Orts­kur­ven im Schul­hof

Den op­tio­na­len Vor­schlag zur vier­ten Stun­de der Ein­heit soll­ten Sie um­set­zen, wenn Sie Ihrer IMP-Grup­pe einen zwei­ten, hand­lungs­ori­en­tier­ten Zu­gang an­bie­ten möch­ten, bei dem die SuS im Schul­hof El­lip­se, Pa­ra­bel und Hy­per­bel "in XXL" kon­stru­ie­ren, um dabei die Zu­sam­men­hän­ge zu ver­tie­fen. Für die Um­set­zung wer­den fünf Grup­pen ge­bil­det:

In der Ma­te­ri­al­da­tei sind wei­te­re De­tails und die Vor­ge­hens­wei­se be­schrie­ben. Das "Kon­struk­ti­ons­ver­fah­ren" ba­siert auf der Ras­ter­kon­struk­ti­on der drit­ten Stun­de, soll­te aber vorab im Klas­sen­zim­mer ge­mein­sam durch­ge­spro­chen und mit den kon­kre­ten Werk­zeu­gen (Maß­band, Seile, Krei­de oder Bo­den­mar­kie­run­gen) kurz si­mu­liert wer­den, damit allen Grup­pen das Vor­ge­hen im Hof klar ist. Die Datei M10­geo04_orts­kur­ven_im_hof.ggb¹ kann bei der Be­spre­chung zur be­glei­ten­den Vi­sua­li­sie­rung ge­nutzt wer­den. Dabei las­sen sich auch Krei­se um den Brenn­punkt B ein­blen­den, um das Kon­struk­ti­ons­prin­zip zu er­läu­tern. Es wird emp­foh­len, die Kon­struk­ti­on zu­nächst nur für einen der drei Ke­gel­schnit­te zu er­läu­tern, bevor alle drei gleich­zei­tig ein­ge­blen­det wer­den, wie es hier zu sehen ist:

Die SuS ste­hen für die Fo­to­ak­ti­on dann auf den aus­ge­mes­se­nen Punk­ten und bil­den so­zu­sa­gen "le­ben­de Ke­gel­schnit­te", die von einem Fens­ter aus fo­to­gra­fiert wer­den (auf­grund der Grup­pen­grö­ße für jeden Ke­gel­schnitt­s­typ ei­ge­ne Bil­der). Dabei ist eine gute Ab­stim­mung und Team­ar­beit er­for­der­lich. Falls die IMP-Lern­grupp­pe gerne ko­ope­ra­tiv ar­bei­tet und im Schul­hof ein Zei­chen hin­ter­las­sen möch­te, könn­te man die Punk­te der Ke­gel­schnit­te auch dau­er­haft mar­kie­ren und die Fotos für einen Ar­ti­kel in der Schü­ler­zeit­schrift oder eine klei­ne Aus­stel­lung nut­zen. Sonst ver­wen­det man nor­ma­le Stra­ßen­krei­de, die mit den nächs­ten Re­gen­schau­ern ab­ge­wa­schen wird.

Die Ma­te­ri­al­da­tei ent­hält neben einer Ge­samt-Über­sicht auch Vor­schlä­ge für ein­zel­ne Auf­ga­ben­zet­tel für jede Grup­pe, die bei Be­darf ein­ge­setzt wer­den könn­ten. Bei man­chen Grup­pen kann es aber auch güns­ti­ger sein, die SuS nach einer an­ge­mes­se­nen Ein­füh­rung ohne zu­sätz­li­che In­for­ma­tio­nen ei­gen­stän­dig ar­bei­ten zu las­sen.

Im An­hang der Datei fin­den Sie als Ver­tie­fungs­an­ge­bot eine An­lei­tung zur Er­stel­lung einer di­gi­ta­len Si­mu­la­ti­on mit Geo­Ge­bra, die Sie ggf. auch ein­zel­nen in­ter­es­sier­ten SuS an die Hand geben kön­nen. Die Kon­struk­ti­on wurde mög­lichst ein­fach ge­hal­ten, so wird bei­spiels­wei­se nur ein Ke­gel­schnitt kon­stru­iert und auf For­ma­tie­run­gen ver­zich­tet. Sie könn­te auch von einer Grup­pe im Schul­hof mit der Geo­me­trie-App von Geo­Ge­bra auf Smart­pho­nes er­stellt und zur Nach­be­rei­tung den an­de­ren vor­ge­stellt wer­den. Wenn man weiß, wel­che Werk­zeu­ge wo auf­ge­ru­fen wer­den, ist das tat­säch­lich in we­ni­gen Mi­nu­ten mög­lich. Die Kon­struk­ti­on eig­net sich wegen ihrer Über­schau­bar­keit auch für einen ers­ten Kon­takt mit der App, dann muss man al­ler­dings etwas mehr Ge­duld und Zeit auf­brin­gen.

