Parameterdarstellung von Kurven

In den letzten beiden Stunden der Einheit sollen nun Kreise und Ellipsen zusätzlich in Parameterdarstellung beschrieben werden. Es handelt sich dabei um Inhalte der Einheit "Funktionen im Sachkontext". Die inhaltsbezogene Kompetenz (6), die sich der Parametrisierung von Kreis und Ellipse widmet, wurde in die hier beschriebene Geometrie-Einheit integriert, da sich so bei der Betrachtung von Kreisen und Ellipsen als Kegelschnitte, Ortslinien und parametrisierte Kurven die verschiedenen Perspektiven besser verzahnen ließen. Dadurch entsteht zwar eine Art „Doppelung der Einführung“ parametrisierter Kurven, die jedoch aufgrund verschiedener mathematischer Zugangsarten sicherlich eine Bereicherung im Sinne spiraclcurricularen Denkens beinhaltet und sich positiv auf die Begriffsbildung zur Parameterdarstellung auswirken dürfte.

In Stunde 9 geht es um die Einführung der Parameterdarstellung. Dabei wurde auf den Einsatz eines DGS in Schülerhand verzichtet, da die SuS ausreichend Zeit benötigen, um sich durch das konkrete Berechnen einzelner Punkte dem Wirkungsprinzip der Parameterdarstellung behutsam zu nähern, bevor in der nächsten Stunde im Computerraum weitergehende Vertiefungen mit Unterstützung eines DGS vorgesehen sind. Gleichwohl kann der dosierte Einsatz dynamischer Visualisierungen durch die Lehrkraft die Begriffsbildung unterstützen, wenn er entsprechend vorbereitet wurde und die SuS ausreichend gefordert waren, sich zuvor eigene Vorstellungen aufzubauen und Fragen zu stellen.

In Aufgabe 1 erarbeiten sich die SuS in einer gestuften Auftragsfolge eigenständig die Grundlagen der Parameterdarstellung am einfachen Beispiel des Kreises. Die nötige Unterstützung wird hier maßgeblich davon abhängen, ob die SuS im regulären Mathematikunterricht den Einheitskreis samt Bogenmaß bereits behandelt haben oder nicht. Unabhängig davon lernen Sie bei der Behandlung der Parameterdarstellung eine unmittelbare Anwendung kennen, die das Verständnis der Zusammenhänge wirkungsvoll unterstützen kann.

Aufgabe 2 dient dann der Übertragung auf die Ellipse, die aber bereits in Stunde 7 bei der Herleitung der Ellipsengleichung in Mittelpunktslage vorentlastet wurde, da auch hier der naheliegende Weg über den zur Stauchung gehörenden Streckfaktor gewählt wurde.

Dazwischen oder danach könnte zur dynamischen Visualisierung der Parameterdarstellung von Ellipsen das Applet M10geo09_A_Parameterdarstellung-Ellipsen.ggb¹ eingesetzt werden. Diese Datei ist für die Hand der Lehrkraft gedacht und sollte sehr sparsam und gezielt verwendet werden:

In den Aufgaben 3 und 4 kann anschließend geübt werden. Sie entscheiden dabei, welche Teilaufgaben sich für Ihre Klasse als Hausaufgaben eignen und welche eher im Unterricht behandelt werden sollten. Eventuell macht es Sinn, nur Nr. 4 im Unterricht ausführlicher zu behandeln. Bei der Besprechung im Plenum ist es wichtig, nun in einem zweiten Begriffsbildungsschritt die dynamische Deutung der Parameterdarstellungen stärker zu betonen. Nachdem einzelne Punkte berechnet und gezeichnet wurden, geht es nun darum, sich den Kurvendurchlauf bei langsam wachsenden Parameter t gedanklich vorzustellen. Dabei ist es zunächst sicherlich hilfreich, den Parameter t als Zeit zu deuten (engl. time, lat. tempus) und die Bahnkurve mit Worten beschreiben zu lassen. Ergänzend zu den statischen Wertetabellen in der Musterlösung können zur Visualisierung die Applets M10geo09_Nr3_Kurven_zeichnen.ggb und M10geo09_Nr4_Kurvenkreuzung.ggb eingesetzt werden²:

Beim Einsatz sollte man zwischen diskreter und dynamisch-kontinuierlicher Visualisierung wechseln, um den gedanklichen Übergang zu unterstützen. Bei markiertem Schieberegler kann man dazu mithilfe der Pfeiltaste (nach rechts) mit der Standardschrittweite 0.5 einzelne Punkte "abtasten", um das Prinzip zu verdeutlichen und ggf. einzelne Ergebnisse zu vergleichen. Mit den Schaltflächen lässt sich die Animation starten, stoppen und bei Bedarf zurücksetzen Die Animationseigenschaften der Schieberegler sind so eingestellt, dass der Parameter t das Parameterintervall nur einmal (zunehmend) und der Punkt P entsprechend synchron die Kurve durchläuft. Bei Bedarf kann man diese Einstellungen im Menü der Schieberegler anpassen.

Aufgabe 5 hält noch eine klassische Umkehraufgabe zur Übung bereit, bei der die SuS zu einer vorgegebenen Kurve deren Parameterdarstellung angeben sollen.

Mögliche Vertiefung: Äquivalenz von Mittelpunktsgleichung und Parameterdarstellung

In Aufgabe 6 besteht die Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen Mittelpunktsgleichung einer Ellipse und ihrer Parameterdarstellung zu vertiefen, eventuell auch in Hinblick auf ein mögliches Aufgabenformat für eine Leistungskontrolle. Während in den Aufgabenteilen a)-c) einfache Umrechnungen vorgesehen sind, wird im differenzierenden Aufgabenteil d) die Begründung der Gleichwertigkeit eingefordert³.

 

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [odt][4.8 MB]

Unterrichtsverlauf: Herunterladen [pdf][2.3 MB]

 

¹Das Applet findet man im Materialpaket unter M03_geo/6_GeoGebra-Ergaenzung, kann es aber auch im GeoGebra-Buch "IMP10 für Lehrkräfte" unter https://www.geogebra.org/m/jfeewf5p aufrufen.

²Die Applets findet man im Materialpaket unter M03_geo/6_GeoGebra-Ergaenzung. Man kann sie aber auch im GeoGebra-Buch "IMP10 für Lehrkräfte" unter https://www.geogebra.org/m/jfeewf5p abrufen.

³Vielfältige Übungsaufgaben findet man auch im Themenheft "Kegelschnitte" ([SCHE1], 1985/1995

 

Weiter zu Kurven mit GeoGebra