Die Wir­kung der Gra­vi­ta­ti­on

Vor­be­rei­tung (Stun­den 4 bis 6 von 8):

https://​www.​youtube.​com/​watch?​v=K1v​2IN5​YIy8
http://​www.​mabo-​phy­sik.​de/​erd​umla​ufba​hn.​html
03_eu­w_pp­t_­die_ers­te_­kos­mi­sche_­ge­schwin­dig­keit.pptx
01_eu­w_pp­t_kep­ler­ge­set­ze.pptx (Her­lei­tung 3. Kep­ler; ab Folie 10)

Ko­pie­ren der Ar­beits­blät­ter:
03_eu­w_a­b_gra­vi­ta­ti­ons­ge­setz.docx
04_eu­w_a­b_­geo­sta­tionae­re_­um­lauf­bahn.docx
05_eu­w_a­b_­der_orts­fak­tor_auf­_­der_iss.docx
06_eu­w_a­b_da­s_gra­vi­ta­ti­ons­feld.docx

Un­ter­richts­ab­lauf (Stun­den 4 bis 6 von 8):

In den fol­gen­den drei Stun­den ist es das Ziel her­aus­zu­fin­den, wel­che Ge­schwin­dig­kei­ten er­reicht wer­den müs­sen, um auf erd­na­hen Um­lauf­bah­nen (im Fach­jar­gon „LEO“: Lower Earth Orbit) blei­ben zu kön­nen aber auch, wie sich das Gra­vi­ta­ti­ons­feld be­züg­lich des Ab­stan­des zu einem Mas­se­zen­trum ver­än­dert.

Zur Ein­stim­mung ist der Vi­deo­aus­schnitt des Speer­wurfs von Obe­lix bei „As­te­rix bei den Olym­pi­schen Spie­len“ https://​www.​youtube.​com/​watch?​v=K1v​2IN5​YIy8 sehr nett, ver­bun­den mit der Frage, wel­che Ge­schwin­dig­keit der Speer von Obe­lix haben muss­te. Die Schü­le­r­ant­wor­ten fal­len in jeder Hin­sicht spek­ta­ku­lär aus.

Qua­li­ta­tiv hilft die Si­mu­la­ti­on von Mat­thi­as Bor­chardt wei­ter (http://​www.​mabo-​phy­sik.​de/​erd​umla​ufba​hn.​html), man ver­sucht die Ge­schwin­dig­keit zu­nächst so ein­zu­stel­len, dass die Erde um­run­det wer­den kann.

In der An­fangs­ein­stel­lung star­tet das Ob­jekt in 400 km Höhe (das ent­spricht etwa der Flug­hö­he der in­ter­na­tio­na­len Raum­sta­ti­on ISS) aber die Ge­schwin­dig­keit ge­nügt noch nicht, um die Erde zu um­krei­sen. Eine An­pas­sung der “Start­ge­schwin­dig­keit“ auf 27 201 km/h er­reicht das Ziel. Al­ler­dings ist nun der Ab­stand zur Erd­ober­flä­che im Pe­ri­gäum sehr ge­ring, was in der Rea­li­tät zu ech­ten Pro­ble­men füh­ren würde (Hoch­häu­ser etc.). Ab­ge­se­hen davon würde die Rei­bung in der At­mo­sphä­re zu einer so star­ken Ab­brem­sung füh­ren, dass das Raum­schiff ab­stürzt. Die Rei­bung ist hier aber in der Si­mu­la­ti­on nicht be­rück­sich­tigt.

(An­mer­kung: Mit 27 625 km/h er­hält man eine na­he­zu kreis­för­mi­ge Bahn.)

Nun geht es darum eine Ge­schwin­dig­keit zu fin­den, bei der ein Ob­jekt in der nied­rigs­ten Start­hö­he (in der Si­mu­la­ti­on ist das 1km) ge­ra­de um die Erde her­um­kommt (28 477 km/h), dies ent­spricht dann letzt­lich der 1. kos­mi­schen Ge­schwin­dig­keit von 7,9 km/s.

