El­lip­sen und Hy­per­beln

In der sieb­ten Stun­de soll die Mit­tel­punktsglei­chung einer El­lip­se an­schau­lich her­ge­lei­tet und dar­aus die Glei­chung einer Hy­per­bel ab­ge­lei­tet wer­den. Um die­ses Mi­ni­mal­ziel zu er­rei­chen, ist die Be­ar­bei­tung der Auf­ga­ben 1 und 3 vor­ge­se­hen. Im Ma­te­ri­al sind zu­sätz­lich Er­gän­zun­gen und Ver­tie­fungs­an­ge­bo­te ein­ge­ar­bei­tet, die An­knüp­fungs­punk­te in meh­re­re Rich­tun­gen bie­ten.

Auf­ga­be 1 nutzt er­neut das di­dak­ti­sche Kon­zept der Ras­ter­li­ni­en, um dis­kre­te Punk­te von El­lip­sen und Hy­per­beln zu zeich­nen und er­mög­licht so einen an­schau­li­chen Ein­stieg. Dabei wird ein ein­zel­ner Ras­ter­punkt P vor­ge­ge­ben und des­sen Ab­stand­sum­me (bzw. - dif­fe­renz) zu den Brenn­punk­ten be­stimmt. Durch das Ein­zeich­nen von Ras­ter­punk­ten glei­cher Ab­stands­sum­me (bzw. -dif­fe­renz) neh­men El­lip­se bzw. Hy­per­bel Punkt für Punkt Ge­stalt an. Die SuS ent­de­cken dabei ohne for­ma­len Nach­weis die Brenn­punktsde­fi­ni­ti­on von El­lip­se und Hy­per­bel. Der b)- und c)-Teil hal­ten dif­fe­ren­zie­ren­de Zu­satz­auf­trä­ge be­reit, die auch nur von ein­zel­nen SuS be­ar­bei­tet wer­den kön­nen. Dabei soll­te al­ler­dings das Er­geb­nis des c)-Teils be­spro­chen und schon hier ge­si­chert wer­den: Die Ab­stands­sum­me einer El­lip­se (bzw. -dif­fe­renz einer Hy­per­bel) ent­spricht immer dem Ab­stand 2a der bei­den Haupt­schei­tel.

Mög­li­che Ver­tie­fung: Be­weis der Kon­stanz der Ab­stand­sum­me (bzw. -dif­fe­renz)

Der Be­weis mit­hil­fe der Dan­de­lin­schen Ku­geln ginge über das Kern­cur­ri­cu­lum hin­aus. Als mo­ti­vie­ren­des Bei­spiel für eine sehr ele­gan­te Ar­gu­men­ta­ti­on soll­te er in­ter­es­sier­ten SuS im Sinne der Dif­fe­ren­zie­rung aber nicht vor­ent­hal­ten wer­den. Der Be­weis­gang wurde beim fach­li­chen Hin­ter­grund in Ab­schnitt 2.5 be­reits dar­ge­stellt. Er eig­net sich auch als dif­fe­ren­zie­ren­der Zu­satz­auf­trag oder GFS-Thema für in­ter­es­sier­te SuS. Für die Um­set­zung steht das App­let M10­geo07_­Be­weis_D­an­de­lin.ggb¹ zur Ver­fü­gung, mit dem sich die Ker­n­idee dy­na­misch vi­sua­li­sie­ren lässt:

Man kann die für die Ar­gu­men­ta­ti­on er­for­der­li­chen Stre­cken ein- und aus­blen­den und den Punkt P auf dem je­wei­li­gen Ke­gel­schnitt (El­lip­se oder Hy­per­bel) wan­dern las­sen.

