Pa­ra­beln

In der fünf­ten Stun­de der Ein­heit wird auf der Grund­la­ge der Leit­ge­ra­den­kon­struk­ti­on einer Pa­ra­bel deren Glei­chung (in Schei­tel­punkt­sla­ge) her­ge­lei­tet und damit die ver­netz­te Be­trach­tung von Geo­me­trie und Al­ge­bra an­ge­regt.

Auf­ga­be 1 dient der ko­gni­ti­ven Ak­ti­vie­rung, indem zu­nächst die Leit­ge­ra­den­de­fi­ni­ti­on einer Pa­ra­bel bzw. all­ge­mein eines Ke­gel­schnitts wie­der­holt wird und an­schlie­ßend eine klas­si­sche Um­kehr­auf­ga­be ge­löst wer­den muss, bei der die Ab­stand­sei­gen­schaf­ten in den Blick ge­nom­men wer­den.

Die Leit­ge­ra­den­kon­struk­ti­on in Auf­ga­be 2 kann nun ent­we­der nach der An­lei­tung aus­ge­führt oder von SuS vor­ge­stellt wer­den, die sich im Rah­men eines dif­fe­ren­zie­ren­den Zu­satz­auf­tra­ges vorab damit be­schäf­tigt haben. Es wer­den zu­nächst dis­kre­te Punk­te der Pa­ra­bel kon­stru­iert, bevor dann die Pa­ra­bel skiz­ziert wird. Falls die vor­ge­schla­ge­ne Haus­auf­ga­be ge­stellt wurde, bie­tet sich hier ihre Be­spre­chung an, in den Lö­sungs­hin­wei­sen zu Auf­ga­be 2 sind ent­spre­chen­de Hin­wei­se zur Hüll­kur­ve ein­ge­bun­den.

Auf­ga­be 3 ver­folgt meh­re­re Ziele. Ei­ner­seits soll eine wei­te­re Pa­ra­bel bei ver­än­der­ter Aus­rich­tung der Leit­ge­ra­de kon­stru­iert wer­den, um die Her­lei­tung in Auf­ga­be 4 vor­zu­be­rei­ten, bei der die Pa­ra­belach­se par­al­lel zur x-Achse ge­wählt wurde. An­de­rer­seits wird die Auf­merk­sam­keit auch schon auf die Form der Pa­ra­bel ge­lenkt bzw. auf den Ein­fluss des Ab­stan­des von Brenn­punkt und Leit­ge­ra­de. Dabei wird letzt­lich der Ke­gel­schnitt­pa­ra­me­ter p als "halbe Öff­nungs­wei­te am Brenn­punkt" ein­ge­führt. Als Grund­vor­stel­lung soll­te hier schon früh die Be­deu­tung von p als Maß für die Öff­nung eines Ke­gel­schnitts ver­an­kert wer­den.

Das Ziel der Stun­de ist die Her­lei­tung der Pa­ra­bel­glei­chung in Auf­ga­be 4. Auf dem Ar­beits­blatt wurde dazu eine Art al­ge­brai­scher Lü­cken­text vor­ge­ge­ben, der sinn­voll er­gänzt und des­sen Um­for­mungs­schrit­te je­weils be­grün­det wer­den müs­sen. Dazu wurde der Rah­men der in Klas­se 9 ein­ge­führ­ten Zwei­spal­ten­be­wei­se auf­ge­grif­fen und in den Lö­sungs­hin­wei­sen ein knap­per Er­war­tungs­ho­ri­zont ein­ge­bun­den. Bitte pas­sen Sie die vor­ge­ge­be­nen Lü­cken den Be­dürf­nis­sen Ihrer Lern­grup­pe an und lö­schen oder er­gän­zen Sie ggf. wei­te­re Stel­len.
(Tech­ni­scher Hin­weis: Im text­ba­sier­ten For­mel-Edi­tor von Li­bre­Of­fice kann man die Tilde (~) als Ab­stands­zei­chen ver­wen­den). Al­ter­na­tiv könn­te bei Auf­ga­be 4 auch ein Schü­ler- oder Leh­rer­vor­trag er­fol­gen, je nach­dem was für Ihre Grup­pe ge­eig­ne­ter er­scheint.

Auf­ga­be 5 ver­knüpft die neu er­ar­bei­te­te Pa­ra­bel­glei­chung mit der be­reits be­kann­ten Pa­ra­bel­glei­chung $y=a{x}^2$ , wobei $a=\frac{1}{2p}$ gilt. Die Auf­ga­be ist so kon­zi­piert, dass sie mit dem Wis­sen von Auf­ga­be 4 auch als Haus­auf­ga­be be­ar­bei­tet wer­den könn­te, indem das Vor­ge­hen bei ver­än­der­tem Ko­or­di­na­ten­sys­tem noch­mals Zeile für Zeile durch­ge­spielt wird. Der ein­fa­che Rol­len­tausch von $x$ und $y$ soll­te aus di­dak­ti­scher Sicht hier nicht zu früh vor­ge­ge­ben wer­den. Er könn­te von ein­zel­nen SuS im zur Re­fle­xi­on an­re­gen­den c)-Teil am Ende ent­deckt und in der Fol­ge­stun­de ge­mein­sam be­spro­chen wer­den. Auf­ga­be 5 kann na­tür­lich auch als klei­ner Extra-Vor­trag von ein­zel­nen SuS be­ar­bei­tet und vor­ge­stellt wer­den.

