Die Keplergesetze

Als Basis für die nachfolgenden raumfahrttechnischen Prinzipien werden zunächst die Keplergesetze besprochen. Die Ellipse kennen die Schüler möglicherweise bereits aus dem Mathematik-Teil. Sollte das nicht der Fall sein, können ein paar grundlegende Dinge der Ellipse mit der Präsentation 00_euw_ppt_ellipse demonstriert und auf dem Arbeitsblatt 00_euw_ab_die_ellipse festgehalten werden. Zu sehr sollte das hier nicht vertieft werden, da die Zeit hierfür nicht reicht und die Inhalte sich nicht doppeln sollten.

Vorbereitung (Stunde 1 von 8):

01_euw_ppt_keplergesetze.pptx (bis Folie 9)

Kopieren des Arbeitsblatts:
01_euw_ab_die_keplergesetze.docx

Kreide, lange Schnur, ggf.: Pinnnadeln, Pappe, Faden

Unterrichtsablauf (Stunde 1 von 8):

Zur Motivation lässt man drei Schüler an der Tafel eine Ellipse mit der Gärtnerkonstruktion zeichnen. (Diese heißt so, weil man mit dieser Methode ellipsenförmige Strukturen einfach im Garten gestalten kann (Beete, Teiche,…)).

Im Garten fixiert man zwei Stöcke als Brennpunkte und befestigt an jedem jeweils ein Ende der Schnur – diese sollte länger sein als der Abstand der beiden Stöcke, sonst wird das nichts... Durch Spannen der Schnur markiert man wie oben abgebildet eine Ellipse. An der Tafel halten zwei Schüler jeweils ein Schnurende an der Tafel fest, während der dritte Schüler die Ellipse zeichnet. Durch Veränderung der Brennpunktabstände und Schnurlängen kann man diverse Ellipsen kreieren. Meist wird man aber froh sein, wenn wenigstens eine an der Tafel in überschaubarer Zeit vollendet wird. Natürlich können die Schüler auch mit einem Faden und zwei Pinnnadeln Ellipsen auf einem Blatt Papier konstruieren (Karton darunter!).

Mit der Präsentation 01_euw_ppt_keplergesetze werden nun die Keplergesetze vorgestellt und auf dem Arbeitsblatt 01_euw_ab_die_keplergesetze in ihrer allgemeinen Form festgehalten (es macht wenig Sinn darin nur von den Planeten und der Sonne zu sprechen, wenn es später auch um Raketen, Mond und Erde geht).

Abzusehen ist, dass das dritte Keplergesetz zunächst noch keine Begeisterungsstürme hervorruft, aber seine schöne Besonderheit wird bereits in der folgenden Doppelstunde deutlich.

Vorbereitung (Stunden 2 und 3 von 8):

02_euw_ppt_die_hohmann_bahn.pptx

Kopieren des Arbeitsblatts:
02_euw_ab_die_hohmann_bahn.docx

Unterrichtsablauf (Stunden 2 und 3 von 8):

Walter Hohmann (1885-1945; deutscher Ingenieur) hat gezeigt, dass der energetisch günstigste aller Reisewege im Weltall eine Ellipsenbahn ist. Auf dieser Transferbahn, der sogenannten Hohmann-Bahn, fliegt das Raumschiff antriebslos bis zum Ziel.

Die Umlaufbahnen von Ausgangs- und Zielobjekt werden von der Hohmann-Bahn nicht geschnitten, sondern nur in je einem ihrer Scheitelpunkte berührt. Im Fall des Mondflugs sind das das Apogäum (erdfernster Punkt) und das Perigäum (erdnächster Punkt). Da sich die Geschwindigkeiten von Planet und Raumschiff in beiden Berührpunkten deutlich unterscheiden, müssen sie deshalb durch kurzzeitigen Raketenschub angepasst werden. Durch die dort parallele Bewegung der beiden Objekte, benötigt das Raumschiff bei diesem Bahnwechsel eine geringere Antriebsleistung als bei jeder anderen Form der Transferbahn.

Der Zeitbedarf für diese halbelliptische Bahn ist aber größer, als bei direkter verlaufenden Bahnen, die in ihrer gedachten Verlängerung mindestens eine der Objektbahnen schneiden. Mit der Präsentation 02_euw_ppt_die_hohmann_bahn zeigt man das Prinzip der Hohmann-Bahn. Diese zeigt auch, wie sich für den Mondflug aus den Daten der Apollo-Flüge die große Halbachse der Hohmann-Bahn bestimmen lässt. Allein mit diesen Angaben lässt sich nun mithilfe des dritten Keplergesetzes bereits die Dauer des Fluges zum Mond berechnen.

Möglicher Tafelanschrieb:

Vielleicht stellt jemand eine kleine Diskrepanz fest: Der Flug zum Mond dauerte nur drei Tage und nicht fünf. Dies hatte mehrere Gründe, von denen hier zwei erwähnt werden sollen: 1. Die Bahn des Mondes um die Erde ist kein Kreis, sondern eine Ellipse und der Abstand von der Erde variiert um bis zu 50 000 km (Perigäum min. 356 400 km, Apogäum max. 406 700 km), der Mondflug fand zum Perigäum statt. 2. Die Geschwindigkeit des Apollo Raumschiffes war größer als für die Hohmann-Ellipse notwendig. Diese dadurch zunächst größere Ellipsenbahn, führte aufgrund der Anziehungskraft des Mondes dann zum Ziel. Diese Faktoren (u.a.) führten zu einer deutlich kürzeren Reisedauer. Nichtsdestotrotz erhält man mit der einfachen Rechnung einen beachtlich guten Näherungswert für die Reisedauer.

Genauso elegant können die Schüler nun mit dem Arbeitsblatt 02_euw_ab_die_hohmann_bahn einen sehr realistischen Wert für die Reisedauer, bei einem reinen Hohmann-Transfer, zum Mars berechnen.

Hinweis: Durch eine Verdopplung der Zeit erreicht man nicht die Dauer einer gesamten Marsmission. Für eine Mondmission klappt das etwa, da man zum Zentralkörper (Erde) zurück muss. Der Zentralkörper bei einem Marsflug ist aber die Sonne, die man eher als Anflugobjekt vermeidet. Da die Erde den Mars auf der Innenbahn um die Sonne überholt, kann nicht zu jedem beliebigen Zeitpunkt ein Rückflug durchgeführt werden. Man muss warten, bis die Erde wieder geeignet positioniert ist, damit nach 256 Tagen die Erde auch dort steht, wo das Raumschiff nach 256 Tagen nach dem Start vom Mars ankommt. Die kürzeste Missionszeit beträgt hierfür fast drei Jahre.

 

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