Mit der Prä­sen­ta­ti­on 03_eu­w_pp­t_­die_ers­te_­kos­mi­sche_­ge­schwin­dig­keit wie­der­holt man noch­mals kurz das Ge­se­he­ne: Ein Kör­per fällt ein­fach be­schleu­nigt auf die Erde zu, wenn er sich im Welt­all zuvor nicht be­wegt (wie der Apfel vom Baum) (Folie 2). Gibt man ihm eine Ge­schwin­dig­keits­kom­po­nen­te tan­gen­ti­al zur Erd­ober­flä­che, so wird er zu­nächst an­nä­hernd auf einer Pa­ra­bel­bahn auf die Erde zu­fal­len (Folie 3 und 4). (Anm.: Es han­delt sich nur um eine Pa­ra­bel, so­lan­ge man das Gra­vi­ta­ti­ons­feld als ho­mo­gen be­trach­tet. Da die­ses aber ra­di­al ist, wird die Bahn­kur­ve zur Erde hin „ver­bo­gen“. Be­trach­tet man groß­räu­mi­ge Be­we­gun­gen, wird die Bahn­kur­ve zu einer El­lip­se). Auf Folie 5 ist zu sehen, wie das Raum­schiff im ra­dia­len Gra­vi­ta­ti­ons­feld „um die Erde her­um­fällt“.

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb:

Die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft wirkt als Zen­tri­pe­tal­kraft, dar­aus er­hält man den Wert der Ge­schwin­dig­keit. Die Zen­tri­pe­tal­kraft ken­nen die Schü­ler wahr­schein­lich noch nicht, aber ler­nen sie im Phy­sik­un­ter­richt ken­nen. Dem muss und soll­te man nicht vor­grei­fen. Es ge­nügt hier Über­le­gun­gen an­zu­stel­len, von wel­chen Grö­ßen eine Kraft ab­hängt, mit der man einen Kör­per auf eine Kreis­bahn zwin­gen möch­te. Dies kann mit Folie 6 und 7 ge­sche­hen:

Je-desto-Über­le­gun­gen füh­ren fast schon zur For­mel, ein­zig das Qua­drat bei der Ge­schwin­dig­keit bleibt un­ge­nannt. Die­ses wird er­gänzt und auf den Phy­sik­un­ter­richt ver­wie­sen (dort kann z.B. durch Ein­hei­ten-Ver­gleich das Qua­drat er­ar­bei­tet wer­den).

Fort­set­zung Ta­fel­an­schrieb:

Auf der Folie 8 wird die 1. kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit her­ge­lei­tet. Die Schü­ler kön­nen und soll­ten die Schrit­te ab F_G = F_Z bis zum Er­geb­nis selbst durch­füh­ren, die Prä­sen­ta­ti­on be­stä­tigt die Rech­nung nur noch­mals. Folie 9 de­fi­niert die 1. kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit.

Es lohnt sich, dass die Schü­ler durch ei­ge­ne Rech­nung fest­stel­len, dass das „m“ ver­schwin­det! Es gibt sie, die Schü­ler, die das auch rich­tig in­ter­pre­tie­ren! Es wäre fatal, wenn die Ge­schwin­dig­keit mas­sen­ab­hän­gig wäre, das gäbe u.a. auf der ISS ein Chaos...

Fort­set­zung Ta­fel­an­schrieb:

Wer­den die Ab­stän­de grö­ßer, ver­än­dert sich auch der Orts­fak­tor nach

$F_Z=\frac{m\cdot v^2}{r}$

Dies wird mit dem Ar­beits­blatt 03_eu­w_a­b_gra­vi­ta­ti­ons­ge­setz be­spro­chen: Der bis­lang immer prä­sen­te und fast schon als „Na­tur­kon­stan­te“ ge­han­del­te Wert g = 9,81 m/s² kann für grö­ße­re Höhen nicht mehr ver­wen­det wer­den.

