Parametrisierte Kurven

Wenn man die Einheit „parametrisierte Kurven“ in sieben Stunden unterrichtet, kann man nur das Pflichtprogramm erfüllen. Daher wurde schon zu Beginn erwähnt, dass eine mögliche Verkürzung von Teil 1 gut wäre, wenn genügend Vorkenntnisse bezüglich einer Tabellenkalkulation vorhanden sind. Auch ohne diese Verkürzung gibt es Möglichkeiten, gezielt Synergien zu erzeugen. So wurde der Inhalt zur inhaltsbezogenen Kompetenz (IbK) (6) „...Kreis und Ellipse in Parameterdarstellung angeben und im Koordinatensystem skizzieren“ in die Einheit Geometrie verlagert. Dadurch ist die Einführung der Parameterdarstellung an zwei Stellen in diesem Unterrichtsgang abgebildet. Hier lässt sich, mit Blick auf die Klasse, die zweite Einführung (je nach gewählter Reihenfolge) sicherlich verkürzen oder eventuell sogar die Reihenfolge so gestalten, dass die Einheit zur Geometrie und Teil 2 der Einheit Funktionen im Sachkontext nahezu fließend ineinander übergehen. Dementsprechend sind die Arbeitsaufträge zu den Grundlagen der Parametrisierung kürzbar oder können mit den entsprechenden Inhalten in der Geometrie zusammengelegt werden.

Stunde 12 – 13: Waagerechter Wurf als Einstiegsbeispiel

Der waagerechte Wurf ist ein Thema aus dem Physikunterricht (BP Physik Klasse 9/10, 3.3.5.1 Kinematik, IbK (5)) und ein mögliches Beispiel im IMP-Physikunterricht (BP IMP Klasse 10, 3.3.3.1 Numerische Verfahren in der Mechanik, IbK (2)). Beide physikalischen Durchgänge sind für Klasse 10 vorgesehen, sodass hier eine enge Absprache zwischen den unterrichtenden Lehrkräften stattfinden sollte. Das Arbeitsblatt 05a_fis_Einführung-Parameterdarstellung ist für den ungeschickten Fall gedacht, dass der waagrechte Wurf im Physikunterricht noch nicht behandelt wurde. Der Einstieg mit dem Münzkatapult führt dabei zu der Erkenntnis, dass die Bewegung eines waagerechten Wurfes in zwei voneinander unabhängige Komponenten zerlegt werden kann: Die einer gleichförmigen Bewegung in Richtung des Wurfes (x-Richtung) und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung des freien Falls in y-Richtung . Wenn das Thema bereits in Physik eingeführt wurde, so kann an dieser Stelle Zeit gespart werden und direkt mit Seite 2 des Arbeitsblattes begonnen werden. Dieses widmet sich der Parameterdarstellung widmet und führt diese mathematisch ein. Die darin enthaltene Aufgabe ist eine Einstiegsaufgabe, die auf jeden Fall gemacht werden sollte. Für den Fall, dass in Physik die Fallbewegung per Videoanalyse aufgenommen wird, bietet es sich an, die Abwurfgeschwindigkeit der dabei entstandenen Kurve zu ermitteln (als eine Art „Umkehraufgabe“).

Ein Wort zum Münzkatapult: So gebaut, wie es auf dem Arbeitsblatt vorgeschlagen wird, ist es mobil einsetzbar, die Schülerinnen und Schüler können dadurch auch auf den Flur oder in den Pausenbereich (evtl. auch mit Kameras / Handys / Tablets) „entzerrt“ werden. Es ist jedoch recht schwierig, das Katapult waagerecht zu halten, wodurch Messfehler zustande kommen. Bessere Ergebnisse kann man erhalten, wenn man das Lineal (ohne Pappe) etwas überstehend auf den Tisch legt – eine Münze auf den überstehenden Teil des Lineals und die andere vor das Lineal – und dann stark gegen das Linear „schnippt“.

Die Anleitung 05a-Parameterdarstellung-Geogebra-Anleitung ist als Unterstützung zum Einsatz von Geogebra gedacht. Auch sie geht von einem Kenntnisstand „ohne Vorkenntnisse“ der Schülerinnen und Schüler aus. Insbesondere widmet sie sich der Parametrisierung mit Schiebereglern und der Spur der entstehenden Punkte, also noch ohne die Geogebra-Befehle „Ortslinie“ oder „Kurve“ zu verwenden. Diese werden erst später eingeführt. Falls die Schülerinnen und Schüler jedoch bereits Kenntnisse der Parametrisierung entwickelt haben (z.B. durch die IMP-Einheit 3.3.2.3 Geometrie), so wird diese Anleitung nicht benötigt oder kann kürzend angepasst werden.