Auf­ga­be 6 hält zwei schö­ne Um­kehr­auf­ga­ben zur Ver­tie­fung der geo­me­tri­schen Zu­sam­men­hän­ge be­reit, die fle­xi­bel ein­ge­setzt wer­den kön­nen. Über­schau­ba­re geo­me­tri­sche Pro­ble­me die­ser Art kön­nen immer ef­fek­tiv ge­nutzt wer­den, um ver­schie­de­ne heu­ris­ti­sche Stra­te­gi­en zu re­flek­tie­ren. Die Kon­struk­tio­nen könn­ten z.B. auch von SuS mit einem DGS wie Geo­Ge­bra er­stellt und dann bei schritt­wei­ser Vor­füh­rung im Ple­num kom­men­tiert wer­den. Geo­Ge­bra bie­tet hier­zu die Mög­lich­keit, dass die Kon­struk­ti­on wie ein Film ab­ge­spielt wer­den kann.

Mög­li­che Ver­tie­fung: Pa­ra­bel­zeich­ner.ggb

Witt­mann emp­fiehlt im Be­reich der Fa­den­kon­struk­tio­nen auf jeden Fall die klas­si­sche "Gärt­ner­kon­struk­ti­on" der El­lip­se zu be­han­deln, da diese auf­grund ihrer ein­fa­chen Aus­füh­rung und qua­li­ta­tiv hoch­wer­ti­gen Er­geb­nis­se viel zum Ver­ständ­nis bei­tra­gen kann (vgl. [WITT], 2005).

Auf­ga­be 7 bie­tet Ihnen dar­über hin­aus die Mög­lich­keit, neben der be­kann­ten Fa­den­kon­struk­ti­on der El­lip­se (vgl. Stun­de 8) vorab auch die Fa­den­kon­struk­ti­on der Pa­ra­bel zu be­han­deln. Dabei ste­hen Ihnen hin­sicht­lich der Um­set­zung viele Va­ri­an­ten offen. Falls Sie Zeit und Lust haben soll­ten, selbst etwas zu ex­pe­ri­men­tie­ren und hier einen hand­lungs­ori­en­tier­ten Zu­gang an­zu­bie­ten, kön­nen Sie dazu die in der Ma­te­ri­al­da­tei M10­geo05_­Pa­ra­beln.odt¹ bei im An­schluss an Auf­ga­be 7 ein­ge­bun­de­ne An­lei­tung nut­zen.

Der Auf­wand und Zeit­be­darf zum Bau und Ein­satz eines Pa­ra­bel­zeich­ners ist im Ver­gleich zur mar­gi­na­len Nut­zung in der Ein­heit re­la­tiv hoch. Die Be­schäf­ti­gung mit his­to­ri­schen Zei­chen­werk­zeu­gen und ihrem ma­the­ma­ti­schen Hin­ter­grund ist al­ler­dings im Rah­men der Ke­gel­schnitt­kon­struk­tio­nen be­son­ders reich­hal­tig und könn­te durch­aus im An­schluss als Pro­jekt­idee auf­ge­grif­fen wer­den, die in eine klei­ne Aus­stel­lung oder lang­sam wach­sen­de Samm­lung his­to­ri­scher Zei­chen­ge­rä­te mün­den könn­te².

Hier ist diese Auf­ga­be pri­mär als Ver­tie­fungs­an­ge­bot ge­dacht, mög­li­cher­wei­se auch für ein­zel­ne in­ter­es­sier­te SuS im Rah­men einer Fach­ar­beit oder GFS. Un­ab­hän­gig davon kann das App­let M10­geo05_N­r7b_­Pa­ra­bel­zeich­ner.ggb³ ge­nutzt wer­den, um das Vor­ge­hen dy­na­misch zu vi­sua­li­sie­ren und im Un­ter­richts­ge­spräch ge­mein­sam zu re­flek­tie­ren oder das Funk­ti­ons­prin­zip im Rah­men eines Leh­rer- oder Schü­ler­vor­trags zu er­läu­tern. In die­ser Phase könn­ten die Zu­sam­men­hän­ge zur ein­ge­führ­ten Leit­ge­ra­den­kon­struk­ti­on dis­ku­tiert und zur Ab­run­dung wie­der­holt wer­den.

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4.8 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2.3 MB]

¹Die Ma­te­ri­al­da­tei zur 5. Stun­de ist unter M03_­geo/4_­loe­sun­gen/ ab­ruf­bar.

²An­re­gun­gen zum Bau von his­to­ri­schen Zei­chen­ge­rä­ten fin­det man u.a. in [SCHO],1659, oder auf der Web­site zu Frans van Schoo­tens um­fang­rei­chen Werk unter http://​www.​fra​nsva​nsch​oote​n.​nl/ . Auch Hans-Georg Weigand hat hier­zu in­ter­es­san­te Ar­ti­kel ver­fasst (vgl. [WEIG1],1997 und [WEIG2],2005). Eine schul­ei­ge­ne Samm­lung könn­te viel­sei­tig ge­nutzt wer­den.

³Das App­let M10­geo03_N­r7b_­Pa­ra­bel­zeich­ner.ggb fin­det man unter M03_­geo/3_vor­la­gen_­tausch­ord­ner ode­rim Geo­Ge­bra-Book "IMP10 für SuS" unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​qqfbwvmr.

Wei­ter zu Na­mens­ge­heim­nis der Ke­gel­schnit­te