Zu­nächst stel­len die Schü­ler fest, dass in die­sem Wert die zen­tra­le Masse (hier zu­nächst die Erde) und der Erd­ra­di­us eine Rolle spie­len und je nach Zen­tral­kör­per un­ter­schied­lich ist: Auf der Mond­ober­flä­che ist g = 1,6 m/s², wäh­rend der Orts­fak­tor auf der Son­nen­ober­flä­che be­trächt­li­che 274 m/s² an­nimmt.

Die ISS be­nö­tigt für eine Erd­um­run­dung etwa 1,5 h in 400 km Höhe, der Mond be­nö­tigt hier­für 27,32 d in 384 000 km Ent­fer­nung. Da­zwi­schen muss es also eine Bahn geben, bei der die Um­lauf­dau­er der Ro­ta­ti­ons­dau­er der Erde ent­spricht.

Das Ar­beits­blatt 04_eu­w_a­b_­geo­sta­tionae­re_­um­lauf­bahn wen­det das nun an: Will man einen geo­sta­tio­nä­ren Sa­tel­li­ten haben, so soll die­ser über einem be­stimm­ten Punkt der Erde blei­ben. Hier­zu muss er auf einer äqua­to­ria­len Bahn sein, da sonst die Dreh­rich­tun­gen des Sa­tel­li­ten und der Erde in un­ter­schied­li­che Rich­tun­gen wei­sen. Er be­nö­tigt eine Um­lauf­zeit von 23h 56 min. Diese Zeit be­nö­tigt die Erde für eine ex­ak­te 360° - Dre­hung.

An­mer­kung: 24h braucht die Erde, um be­züg­lich der Sonne wie­der die glei­che Rich­tung zu haben. Dies ist auf­grund der jähr­li­chen Be­we­gung der Erde um die Sonne jeden Tag etwa ein Grad mehr (361°) und ent­spricht etwa den feh­len­den 4 Mi­nu­ten.

Setzt man die Be­din­gun­gen ein (s. 04_eu­w_a­b_­geo­sta­tionae­re_­um­lauf­bahn_­loe­sung), er­hält man für die geo­sta­tio­nä­re Um­lauf­bahn eine Höhe von 36 000 km über der Erd­ober­flä­che.

Oft wird von „Schwe­re­lo­sig­keit“ ge­spro­chen, wenn es um Raum­fahrt­mis­sio­nen geht. Die­ser Ef­fekt wird häu­fig fälsch­li­cher­wei­se mit feh­len­der Gra­vi­ta­ti­on oder noch schlim­mer als „Gleich­ge­wicht“ zwi­schen Zen­tri­pe­tal- und Zen­tri­fu­gal­kraft er­klärt, dies ist phy­si­ka­lisch alles un­sin­nig!

Ar­beits­blatt 05_eu­w_a­b_­der_orts­fak­tor_auf­_­der_iss zeigt zu­nächst, dass der Orts­fak­tor auf der ISS mit etwa 8,69 m/s² nur etwas klei­ner als der an der Erd­ober­flä­che ist. Die ISS be­fin­det sich im frei­en Fall! Da sie aber eine hohe ho­ri­zon­ta­le Ge­schwin­dig­keit hat, und die Erde nicht flach son­dern rund ist, fällt sie an der Erde vor­bei, wie alles in ihr. Dies führt zum Ge­fühl der Schwe­re­lo­sig­keit, wie sie auch bei Pa­ra­bel­flü­gen si­mu­liert wird, es ist aber keine!

Ein Gleich­set­zen von Zen­tri­fu­gal- und Zen­tri­pe­tal­kraft ist ein Ver­gleich in zwei ver­schie­de­nen Be­zugs­sys­te­men, einer Schein­kraft und einer rea­len Kraft. Das las­sen wir bes­ser sein, ist nur ver­wir­rend, falsch und wird auch nicht be­nö­tigt. Die Kraft ist ja da: Sie ist die be­nö­tig­te Zen­tri­pe­tal­kraft für die Kreis­bahn um die Erde.