Die An­sicht kann "auf Knopf­druck" (Än­dern der Blick­rich­tung in der Ge­stal­tungs­leis­te der 3D-An­sicht) so aus­ge­rich­tet wer­den, dass die or­tho­go­na­le Pro­jek­ti­on auf eine der drei Ko­or­di­na­ten­ebe­nen zu sehen ist (vgl. Bild rechts). Der ge­ziel­te Wech­sel zwi­schen Quer­schnitt und Schräg­bild er­mög­licht es, die Ar­gu­men­ta­ti­on vi­su­ell op­ti­mal zu un­ter­stüt­zen. Die Lage der bei­den Brenn­punk­te als Be­rühr­punk­te der Dan­de­lin­schen Ku­geln soll­te den SuS bei­spiels­wei­se auch im Quer­schnitt ge­zeigt wer­den, um die räum­li­che In­ter­pre­ta­ti­on zu er­leich­tern.

Ana­log ließe sich mit dem App­let auch die kon­stan­te Ab­stands­dif­fe­renz der Hy­per­bel dy­na­misch vi­sua­li­sie­ren und be­grün­den, was aber nicht für den Un­ter­richt im Ple­num emp­foh­len wird. Da die Ar­gu­men­ta­ti­on zur Ab­stands­dif­fe­renz für die SuS schwie­ri­ger zu er­fas­sen ist, soll­te diese Ver­tie­fung eher ein­zel­nen, sehr mo­ti­vier­ten SuS vor­be­hal­ten blei­ben.

Auf­ga­be 2 er­öff­net al­ter­na­tiv oder er­gän­zend die Mög­lich­keit, einen en­ak­ti­ven Zu­gang über die Fa­den­kon­struk­tio­nen von El­lip­se und Hy­per­bel zu wäh­len. Aus di­dak­ti­scher Sicht könn­te man nach der Kon­struk­ti­on dis­kre­ter Punk­te im a)-Teil nun mit­hil­fe der Fa­den­kon­struk­tio­nen El­lip­sen und Hy­per­beln als ste­ti­ge Kur­ven kon­stru­ie­ren, deren al­ge­brai­sche Be­schrei­bung dann in Auf­ga­be 3 folgt. Die klas­si­sche Gärt­ner-Kon­struk­ti­on lie­fert dank ihrer ro­bus­ten und ein­fa­chen Um­set­zung schnell qua­li­ta­tiv sehr gute Er­geb­nis­se und soll­te auf jeden Fall ir­gend­wo in der Ein­heit ihren Platz fin­den. Wenn man Zeit hat, lohnt sich der re­la­tiv über­schau­ba­re Auf­wand der Her­stel­lung aber auch für einen Hy­per­bel­zir­kel². Dazu bräuch­te man dann zwar etwas mehr Un­ter­richts­zeit, würde aber in­halt­lich gleich­zei­tig die Leit­kreis-Kon­struk­ti­on von El­lip­se und Hy­per­bel vor­ent­las­ten, die in der nach­fol­gen­den Stun­de im Com­pu­ter­raum er­ar­bei­tet wer­den könn­te.

Die an­schau­li­che Her­lei­tung der Mit­tel­punktsglei­chung der El­lip­se in Auf­ga­be 3 fußt auf den vor­han­de­nen in­tui­ti­ven Vor­stel­lun­gen zur or­tho­go­na­len Af­fi­ni­tät. Die El­lip­se kann als af­fi­nes Bild eines Krei­ses auf­ge­fasst wer­den. Der Ein­fach­heit hal­ber be­schränkt man sich hier auf eine or­tho­go­na­le Ach­sen­af­fi­ni­tät, mit der die SuS be­reits aus­rei­chend Er­fah­run­gen ge­sam­melt haben, z.B. bei der Stre­ckung bzw. Stau­chun­gen von Pa­ra­beln in Klas­se 9 oder ggf. auch Am­pli­tu­den pe­ri­odi­scher Funk­tio­nen in Klas­se 10.