Die Darstellung in Parameterform muss natürlich geübt werden. Hierzu stehen umfangreiche Aufgaben auf dem Arbeitsblatt 05b_fis_Übungen-Parameterdarstellung zur Verfügung. Das „Minimalprogramm“ wäre sicherlich, die Aufgabe zum schiefen Wurf (Teil 2) zu behandeln. Je nach Vorerfahrung ist es aber nötig, zuvor den waagerechten Wurf anhand einer Auswahl der dazu bereitgestellten Aufgaben in Teil 1 einzuüben. Wichtig ist, dass Schülerinnen und Schüler, die ohne jegliche Vorkenntnisse sind, nicht nur am Computer arbeiten, sondern auch die Erarbeitung Punkt für Punkt am selbst gezeichneten Koordinatensystem durchführen. Nur durch das „Selbermachen“ erhält man ein Gefühl für die dynamische Entwicklung der Punkte bei veränderbarem Parameterwert t.

Stunde 14: Prinzip der Parameterdarstellung zweidimensionaler Kurven

Mithilfe des Arbeitsblattes 06_fis_Funktionen-parametrisieren wird das, bisher „nur“ im angewandten Fall der Bewegungsvorgänge kennengelernte, Prinzip der Parameterdarstellung auf allgemeine mathematische Funktionen (insbesondere lineare und quadratische, vgl. IMP 3.3.2.4 (5)) übertragen. An dieser Stelle sind keine Vorkenntnisse zu erwarten. Das bedeutet, dass nach der doppelstündigen Einführung, die Fortsetzung nun wieder gleich durchgeführt werden kann, egal auf welchem Kenntnisstand die Schülerinnen und Schüler bereits vor der Durchführung der Einheit waren. Sie sollen nun lernen, Parameterdarstellungen aus Funktionstermen und Schaubildern zu erstellen und so das „Gefühl“ für die Wirkung des Parameters in dieser Darstellung zu entwickeln. Neben der Parametrisierung von Funktionen wird in den Aufgaben auch die Parametrisierung von Kurven eingeführt und analysiert, die nicht dem Schaubild einer Funktion mit der Gleichung y=f(x) entsprechen (z.B. Parabel, deren Symmetrieachse parallel zur x-Achse verläuft).

Stunden 15 – 18 (+x): Rollkurven und ihre Parameterdarstellung

Vorbemerkung: Rollkurven machen sicherlich mehr Spaß, wenn man ihre Dynamik mithilfe einer dynamischen Geometrie-Software erfahren kann. Dementsprechend befinden sich auf den Arbeitsblättern viele Aufgaben, die (z.B.) mit Geogebra bearbeitet werden sollen. Gleichzeitig ist das Eingeben von parametrisierten Rollkurven in Geogebra mitunter sehr zeitaufwändig. Daher ist stets abzuwägen, wie viele dieser Aufgaben von den Schülerinnen und Schülern vollständig selbst in Geogebra erstellt werden. Für die anderen Aufgaben bietet es sich an, den Schülerinnen und Schülern schon fertige Dateien über einen Tauschordner bereit zu stellen. Dies wurde auch in einigen Aufgabenstellungen auf den Arbeitsblättern bereits so angelegt.

In diesen Stunden geht es um das „Früchte ernten“. Rollkurven bieten ein ästhetisch ansprechendes und daher sehr motivierendes Experimentierfeld. Die Parameterdarstellung von Rollkurven benötigt jedoch einen sicheren Umgang mit trigonometrischen Zusammenhängen und bestenfalls sogar dem Bogenmaß. Die Arbeitsblätter sind wieder so aufgebaut, dass ohne vertiefte Kenntnisse der Trigonometrie gestartet werden kann. Dies hat erneut zur Folge, dass die IMP-Lehrkraft in enger Abstimmung mit der Lehrkraft in Mathematik agieren sollte. Beispielsweise ist das erste Arbeitsblatt 07a_fis_CheckIn-Rollkurven so gedacht, dass Schülerinnen und Schüler ohne Kenntnis des Bogenmaßes dieses intuitiv erfahren und begreifen können. Dabei wird das Bogenmaß aus Zeitgründen nicht als zusätzliches Winkelmaß eingeführt, vielmehr findet immer dann wenn nötig eine Umwandlung in das Gradmaß statt (z.B. bei der Verwendung des Sinus“operators“)¹. Wenn dagegen die Kenntnisse zum Bogenmaß bereits vorhanden sind, dann ist dieses Arbeitsblatt nahezu überflüssig. Auf Aufgabe 3 sei noch hingewiesen, da sie die Grundlage zum Verständnis der „schrittweisen“ Parametrisierung von Zykloiden in den zwei Schritten „Bewegung des Mittelpunktes“ und „Drehung des Randpunktes“ legt.