Durch den Ein­satz der vor­ge­schla­ge­nen Haus­auf­ga­be wird ein zu­sätz­li­cher en­ak­ti­ver Zu­gang zu Pa­ra­beln über das Phä­no­men der Hüll­kur­ven er­mög­licht. Die zeit­in­ten­si­ve Fal­t­ar­beit wird aus­ge­la­gert und durch die in­halt­li­che Vor­ent­las­tung kann die Leit­ge­ra­den­kon­struk­ti­on in der Fol­ge­stun­de ein­fa­cher ein­ge­führt und geo­me­trisch be­grün­det wer­den. In der Datei M10­geo00_Vor­la­ge_­Ge­fal­te­te_­Ge­ra­den.odt ist die Auf­ga­ben­stel­lung mit wei­te­ren Hüll­kur­ven zu El­lip­se und Hy­per­bel eben­falls ent­hal­ten².

Mög­li­cher Ex­kurs: Zen­tral­per­spek­ti­ve

Falls Sie In­ter­es­se an einem an die Ein­heit an­schlie­ßen­den Ex­kurs zur Zen­tral­per­spek­ti­ve haben soll­ten, könn­ten die aus der Schul­hof­kon­struk­ti­on re­sul­tie­ren­den Fo­to­gra­fi­en einen per­fek­ten Aus­gangs­punkt lie­fern. Als Ein­stieg schlägt An­selm Lam­bert die Frage vor, ob das Foto der Pa­ra­bel, die von den Schü­le­rin­nen im Schul­hof aus­ge­mes­sen und mar­kiert wurde, tat­säch­lich eine Pa­ra­bel zeigt. Dies wäre nur bei einer Auf­nah­me in senk­rech­ter Pro­jek­ti­on auf den Hof der Fall, also so gut wie nie³. Bei einem Foto, das im Schul­hof von schräg oben auf­ge­nom­men wurde, wird die Ka­mer­a­po­si­ti­on als per­spek­ti­vi­sches Zen­trum Z ge­deu­tet (vgl. Gra­fik⁴) und eine ge­eig­ne­te Ge­gen­stands­ebe­ne (Γ) und Bild­ebe­ne (B) be­trach­tet. Der Punkt P‘ wird bei die­ser Fra­ge­stel­lung nicht als Bild son­dern um­ge­kehrt als Ur­bild ge­deu­tet, als Punkt der Pa­ra­bel im Schul­hof. P ist dann sein Bild in der Ge­gen­stands­ebe­ne (auf dem Foto). Man kann die Si­tua­ti­on mit einem ge­fal­te­ten Pa­pier­mo­dell sehr an­schau­lich nach­bil­den, in das man dann noch eine mög­li­che Ebene des Licht­we­ges ein­schiebt (vgl. Foto). Im o.g. Ar­ti­kel fin­det man dazu wei­te­re in­ter­es­san­te An­re­gun­gen, die letzt­lich zu einer kon­struk­ti­ven zwei­di­men­sio­na­len Lö­sung mit einem DGS und deren drei­di­men­sio­na­ler Deu­tung füh­ren: Das Foto der Pa­ra­bel zeigt i.d.R. eine El­lip­se. Der Ex­kurs könn­te auch in die Er­kennt­nis mün­den, dass jeder Ke­gel­schnitt als Bild eines Krei­ses bei Zen­tral­pro­jek­ti­on auf­ge­fasst wer­den kann, was be­reits auf in­tui­ti­ver Ebene in der ers­ten Stun­de bei den "Schat­ten­bil­dern eines Krei­ses" be­ob­ach­tet wer­den konn­te⁵.

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4.8 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2.3 MB]

¹Das App­let fin­det man im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/6_­Geo­Ge­bra-Er­ga­en­zung oder kann es auf der Geo­Ge­bra-Seite im Buch "IMP10 für Lehr­kräf­te" unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​jfee­wf5p ab­ru­fen.

²Die Datei ist im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/2_­ko­pier­vor­la­gen hin­ter­legt.

³[LAMB2], 2016, dazu di­rekt auch [HAFT2], 2017, 7.​6.​3.​1, S. 210 ff "Zen­tral­pro­jek­ti­on ver­ste­hen"

⁴Bil­der aus [LAMB1], S. 27, ur­sprüng­lich aus Lietz­mann, W.: "Ke­gel­schnitts­leh­re", Teub­ner, Ber­lin, 1933

⁵Vgl. dazu z.B. [TIET], 2000, Kap. 4.1.2, S. 234

Wei­ter zu Pa­ra­beln