Kurven mit GeoGebra

Die letzte Stunde der Einheit wurde für die Umsetzung im Computerraum konzipiert und liefert einen Rahmen, in dem Sie flexibel eigene Schwerpunkte setzen können. Vordergründig geht es um das Zeichnen von Kurven mit GeoGebra, inhaltlich kann aber auch ein vertieftes Verständnis der Parameterdarstellung angebahnt werden. Parameterdarstellungen sind nach Dörte Haftendorn "das übergreifende Konzept, mit dem Punkte der Geometrie mit Koordinaten verbunden werden"¹. Sie erläutert in Kap. 2.4.2. das Konzept der doppelt-kartesischen Sichtweise, die für das Verständnis der Zusammenhänge äußerst hilfreich ist und der Konzeption dieser Stunde zugrunde gelegt wurde. Die Kernidee fußt dabei auf der Verwendung eines DGS mit zwei gekoppelten Grafikfenstern, wie sie z.B. unten in der Abbildung zu sehen sind. Fragen zur betrachteten Kurve können "durch Sicht auf diese gekoppelten Fenster" beantwortet werden. Im linken Fenster sind hier die "vertrauten Analysis-Antworten" möglich, im rechten Fenster kann der dynamische Durchlauf der Bahnkurve beobachtet werden.²

In Aufgabe 1 wird zunächst der Zeichenbefehl eingeführt und im a)-Teil an einer ersten Ellipse erprobt. Im b)-Teil werden weitere Parameter hinzugenommen, hier die beiden Halbmesser der Ellipse, so dass man die Ellipsen mithilfe der beiden Formvariablen a und b, den Halbachsen, variieren kann. Im c)-Teil wird mit dem Befehl kurve(0.05*t^2,sin(t),t,-10,10) die abgebildete Kurve als Anknüpfungspunkt für Aufgabe 2 geplottet.

Aufgabe 2 bietet die dann optionale Möglichkeit, das Verständnis von Parameterdarstellungen zu vertiefen. Dazu steht das Applet M10geo10_Nr2_Slowmotion.ggb³ zur Verfügung, mit dem die SuS beliebige Kurven in Parameterdarstellung darstellen und erforschen können, indem sie die beiden Funktionen f(x) und g(x) und das Parameterintervall auf der linken Seite variieren und auf der rechten Seite den Entstehungsprozess der Bahnkurve des Punktes P beobachten. Die Funktionswerte von f und g werden dabei farbcodiert als Koordinaten von P visualisiert:

Im b)-Teil wird die unterschiedliche Bedeutung von "x" im linken und rechten Fenster aktiv thematisiert und anschließend im Unterrichtsgespräch reflektiert. Links tritt x in der bisher bekannten Form als Standard-Funktionsvariable (unabhängige Größe) auf, rechts erscheint es dagegen als Koordinate von P und damit als von t abhängige Größe. Diese Umdeutung wird vermieden, wenn man x in Zusammenhang mit Parameterdarstellungen nur als x-Koordinate von P verwendet und die Abhängigkeit vom gemeinsamen Kurvenparameter t mit der Schreibweise x(t) und y(t) zusätzlich betont. Mit der aktiven Problematisierung im b)-Teil soll hier möglichen Fehlvorstellungen frühzeitig entgegengewirkt werden, zumal in den meisten DGS die direkte Eingabe einer Funktion in der Form x(t) nicht .möglich ist, da x als Standard-Funktionsvariable verwendet wird.

Der c)-Teil nimmt Bezug zum c)-Teil von Aufgabe 1. Der Entstehungsprozess der Kurve kann Schritt für Schritt beobachtet und die Wanderung von P entlang seiner Bahnkurve nachvollzogen werden.

Mögliche Übungen und Vertiefungen

Die Bearbeitung der Aufgabenteile d) und e) liefert anspruchsvolle Anknüpfungspunkte und ist nicht für die Bearbeitung im Plenum vorgesehen. Während d) dabei noch gut zur Differenzierung innerhalb der Bearbeitungszeit eingesetzt werden kann, erfordert e) mehr Aufwand und somit Zeit. Im Erwartungshorizont wurde der Bezug zu den eingeführten Parametern der Parabel aufgegriffen und die Vorgehensweise erläutert, so dass sich interessierte SuS auch eigenständig einarbeiten könnten, um die Zusammenhänge zu vertiefen.

Mit Aufgabe 3 wird nun die Spielwiese geöffnet. Die SuS werden zu eigenen Erkundungen angeregt und der Unterricht könnte in einer offenen Forscheratmosphäre ausklingen. Es werden Beispiele aufgezeigt, an denen sich weniger experimentierfreudige SuS orientieren können.

Aufgabe 4 kann ebenfalls flexibel eingesetzt werden und hält eine hoffentlich motivierende Problemstellung bereit, bei der die SuS ganz nebenbei mit ausgewählten Kurvenklassikern in Berührung kommen. Die Formvariablen der drei eingebundenen Kurven sollen so variiert werden, dass dabei das abgebildete Muster entsteht.

Aufgabe 5 orientiert sich wieder stärker am Bildungsplan und bietet allen SuS Übungen zur Parameterdarstellung im eng begrenzten und überschaubaren Bereich der Ellipsen.
Dabei wurden in dieser Aufgabe mehrere Kompetenzen berücksichtigt. Neben der reinen Zuordnug im a)-Teil wird eine moderate Deutung im b)-Teil und das Zeichnen einer Kurve im c)-Teil gefordert. Sie können das Aufgabenformat selbst variieren, eigene Ideen einbringen und die Übungen bei Bedarf ausweiten. Dazu steht ein Aufgabengenerator zur Parameterdarstellung von Ellipsen zur Verfügung.

Aufgabe 6 bringt zum Abschluss der Einheit noch den interessanten Anknüpfungspunkt der Lissajous-Figuren ins Spiel, die bei der Überlagerung zweier Sinus-Schwingungen entstehen. Als Ausblick wurde im Ewartungshorizont in Anlehnung an Frau Haftendorn die 3D-Darstellung ihrer "1:5-Lissajous-Krone" eingebunden⁴.

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¹[HAFT2], 2017, Kap 2.4, S. 18ff

²[HAFT], 2017, Kap. 2.4.2, S. 19/20. In ihrem Buch setzt Frau Haftendorn dieses Prinzip übrigens auch bei der Erforschung von Polarkurven mithilfe von gekoppelten polar-kartesischen Sichtfenstern ein.

³Die Datei findet man im Materialpaket unter M03_geo/3_vorlagen_tauschordner oder kann sie direkt im GeoGebra-Buch IMP10 für SuS unter https://www.geogebra.org/m/qqfbwvmr aufrufen.

⁴Vgl. [HAFT2], 2017, Kap. 8.4.2, S. 251

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