Mit dem Wis­sen um die Gra­vi­ta­ti­ons- und Zen­tri­pe­tal­kraft kann das drit­te Kep­ler­ge­setz unter der An­nah­me des Son­der­falls einer Kreis­bahn her­ge­lei­tet wer­den. An­mer­kung: Die viel kom­pli­zier­te­re, all­ge­mei­ne Her­lei­tung über den Dreh­im­puls führt zum glei­chen Er­geb­nis. 😀
01_eu­w_pp­t_kep­ler­ge­set­ze (Her­lei­tung des drit­ten Kep­ler­ge­set­zes: Be­ginn mit Folie 10)

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb:

Dass die An­nah­me eines Krei­ses für die Pla­ne­ten­bah­nen (Folie 11) nicht ganz falsch ist, zei­gen de­mons­tra­tiv die Fo­li­en 13 bis 20. Die Brenn­punk­te sind je­weils mit grü­nen Kreuz­chen ge­kenn­zeich­net.

Auf Folie 12 wird zuvor noch die nu­me­ri­sche Ex­zen­tri­zi­tät ε er­klärt. Sie gibt das Ver­hält­nis von Brenn­wei­te e zur gro­ßen Hal­bach­se a einer El­lip­se an (ε = e/a). Sie ist bei einem Kreis null, da die Brenn­punk­te im Mit­tel­punkt des Krei­ses ver­eint sind und somit e = ε = 0 ist.

Für alle Pla­ne­ten sind diese Ex­zen­tri­zi­tä­ten ε auf den Fo­li­en an­ge­ge­ben:

Mer­kur: 0,2056; Venus: 0,0068; Erde: 0,0167; Mars: 0,0935; Ju­pi­ter: 0,0484;
Sa­turn: 0,05648; Ura­nus: 0,0472; Nep­tun: 0,00859; Pluto: 0,2488; Sedna: 0,841

Wie sich das op­tisch aus­wirkt, ist nur für die Pla­ne­ten Mer­kur bis Mars und für zwei der Zwerg­pla­ne­ten Pluto und Sedna dar­ge­stellt, sonst lang­weilt das, weil man eh´ nichts sieht:

Bei Mer­kur und Mars sind be­reits nur mi­ni­ma­le Ab­wei­chun­gen zu er­ken­nen, bei Venus und Erde sind diese sogar so ge­ring, dass sie auf der Folie gar nicht auf­lös­bar sind:
Der Ver­gleichs­kreis (oran­ge) und die „El­lip­se“ (rot) haben hier exakt die glei­che Größe. Falls ir­gend­wel­che Schü­ler doch einen ver­meint­li­chen Un­ter­schied sehen: Der Ver­gleichs­kreis hat auf der Folie einen Ra­di­us von 8,1 cm. Für die Erde ist ε = 0,0167. Das führt zu einer Brenn­wei­te von e = ε ∙ a = 0,0167 ∙ 8,1 cm = 0,1353 cm. Mit der Rech­nung aus der Prä­sen­ta­ti­on 00_eu­w_pp­t_el­lip­se, Folie 5 ist b² = a² - e². Somit hat die klei­ne Hal­bach­se auf der Folie eine Länge von b = 8,0989 cm. Der Un­ter­schied ist weder dar­stell- noch er­kenn­bar!

In rea­len Zah­len heißt dies für die Erde: Die große Hal­bach­se a hat 149,598 Mio. km, die Brenn­punk­te be­fin­den sich knapp 2,5 Mio. km von der El­lip­sen­mit­te ent­fernt. In einem davon be­fin­det sich die Sonne. Dies wie­der­um be­deu­tet, dass sich die Erde im Pe­ri­hel (dem son­nen­nächs­ten Punkt) 147,1 Mio. km und im Aphel (son­nen­ferns­ter Punkt) 152,1 Mio. km von der Sonne ent­fernt be­fin­det.

