Spiegelung in GeoGebra möglichst auch selbst ausführen, um das Konstruktionsprinzip für die spätere Anwendung in Aufgabe 3 zu sichern. Falls Ihre Klasse das Fermatsche Prinzip bereits sicher beherrscht, wäre hier die Übertragung auf einen kurvenförmigen Flussverlauf eine reizvolle Alternative. Anregungen hierzu finden Sie in der ergänzenden GeoGebra-Datei M10geo02_Nr2_Kuerzester_Weg_mit_Kurve.ggb³.

In Aufgabe 3 kann dann dann die Datei M10geo02_Nr3_Leitgerade.ggb⁴ eingesetzt werden, um die Leitgeradeneigenschaft im a)-Teil zu entdecken, bevor im b)-Teil die Abstandseigenschaften untersucht und begründet werden. Die daraus resultierende Leitgeraden-Defintion einer Parabel wird abschließend als Merksatz gesichert.

Aufgabe 4 ist als mögliche Ergänzung gedacht und dient bereits der Vorbereitung der Leitgeraden-Konstruktion. Man könnte sie als anspruchsvollere Hausaufgabe einsetzen oder schnellen SuS als vorbereitende Zusatzaufgabe stellen.

Als Hausaufgaben bieten sich allgemeine Rechercheaufträge zu Anwendungen der Reflexion an oder auch gezielte Aufträge wie z.B: die Erklärung des Funktionsprinzips einer SAT-Antenne, einem Autoscheinwerfer oder einer klassischen Taschenlampe.

Mögliche Exkurse / Vertiefungen:

Konstruktionen mit Alltagsbezug in GeoGebra

Man kann Fotos in GeoGebra hinterlegen und mit dem Parabelwerkzeug jeweils passende Konturparabeln konstruieren lassen, um den Umgang mit der Leitgerade einer Parabel und ihrem Brennpunkt anwendungsbezogen zu vertiefen. Frau Haftendorn hat das Vorgehen in [HAFT1] auf Seite 329 am Beispiel einer SAT-Paraboloid-Antenne (vgl. Foto auf S. 327) erläutert. Im späteren Verlauf der Einheit könnte dieser Aufgabentyp auch bei Ellipsen aufgegriffen werden.
In der Datei M10geo02_Parabolrinne.ggb⁴ können Sie sich am Beispiel des Parabeolrinnenkraftwerks des Arbeitsblattes eine exemplarische Umsetzung ansehen. Man setzt einen Punkt B in den vermuteten Brenn- und einen zweiten Punkt S in den vermuteten Scheitelpunkt. Nach der Spiegelung von B an S erhält man B‘ auf der Leitgeraden, die man als Orthogonale zur Strecke BB‘ in B‘ konstruieren kann.
Mit dem Werkzeug Parabel, das als Eingangsobjekte den Brennpunkt und die Leitgerade benötigt, kann man dann die Parabel einzeichnen lassen. Durch Nachjustieren der Punkte B und S erhält man die Konturparabel in ausreichend guter Näherung. Die SuS könnten eigene Parabel (Springbrunnen, Wurfparabeln, Brückenbögen etc.) fotografieren und mithilfe von GeoGebra die zugehörigen Parabelkurven einzeichnen lassen.

Parabelrechner

Unabhängig von den Reflexionseigenschaften könnte eine weitere selten thematisierte Eigenschaft der Parabel erforscht werden. Man kann Parabeln auch als geometrisches Rechengerät für Multiplikationen und Divisionen verwenden. Dafür wird nur eine auf Millimeterpapier gezeichnete Parabel und ein Lineal benötigt. Nachdem das zeichnerische Multiplizieren und Dividieren erklärt und geübt wurde, können die mathematischen Hintergründe erarbeitet werden, die auf einfachen Eigenschaften der Parabel im kartesischen Koordinatensystem beruhen. Eine gute Beschreibung der Zusammenhänge findet man z.B. bei [POSA, 1994] in Unterrichtseinheit 105.

 

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¹[HAFT1], S:325ff

² Die Applets "Parabeln erkunden", "Kürzester Weg" und "Leitgerade entdecken" findet man im Materialpaket unter M03_geo/3_vorlagen_tauschordner. Unter https://www.geogebra.org/m/qqfbwvmr kann man die Dateien auch im GeoGebra-Buch IMP10 abrufen.

³ Die Datei ist im Materialpaket unter 6_GeoGebra-Ergaenzung hinterlegt.

⁴ Die Datei ist im Materialpaket unter M03_geo/6_GeoGebra-Ergaenzung oder auf der GeoGebra-Seite im Buch "IMP10 für Lehrkräfte" unter https://www.geogebra.org/m/jfeewf5p abrufbar.

 

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