Den eigentlichen inhaltlichen Beginn der Rollkurven bietet das Arbeitsblatt 07b_fis_Rollkurven-Einstieg. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler anhand eines Spiels (das man aus Karton auch selbst herstellen kann) erste enaktive und ikonische Erfahrungen mit Rollkurven erhalten. Das „Tun“ steht wiederum im Vordergrund, der PC sollte hier nicht zu früh eingesetzt werden.

Die schrittweise theoretische Herleitung der Parametrisierung findet man auf dem Arbeitsblatt 07c_fis_Rollkurven-Theorie. Dieses Arbeitsblatt ist nur für sehr leistungsstarke Gruppen als Auftrag zu Selbsterarbeitung gedacht. Im Normalfall ist hier sicherlich eine gemeinsame Herleitung im fragend-entwickelnden Unterricht zu bevorzugen. Das Arbeitsblatt dient dann der Lehrkraft als roter Faden. Aufgaben daraus können weggelassen oder zusammengefasst angeboten werden.

Für weitere Übungen werden auf dem Arbeitsblatt 08_fis_WeitereZykloide Aufgaben mit kleinen Veränderungen gegenüber dem Beispiel in der theoretischen Herleitung gestellt. So werden zunächst nur Radius und Startposition des Abrollpunktes verändert. In den weiteren Aufgaben wird der Fokus auf verkürzte und verlängerte Zykloide gelegt. „Nebenbei“ wird die Namensgebung der Zykloide für die vorliegenden Arbeitsblätter festgelegt. Als Zykloiden werden im Unterrichtsgang Rollkurven der Art „Kreis auf Gerade“ bezeichnet. Die explizite Festlegung ist notwendig, da die Literatur hier uneinheitlich ist. Teilweise wird der Begriff der Zykloidem für sämtliche Rollkurven ("Kreis auf beliebiger Kurve") verwendet (so auch im Beispiel des Bildungsplans).

Mit den folgenden Arbeitsblättern werden noch Rollkurven „Kreis auf/in Kreis“ behandelt und dabei als Trochoiden bezeichnet. Zunächst werden sogenannte Epitrochoiden (09a_fis_Trochoide) behandelt und in zahlreichen Übungsmöglichkeiten eingeübt. Es folgt die Behandlung von Hypotrochoiden (09b_fis_Trochoide-2). Beide Arbeitsblätter zusammen­genommen gehen deutlich über den Zeitrahmen des Bildungsplanes hinaus. Das Minimalprogramm sollt aus den Beispielen des Bildungsplanes Kreis auf Gerade (Zykloide) und Kreis auf Kreis (Epitrochoide) bestehen. Insofern sind also bereits die Hypotrochoiden (09b_fis_Trochoide-2) als Ergänzung gedacht und bieten neben der Behandlung im Unterricht auch die Möglichkeit zum Einsatz zur Binnendifferenzierung oder als GFS-Grundlage. Als dritte Aufgabe ist dabei auch ein Ausblick zu Tautochronen und Brachistochronen gegeben. Auch dieser könnte die Grundlage für ein Referat sein, handelt es sich hierbei doch um „umgedrehte“ Zykloide.

Ebenfalls über die Anforderungen des Bildungsplanes hinaus gehen die Inhalte und Aufgaben des ABs 09c_fis_Epizykel. Aus Sicht des Faches IMP bietet dieses jedoch eine gute Gelegenheit zur Fächerverbindung, da die astrophysikalische Epizykeltheorie mit Rollkurven verbunden wird und mit deren Implementierung in Geogebra ein Verständnis dafür entwickelt werden kann, weshalb die Theorie der Epizykel die Realität der Ellipsenbahnen so gut modelliert, dass sie lange Jahre als Möglichkeit nicht eindeutig verworfen werden konnte.

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¹Bei Verwendung des Bogenmaßes als Winkelmaß sind die Aufgaben auf den Arbeitsblättern da, wo nötig, entsprechend anzupassen.

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