Ne­ben­bei be­merkt: Da wir uns am 3. Ja­nu­ar im Pe­ri­hel und am 3. Juli im Aphel be­fin­den, kann der Ab­stand zur Sonne wohl nicht für die Jah­res­zei­ten aus­schlag­ge­bend sein…

Folie 17 zeigt die Or­bits der in­ne­ren Pla­ne­ten maß­stäb­lich (Pla­ne­ten sind nicht maß­stäb­lich!) und de­mons­triert die Um­lauf­dau­ern im Ver­hält­nis (1 Se­kun­de ent­spricht einem Monat).

Sedna hat einen Durch­mes­ser von etwa 1000 km, ge­hört zu den trans­nep­tu­ni­schen Ob­jek­ten und be­wegt sich au­ßer­halb des Kui­per­gür­tels (vgl. IMP 8: 02_eu­w_pp­t_un­ser_­son­nen­sys­te­m_im_­uni­ver­sum, Folie 30) auf einer hoch­gra­dig el­lip­ti­schen Um­lauf­bahn um die Sonne (Pe­ri­hel: 76 AE, Aphel: 883 AE). Hier sieht man deut­lich die El­lip­sen­form (Folie 20).

Nun kann man zum Bei­spiel Zen­tral­mas­sen be­stim­men:

Fort­set­zung Ta­fel­an­schrieb:

Eine wei­te­re An­wen­dung des Gra­vi­ta­ti­ons­ge­set­zes ist die Mög­lich­keit fest­zu­stel­len, wie weit ein Gra­vi­ta­ti­ons­feld do­mi­niert.

Mit dem Ar­beits­blatt 06_eu­w_a­b_da­s_gra­vi­ta­ti­ons­feld kann be­rech­net wer­den, dass bei der Wech­sel­wir­kung der Gra­vi­ta­ti­ons­fel­der von Erde und Mond der Ein­fluss des Mon­des be­reits nach knapp 43 000 km (ca. 10% des Ab­stan­des von Mond und Erde) ver­nach­läs­sig­bar wird. Das Apol­lo-Raum­schiff muss­te also nur in etwa die­sen Ab­stand ge­bracht wer­den und konn­te sich dann von der Erde „ein­fan­gen“ las­sen.

Hin­weis:
Die­ser so er­rech­ne­te Ab­stand ist „in der Nähe“ des so­ge­nann­ten in­ne­ren La­gran­ge-Punkts L1 des Sys­tems Erde-Mond (58 000 km vom Mond ent­fernt): Das ist der Punkt, an dem ein Kräf­te­gleich­ge­wicht zwi­schen der Gra­vi­ta­ti­ons­kraft von Mond und Erde herrscht. Es wäre aber lei­der zu ein­fach, L1 auf diese Weise zu er­mit­teln. La­gran­ge-Punk­te be­rech­nen sich als ein­ge­schränk­tes Drei­kör­per­pro­blem, wofür es ana­ly­ti­sche Lö­sun­gen (von La­gran­ge und Euler) gibt. Kurz: So geht es nicht und soll­te auch nicht ver­wech­selt wer­den.

Bei Mond­mis­sio­nen ent­fernt sich ein Raum­schiff letzt­lich nie aus dem Gra­vi­ta­ti­ons­be­reich der Erde, schließ­lich ist ja auch der Mond in sei­nem Ein­fluss.

Um das Gra­vi­ta­ti­ons­feld eines Him­mels­kör­pers zu ver­las­sen, be­nö­tigt man die zwei­te kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit die nun in den fol­gen­den zwei Stun­den the­ma­ti­siert wird.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [docx][433 KB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2 MB]

 

Wei­ter zu Die Flucht­ge­schwin­dig­keit