Im a)-Teil wird zu­nächst der Satz des Py­tha­go­ras ak­ti­viert, um die Kreis­glei­chung zu mo­ti­vie­ren und in Form der spä­te­ren Mit­tel­punktsglei­chung zu be­grün­den. Im b)-Teil er­mit­teln die SuS den zur Stau­chung pas­sen­den Streck­fak­tor. Man soll­te wie im Er­war­tungs­ho­ri­zont be­schrie­ben die Stau­chung von y‘ zu y (vom Kreis zur El­lip­se) auch um­ge­kehrt als Stre­ckung von y zu y‘ (von der El­lip­se zum Kreis) in­ter­pre­tie­ren, um die Her­lei­tung im c)-Teil vor­zu­ent­las­ten. Die Auf­ga­ben­stel­lung des c)-Teils ent­hält in der Fas­sung für alle IMP-Klas­sen klare An­wei­sun­gen und ist damit re­la­tiv eng for­mu­liert. Dies soll der Tat­sa­che Rech­nung tra­gen, dass die SuS bis­her noch wenig Er­fah­rung mit al­ge­brai­schen Be­schrei­bun­gen von Orts­kur­ven haben. Man kann und soll­te die Auf­ga­be an­ge­mes­sen öff­nen, um sie auf die ei­ge­ne Klas­se ab­zu­stim­men.

Die Hy­per­bel­glei­chung könn­te dann wie im d)-Teil ge­for­dert in einer Ta­blet-Ar­beits­pha­se oder auf Zuruf an einem De­mons­tra­ti­ons­rech­ner durch Va­ria­ti­on der Ein­ga­be in einem DGS ge­won­nen wer­den, bevor ab­schlie­ßend beide Mit­tel­punktsglei­chun­gen im Merk­satz ge­si­chert wer­den.

Mög­li­che Er­gän­zun­gen für alle SuS

Mit Auf­ga­be 4 kann man in einem ein­fa­chen Trans­fer den Flä­chen­in­halt einer El­lip­se er­ar­bei­ten las­sen, um auch hier den Zu­sam­men­hang zum be­kann­ten Kreis­in­halt­zu re­flek­tie­ren, indem die SuS den Kreis nun als Spe­zi­al­fall einer El­lip­se er­ken­nen. Sie soll­ten dafür auch die for­ma­le Be­din­gung ken­nen, dass beide Halb­mes­ser gleich groß sind (a = b = r).

Auf­ga­be 5 hält einen prak­ti­schen und hof­fent­lich mo­ti­vie­ren­den Zu­gang be­reit und ist für alle Klas­sen ge­eig­net, die Spaß am Zeich­nen haben. Ne­ben­bei ler­nen die SuS wei­te­re in­ter­es­san­te Ei­gen­schaf­ten von El­lip­sen und Hy­per­beln ken­nen. Auch im Zeit­al­ter der all­ge­gen­wär­ti­gen Com­pu­ter­nut­zung ist die Frage nach ana­lo­gen Lö­sun­gen nach wie vor wich­tig. Hier geht es also um die hän­di­sche Er­stel­lung von äs­the­tisch an­spre­chen­den sorg­fäl­tig ge­zeich­ne­ten El­lip­sen und Hy­per­beln. Dabei kommt man an den hilf­rei­chen Schei­tel­krüm­mungs­krei­sen nicht vor­bei. An zwei kon­kre­ten Bei­spie­len wird er­klärt, wie man deren Mit­tel­punk­te und Ra­di­en be­stimmt und sie an­schlie­ßend ver­wen­det, um El­lip­sen und Hy­per­beln mög­lichst genau an­zu­nä­hern³.

Die Be­schäf­ti­gung mit den Schei­tel­krüm­mungs­krei­sen lie­fert dar­über hin­aus einen ers­ten Zu­gang zu den in­ter­es­san­ten um- und ein­be­schrie­be­nen Recht­ecken von El­lip­sen und Hy­per­beln, die in Auf­ga­be 5 vor­ge­ge­be­nen wur­den. Aus einem Recht­eck mit den Sei­ten­län­gen 2a und 2b kann immer die zu­ge­hö­ri­ge El­lip­se oder Hy­per­bel mit den Halb­mes­sern a und b kon­stru­iert wer­den. Die ver­län­ger­ten Dia­go­na­len des Recht­ecks kön­nen dabei als Asym­pto­ten der zu­ge­hö­ri­gen Hy­per­beln ent­deckt wer­den. In einem Ex­kurs könn­te auch die be­kann­te Nor­mal­hy­per­bel y=1/x und durch den Spe­zi­al­fall a=b cha­rak­te­ri­siert wer­den⁴.

Die Auf­ga­ben 8 und 9 bie­ten einen en­ak­ti­ven Zu­gang zur Leit­kreis-Kon­struk­ti­on von El­lip­sen und Hy­per­beln über das Fal­ten von Hüll­kur­ven wie bei der Pa­ra­bel⁵. Durch den Ein­satz als Haus­auf­ga­be könn­te man die zeit­in­ten­si­ve Fal­t­ar­beit wie­der aus­la­gern, so dass die daran an­knüp­fen­den Leit­kreis-Kon­struk­tio­nen von El­lip­se und Hy­per­bel in der op­tio­na­len Fol­ge­stun­de ein­fa­cher und sinn­be­haf­te­ter er­ar­bei­tet wer­den könn­ten.

Ach­tung! Bei der Auf­ga­ben­stel­lung soll­te man nicht nur einen Kreis und Punkt vor­ge­ben, da sonst die Ge­fahr un­güns­ti­ger und un­über­sicht­li­cher Fal­tun­gen groß wäre. Durch die be­reits in der Vor­la­ge zu­sätz­lich auf dem Kreis vor­ge­ge­be­nen Punk­te er­folgt eine ge­ziel­te Vor­aus­wahl, um ein bes­se­res Ge­samt­er­geb­nis zu un­ter­stüt­zen und nicht ziel­füh­ren­de Falt­vor­gän­ge mög­lichst zu ver­mei­den. Sorg­fäl­ti­ges Fal­ten und Nach­zeich­nen der Fal­tun­gen sind er­for­der­lich, wenn man an­spre­chen­de Er­geb­nis­se er­zie­len möch­te⁶.

Wei­ter­ge­hen­de Ver­tie­fun­gen (nur zur in­di­vi­du­el­len För­de­rung oder Pro­jek­te ge­dacht!)

Mit Auf­ga­be 6 kön­nen sich leis­tungs­star­ke SuS auch die voll­stän­di­ge al­ge­brai­sche Her­lei­tung der El­lip­sen- und Hy­per­bel­glei­chung in Mit­tel­punkt­sla­ge aus der Brenn­punkt-Def­in­ti­on er­ar­bei­ten. Dabei könn­ten in Hin­blick auf das 5-stün­di­ge Leis­tungs­fach al­ge­brai­sche Kom­pe­ten­zen ge­stärkt wer­den. Hier geht es kon­kret um die Um­for­mung einer Wur­zel­glei­chung, bei der zwei­ma­li­ges Qua­drie­ren er­for­der­lich ist, die also auch nicht mehr im Kern­cur­ri­cu­lum des Bil­dungs­plans 2016 ent­hal­ten ist. Die Er­ar­bei­tung kann auch hier ent­we­der durch Er­gän­zung und Be­grün­dung der nur teil­wei­se vor­ge­ge­be­nen Um­for­mungs­schrit­te er­fol­gen oder aber ein­zel­nen SuS im Rah­men eines dif­fe­ren­zie­ren­den Zu­satz­auf­trags über­tra­gen wer­den.

Mit Auf­ga­be 7 könn­te man den Schluss­punkt set­zen und un­ab­hän­gig von Auf­ga­be 6 ei­ni­ge der Pa­ra­me­tertrans­for­ma­tio­nen in den Blick neh­men und ver­net­zen, die im Ab­schnitt 2.3. er­läu­tert wur­den. In­halt­lich wer­den dabei die Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen den Halb­mes­sern a und b, der li­nea­ren Ex­zen­tri­zi­tät e, dem Ke­gel­schnitt­pa­ra­me­ter p sowie der nu­me­ri­schen Ex­zen­tri­zi­tät ε er­forscht. Zuvor muss al­ler­dings die all­ge­mei­ne Ke­gel­schnitt­glei­chung in Schei­tel­punkt­sla­ge be­kannt sein (vgl. Ma­te­ri­al der 6. Stun­de). In Auf­ga­be 7 wird die El­lip­sen­glei­chung aus der Mit­tel­punkt­sla­ge durch eine Ver­schie­bung par­al­lel zur x-Achse in die Schei­tel­punkt­sla­ge über­führt und mit der be­kann­ten all­ge­mei­nen Ke­gel­schnitts­glei­chung ver­gli­chen. Ab­schlie­ßend kön­nen im c)-Teil die ver­schie­de­nen al­ge­brai­schen Zu­sam­men­hän­ge mit ne­ben­ste­hen­der Skiz­ze geo­me­trisch vi­sua­li­siert und ge­deu­tet wer­den. Unter an­de­rem könn­te damit auch die zwei­te Grund­vor­stel­lung zur nu­me­ri­schen Ex­zen­tri­zi­tät ent­deckt wer­den⁷. Im Er­war­tungs­ho­ri­zont fin­den Sie hier­zu Er­läu­te­run­gen.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [odt][4.8 MB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2.3 MB]

 

¹Das App­let fin­det man im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo/6_­Geo­Ge­bra-Er­ga­en­zung oder kann es auf der Geo­Ge­bra-Seite im Buch "IMP10 für Lehr­kräf­te" unter https://​www.​geo­ge­bra.​org/​m/​jfee­wf5p ab­ru­fen.

²Im Ar­ti­kel von Witt­mann ([WITT], 2005) fin­det man hier­zu wei­te­re In­for­ma­tio­nen und Ko­pier­vor­la­gen.

³Vgl. [HAFT2], 2017, Kap 7.7.1 "Krüm­mungs­krei­se von El­lip­se, Hy­per­bel und Pa­ra­bel", S. 212 ff.​zum Hin­ter­grund auch [SCHE2], 2007, in Kap VI.2 El­lip­sen: "Schei­tel­krüm­mungs­krei­se", S. 201

⁴In Geo­Ge­bra könn­te man beide Hy­per­beln mit den Be­feh­len H1:x^2/a^2-y^2/a^2=1 und H2:y=1/x zeich­nen las­sen und an­schlie­ßend H1 mit einer Dre­hung um 45° um den Ur­spung auf H1 ab­bil­den.(Vgl. [HAFT2], 2017, Kap. 7.​2.​1.​1, S. 188)

⁵Hier­zu wird auch auf die Be­schrei­bung und Ein­ord­nung der Falt-Ex­pe­ri­men­te im Un­ter­richts­kon­zept von Hu­bert Wel­ler ver­wie­sen ([WELL], 2009: Ab­schnitt "Falt-Ex­pe­ri­men­te, Leit­li­nie und Leit­kreis").Alle­Falt­auf­ga­ben zu Hüll­kur­ven von Pa­ra­bel, El­lip­se und Hy­per­bel sind auch kom­pakt in der Datei 2_­ko­pier­vor­la­gen/M10­geo00_Vor­la­ge_­Ge­fal­te­te_­Ge­ra­den.odtzu­sam­men­ge­fasst.

⁶Falls Sie In­ter­es­se an den Geo­Ge­bra-Da­tei­en zum Ge­ne­rie­ren der Vor­la­gen haben soll­ten, kön­nen diese gerne auf An­fra­ge (an olaf.​grund@​zsl-​rska.​de) zur Ver­fü­gung ge­stellt wer­den.

⁷De­tails zu den drei Kon­tex­ten der nu­me­ri­schen Ex­zen­tri­zi­tät in 2.5. und [HAFT2], Kap 7.​2.​2.​1, S. 190

 

Wei­ter zu Hüll­kur­ven und Leit­krei­se